教学项目

不定积分的概念与性质

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

学生在前一学期已经系统学习了函数、极限与连续、导数与微分以及导数的应用等内容，具备了扎实的求导运算能力和对导数几何意义的理解。特别是对基本初等函数的求导公式和复合函数的求导法则已经非常熟练。

本节课是积分学的开篇，需要引导学生完成从"已知函数求导数"到"已知导数求原函数"的思维转变。这一逆向思维过程对部分学生来说可能存在一定的认知障碍，需要通过大量的实例帮助学生建立不定积分的概念。

从学生的数学基础来看：（1）求导运算熟练，为"验证原函数"提供了有力保障；（2）对函数图像有较好的直觉，有助于理解不定积分的几何意义；（3）逆向思维能力有待训练，需要循序渐进地引导。

根据教学计划，本课时为第1-2学时（累计2学时），下一课将学习不定积分的基本公式和直接积分法。

教学目标

知识目标：

（1）理解原函数的概念，能够判断一个函数是否为另一个函数的原函数；

（2）理解不定积分的概念，掌握不定积分的记号 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''f(x)dx''$ 的含义；

（3）理解不定积分的几何意义——积分曲线族；

（4）掌握不定积分的基本性质：$''[''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''f(x)dx''{'']''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=f(x)''$，$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''f''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''(x)dx''''=f(x)+C''$；

（5）掌握不定积分的线性性质：$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''[f(x)\pm \; g(x)'''']dx=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''f(x)dx\pm ''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''g(x)dx''$。

能力目标：

（1）培养“已知导数求原函数”的逆向思维能力；

（2）培养利用求导验证不定积分结果的习惯；

（3）为后续系统学习积分方法打下概念基础。

素质目标：

（1）通过导数与积分的互逆关系，体会数学中“正与逆”的辩证思想；

（2）通过积分曲线族的学习，感受数学的对称美和统一美。

教学重点

1. 原函数与不定积分的概念 原函数是不定积分的核心概念。若 F'(x)=f(x)，则 F(x) 就是 f(x) 的一个原函数。不定积分 ∫f(x)dx 表示 f(x) 的全部原函数，即 F(x)+C。关键在于理解“任意常数C”的含义和作用。

2. 不定积分的几何意义 不定积分对应的不是一条曲线，而是一族平行曲线（积分曲线族）。它们的形状完全相同，仅在纵方向上相差一个常数。理解几何意义有助于建立积分的直觉。

3. 不定积分的基本性质 四条基本性质是后续所有积分运算的理论基础。特别是“积分与求导互为逆运算”这一性质，是验证积分结果正确性的根本方法。

教学难点

及应对

难点：

1. 从求导到求积分的思维转变——学生习惯了“给函数求导数”的正向思维，初次接触“给导数求原函数”的逆向问题，可能感到不知从何入手；

2. 不定积分中任意常数C的理解——学生容易忘记“+C”或不理解其含义（所有原函数仅差一个常数）；

3. 不定积分与定积分的区别——学生可能混淆两者的概念。

应对策略：

1. 从学生熟悉的求导公式出发，“反过来看”导出原函数概念，降低认知难度；

2. 通过原函数族的图形（平行曲线簇）直观展示C的几何含义——不同的C对应不同位置的曲线；

3. 强调不定积分的结果是“函数族”（含+C），并通过求导验证的方法帮助学生养成检验习惯。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：原函数族曲线图、不定积分几何意义图、导数与积分互逆关系图、基本性质总结图、知识总结图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

讲授法：系统讲解原函数、不定积分的概念和性质

启发法：从求导公式“反过来看”引出原函数概念

图示法：利用原函数族曲线图直观展示不定积分的几何意义

练习法：讲练结合，通过验证原函数和简单的积分计算巩固概念

教学反思

本节课是积分学的开篇，通过从导数“反过来看”的方式引出原函数和不定积分的概念，学生接受度较好。原函数族曲线图的展示有效帮助学生理解了任意常数C的几何含义。不定积分的四条基本性质讲解清晰，学生基本理解了“积分与求导互为逆运算”的核心关系。课堂练习反馈表明，大部分学生已经能够判断原函数关系并验证简单的积分结果。下节课将学习基本积分公式和直接积分法，请学生对照求导公式表提前预习。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、课程导入——从导数到积分（5分钟）

【教师】同学们，前面我们系统学习了导数与微分，已经能够熟练地对各种函数求导。今天我们开始学习积分学的内容。

【教师】请看这样一个问题：已知物体的速度 v(t)=2t，能否求出物体的位移函数 s(t)？

分析：我们知道 s'(t)=v(t)=2t。那么什么函数的导数是 2t 呢？

显然 ${''s(t)=t''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$ 满足 s'(t)=2t。但 ${''s(t)=t''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+5''$ 也满足（因为常数的导数为0）。

【教师】这就引出了一个根本性的问题——已知一个函数的导数，如何求出原来的函数？这就是积分学要解决的核心问题。

二、原函数的概念（10分钟）

定义 设函数 f(x) 在区间 I 上有定义。若存在函数 F(x)，使得对 I 上每一点都有

${''F''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''(x)=f(x)''$

则称 F(x) 是 f(x) 在区间 I 上的一个原函数。

例1 验证 $''F(x)=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}{''3''}$ 是 ${''f(x)=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$ 的一个原函数。

解 因为 ${''F''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''(x)=(''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}{''3''}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=''\frac{{''3x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''3''}{''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=f(x)''$，所以 F(x) 是 f(x) 的一个原函数。 ✓

关键问题：原函数唯一吗？

不唯一！$\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}{''3''}''+1''$、$\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}{''3''}''-7''$、$\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}{''3''}''+\pi ''$ 都是 x² 的原函数。

定理 若 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则 f(x) 的全部原函数为

$''F(x)+C''$

其中 C 为任意常数。

直观理解：同一被积函数的任意两个原函数之差为常数，即 ${''F''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}{''(x)-F''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''(x)=C''$。

三、不定积分的概念（10分钟）

定义 函数 f(x) 的全部原函数 F(x)+C 称为 f(x) 的不定积分，记作

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''f(x)dx''''=F(x)+C''$

其中：$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}$ 称为积分号，f(x) 称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数。

例2 求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''2xdx''$。

解 因为 ${''(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=2x''$，所以 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''2xdx''{''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+C''$。

例3 求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''cos''''xdx''$。

解 因为 $''(''''sin''{''x)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=''''cos''''x''$，所以 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''cos''''xdx''''=''''sin''''x+C''$。

例4 求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''1''}{''x''}''dx''$。

解 因为 $''(''''ln''{''|x|)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=''\frac{''1''}{''x''}$，所以 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''1''}{''x''}''dx''''=''''ln''''|x|+C''$。

四、不定积分的几何意义（10分钟）

【教师】不定积分 ∫f(x)dx = F(x)+C 在几何上表示什么？

几何意义：不定积分对应的不是一条曲线，而是一族曲线——称为积分曲线族。

这些曲线具有以下特征：

（1）形状完全相同，仅在纵方向上相差一个常数；

（2）在同一x值处，所有曲线的切线斜率相同（因为它们的导数都是f(x)）；

（3）给定一个初始条件（如过某一点），就可以确定唯一的一条曲线，此时常数C被确定。

从物理实例（已知速度求位移）引入，让学生自然产生"求导的逆问题"的需求，激发学习兴趣。

原函数概念的建立是本课的核心。通过求导验证的方式（先正后逆），降低学生理解逆运算的认知难度。

通过"原函数不唯一"的讨论，自然引出"+C"的必要性，使学生真正理解积分常数的含义。

原函数族曲线图直观展示了常数C的几何含义——不同C对应不同位置的曲线，加深理解。

不定积分概念的引入采用"先有原函数，再有不定积分"的逻辑顺序，概念衔接自然流畅。

积分曲线族的几何意义帮助学生建立不定积分的直观认识，为后续学习打下基础。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做几道练习题，检验对原函数和不定积分概念的理解。

练习1：判断：${''F(x)=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''+3''$ 是否为 ${''f(x)=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}$ 的原函数？

解 ${''F''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''(x)=(e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''+3)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''=f(x)''$。是原函数。 ✓

练习2：求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''3x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''dx''$。

解 因为 ${''(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''=3x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$，所以 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''3x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''dx''{''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}''+C''$。

练习3：求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''$。

解 因为 ${''(e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}$，所以 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''{''=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''+C''$。

【教师】讲评要点：求不定积分的关键是“反过来想”——什么函数的导数是被积函数？求完之后一定要通过求导来验证结果的正确性。同时，千万不要忘记加上积分常数C！

练习1检验“原函数”概念的理解——判断方法就是求导验证。

练习2和练习3是最基本的不定积分计算，帮助学生建立“反过来看求导公式”的思维模式。

讲评中强调“求导验证”和“不忘+C”两个习惯，这是积分学的基本素养。

第二节课

知识讲解

（30 min）

五、导数与不定积分的互逆关系（10分钟）

性质1 （先积后导还原）

$''[''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''f(x)dx''{'']''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=f(x)''$

或等价地写成 $''d[''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''f(x)dx'''']=f(x)dx''$。

含义：先积分再求导，还原被积函数。积分常数C在求导时消失。

性质2 （先导后积还原）

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''f''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''(x)dx''''=f(x)+C''$

或等价地写成 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''df(x)''''=f(x)+C''$。

含义：先求导再积分，还原原函数（差一个任意常数）。

核心要义：求导与积分互为逆运算。这是积分学最基本的关系，也是验证积分结果正确性的根本方法。

六、不定积分的线性性质（10分钟）

性质3 （常数因子提出）

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''kf(x)dx''''=k''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''f(x)dx''$ （k≠0）

含义：被积函数中的非零常数因子可以提到积分号外面。

性质4 （和差的积分）

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''[f(x)\pm \; g(x)'''']dx=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''f(x)dx\pm ''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''g(x)dx''$

含义：两个函数和（差）的不定积分等于各自不定积分的和（差）。

说明：性质3和性质4合在一起就是不定积分的线性性质。它使得我们可以把复杂的积分拆解为简单积分的组合，这是后续学习各种积分方法的基础。

七、性质的简单应用（10分钟）

例5 求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''(3x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+5x-2)dx''$。

解 利用线性性质拆分：

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''(3x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+5x-2)dx''''=3''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''dx+5''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''xdx-2''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''1dx''$

$''=3\cdot ''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}{''3''}''+5\cdot ''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}{''-2x+C=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}''+''\frac{{''5x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}''-2x+C''$

验证：${''(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}''+''\frac{{''5x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}{''-2x+C)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''=3x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+5x-2''$ ✓

例6 求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''(''''sin''{''x+e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}'')dx''$。

解

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''(''''sin''{''x+e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}'')dx''''=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''sin''''xdx+''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''''=-''''cos''{''x+e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''+C''$

验证：$''(-''''cos''{''x+e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''+C)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=''''sin''{''x+e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}$ ✓

例7 求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+1''}{''x''}''dx''$。

解 先化简被积函数：

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+1''}{''x''}''dx''''=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''(x+''\frac{''1''}{''x''}'')dx''''=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''xdx+''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''1''}{''x''}''dx''$

$''=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}''+''''ln''''|x|+C''$

关键技巧：在积分之前，先对被积函数进行化简（拆分、合并、恒等变形等），往往能使计算大大简化。

性质1和性质2揭示了导数与积分的互逆关系，这是不定积分最核心的理论支撑。通过图示直观展示这一关系。

性质3和性质4的线性性质是所有积分计算的基础。掌握这两条性质，学生就能将复杂积分拆解为简单积分的组合。

例5展示线性性质的基本应用——将多项式拆分后逐项积分。每一步都配求导验证，强化检验习惯。

例6涉及三角函数和指数函数，展示线性性质对不同类型函数的通用性。

例7展示了“先化简再积分”的重要技巧——这是积分计算中常用的策略，为后续学习打下基础。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做综合练习，巩固今天学习的全部内容。

练习4：求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''(4x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}''-6x+1)dx''$。

解

$''=4\cdot ''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">4</ms>}}}{''4''}''-6\cdot ''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}{''+x+C=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">4</ms>}}{''-3x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+x+C''$

练习5：求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''(2''''cos''''x-3''''sin''''x)dx''$。

解

$''=2''''sin''''x+3''''cos''''x+C''$

练习6：求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''-1''}{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''dx''$。

解 先化简：$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''(1-''\frac{''1''}{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}'')dx''''=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''(1-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-2</ms>}}'')dx''{''=x+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''+C=x+''\frac{''1''}{''x''}''+C''$

【教师】讲评要点：练习4是多项式积分的直接应用，练习5是三角函数的组合积分，练习6展示了“先化简再积分”的技巧。三道题覆盖了本节课的核心方法。注意：每道题都可以通过求导来验证结果！

三道练习分别覆盖多项式、三角函数和分式化简三种类型，全面检验本节课所学。

练习6强化“先化简再积分”的技巧意识，培养学生灵活处理被积函数的能力。

通过当堂练习及时发现学生的薄弱环节，为后续教学提供反馈。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心内容：

一、原函数：

若 ${''F''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''(x)=f(x)''$，则 F(x) 是 f(x) 的原函数。原函数不唯一，任意两个原函数之差为常数。

二、不定积分：

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''f(x)dx''''=F(x)+C''$（C 为任意常数）

三、基本性质：

（1）$''[''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''f(x)dx''{'']''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=f(x)''$（先积后导）；（2）$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''f''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''(x)dx''''=f(x)+C''$（先导后积）

（3）常数因子可提出；（4）和差的积分可拆分。

四、核心方法：

（1）“反过来看”求导公式——寻找原函数；（2）求导验证——检验积分结果。

作业布置：

（1）利用求导验证以下积分结果是否正确（若干组验证题）；

（2）利用不定积分的线性性质计算简单的不定积分（多项式、三角函数组合）。

预习：

下节课将学习不定积分的基本公式表——把常用的求导公式“反过来写”，得到15个基本积分公式。请对照求导公式表提前预习，思考每个求导公式对应的积分公式是什么。

通过知识总结图系统梳理本节课的核心概念和性质，帮助学生形成完整的知识框架。

四条性质的总结让学生明确不定积分运算的基本规则。

作业设计分为“验证型”和“计算型”两类，分别巩固概念理解和计算技能。

预习任务指向下节课内容——基本积分公式表，并给出明确的预习方向（对照求导公式表），帮助学生做好准备。

教学反思

本节课是积分学的开篇，教学效果总体良好。以下是具体分析：

（1）课程导入：从“已知速度求位移”的物理问题出发，学生很快理解了“求导的逆问题”的必要性。这种从实际问题引入数学概念的方式，比直接给出定义更能激发学生的学习兴趣和主动性。

（2）原函数概念：通过“验证→反推”的方式建立原函数概念，学生接受度很高。原函数族曲线图的展示效果很好——学生直观看到不同C值对应的曲线仅上下平移，对“原函数不唯一”和“任意常数C”的理解有了质的飞跃。约85%的学生能独立完成原函数的判断。

（3）不定积分概念：记号 ∫f(x)dx 的各个组成部分（积分号、被积函数、积分变量等）讲解清晰，学生基本都能正确使用这套记号。需要强调的是“+C不能忘”——约30%的学生在练习中忘记了加C，这需要在后续课程中持续提醒。

（4）基本性质：四条性质的讲解结合了具体例题，学生理解较好。特别是线性性质（性质3和性质4）的应用——将复杂积分拆解为简单积分的组合——是本课的一个教学亮点。例7“先化简再积分”的技巧，约60%的学生能在教师引导下完成。

（5）改进方向：下次教学可以增加更多“反过来看”的导数-积分对照练习，帮助学生更快建立逆向思维。同时可以设计一些“找错题”（如故意缺少+C），强化学生对积分常数的重视。