两个重要极限

教学项目

两个重要极限（第5课时）

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过第2-4课的学习，学生已掌握极限的基本概念、四则运算法则，以及0/0型、∞/∞型、∞-∞型等不定式的处理技巧。从第4课的课堂测验反馈来看：

约85%的学生能正确识别极限类型并选择对应方法，约80%的学生能独立完成因式分解和有理化处理，但涉及三角函数或指数函数的极限学生明显缺乏经验。

本节课引入两个重要极限：sin x/x → 1（x→0）和 (1+1/x)ˣ → e（x→∞），这两个极限不能用四则运算法则直接求得，是极限理论的重要补充。学生对“夹逼定理”和“单调有界定理”尚无认知，需要通过几何直观帮助理解证明思路。

根据教学计划，本课时为第9-10学时。

教学目标

知识目标：

（1）掌握第一个重要极限 lim(x→0) sin x/x = 1 及其证明思路；

（2）掌握第二个重要极限 lim(x→∞) (1+1/x)ˣ = e 及其含义；

（3）掌握两个重要极限的常见变形和推广形式；

（4）能利用两个重要极限求相关的极限问题。

能力目标：

（1）培养利用几何直观理解抽象数学定理的能力；

（2）培养将复杂极限化归为重要极限标准形式的变形技巧；

（3）提高综合运用极限工具解题的能力。

素质目标：

（1）通过夹逼定理的证明，体会数学推理的严密性和优美性；

（2）通过自然常数e的引入，感受数学与自然科学的深层联系。

教学重点

1. 第一个重要极限 lim(x→0) sin x/x = 1 的内容与应用；

2. 第二个重要极限 lim(x→∞) (1+1/x)ˣ = e 的内容与变形；

3. 利用两个重要极限求各种极限问题的方法。

教学难点

及应对

1. 夹逼定理证明 sin x/x → 1 的几何理解；

2. 将给定极限化归为重要极限标准形式的变形技巧；

3. 第二个重要极限中 1⁻∞ 型的识别与凑形。

教学资源

教材《高等数学》第2章 §2.3；多媒体课件；板书

教学方法

讲授法 + 几何直观演示 + 例题分析 + 课堂练习

教学反思

两个重要极限是极限理论的核心工具，贯穿后续导数和积分的学习。教学中借助函数图像和单位圆面积比较建立直观认识，再通过丰富的变形例题帮助学生掌握“凑标准形式”的关键技巧。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、第一个重要极限（15 min）

引入：

在第4课中，我们学习了各类不定式的处理方法。但有些极限无法通过因式分解或有理化来处理，例如：

${lim}_{x\to0} \frac{sin x}{x}$

分子分母在x→0时都趋于0，是0/0型不定式。但 sin x 不是多项式，不能因式分解。这就需要新的工具。

定理（第一个重要极限）

${lim}_{x\to0} \frac{sin x}{x} =1$

证明思路（夹逼定理）：

在单位圆中考虑角度x（0 < x < π/2），比较三个面积：

• 三角形OAB面积 = $\frac{1}{2} sin x$

• 扇形OAB面积 = $\frac{1}{2} x$

• 三角形OAC面积 = $\frac{1}{2} tan x$

由面积大小关系得：

$\frac{1}{2} sin x< \frac{1}{2} x< \frac{1}{2} tan x$

各项除以 (1/2)sin x > 0，得：

$1< \frac{x}{sin x} < \frac{1}{cos x}$

取倒数（不等式方向改变）：

$cos x< \frac{sin x}{x} <1$

当 x→0 时，cos x → 1，由夹逼定理得 ${lim}_{x\to0} \frac{sin x}{x} =1$

注意事项：

（1）x 的单位必须是弧度，不能用角度；

（2）x→0 表示从两侧趋近，利用偶函数性质可知左极限=右极限；

（3）sin x/x 在 x=0 处无定义，但极限值为1。

例1

求 ${lim}_{x\to0} \frac{tan x}{x}$

解： ${lim}_{x\to0} \frac{tan x}{x} = {lim}_{x\to0} \frac{sin x}{x} ⋅ \frac{1}{cos x} =1 ⋅ 1=1$

例2

求 ${lim}_{x\to0} \frac{sin 3x}{x}$

解：凑标准形式， $= {lim}_{x\to0} 3 ⋅ \frac{sin 3x}{3x} =3 ⋅ 1=3$

例3

求 ${lim}_{x\to0} \frac{sin 5x}{sin 3x}$

解： $= {lim}_{x\to0} \frac{sin 5x}{5x} ⋅ \frac{3x}{sin 3x} ⋅ \frac{5}{3} =1 ⋅ 1 ⋅ \frac{5}{3} = \frac{5}{3}$

例4

求 ${lim}_{x\to0} \frac{1- cos x}{x^{2}}$

解：利用半角公式 $1- cos x=2 {sin}^{2} \frac{x}{2}$ ，

$= {lim}_{x\to0} \frac{2 {sin}^{2} \frac{x}{2}}{x^{2}} = {lim}_{x\to0} 2 ⋅ \frac{{sin}^{2} \frac{x}{2}}{4 ⋅ (\frac{x}{2})^{2}} ⋅ \frac{4}{4}$

$= \frac{2}{4} ⋅ {lim}_{x\to0} (\frac{sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}})^{2} = \frac{1}{2} ⋅ 1^{2} = \frac{1}{2}$

二、第二个重要极限（15 min）

引入：

考虑数列问题：将1元钱存入年利率100%的银行，如果每年计息一次，一年后本利和为2元；如果半年计息一次，一年后为(1+1/2)²=2.25元；如果按n次计息，一年后为(1+1/n)ⁿ元。当n→∞时，这个数趋向多少？

定理（第二个重要极限）

${lim}_{n\to∞} (1+ \frac{1}{n})^{n} =e$

推广到连续形式： ${lim}_{x\to∞} (1+ \frac{1}{x})^{x} =e$

其中 e = 2.71828 18284 59045… 是一个无理数，称为自然常数。

等价变形：

令 t = 1/x，当 x→∞ 时 t→0，得到等价形式：

${lim}_{t\to0} {(1+t)}^{\frac{1}{t}} =e$

这个形式在实际应用中更常用。

例5

求 ${lim}_{x\to∞} (1+ \frac{2}{x})^{x}$

解：凑标准形式，令 t = x/2：

$= {lim}_{x\to∞} [(1+ \frac{1}{\frac{x}{2}})^{\frac{x}{2}}]^{2} {=e}^{2}$

例6

求 ${lim}_{x\to∞} (1- \frac{1}{x})^{x}$

解：令 t = -x：

$= {lim}_{t\to∞} (1+ \frac{1}{t})^{-t} = \frac{1}{e} {=e}^{-1}$

例7

求 ${lim}_{x\to0} {(1+3x)}^{\frac{1}{x}}$

解：令 t = 3x，当x→0时t→0：

$= {lim}_{t\to0} {(1+t)}^{\frac{3}{t}} = {lim}_{t\to0} {[(1+t)}^{\frac{1}{t}}]^{3} {=e}^{3}$

三、重要极限的拓展应用（5 min）

由两个重要极限可推导出一些常用结论：

（1） ${lim}_{x\to0} \frac{arcsin x}{x} =1$

（2） ${lim}_{x\to0} \frac{tan x}{x} =1$

（3） ${lim}_{x\to0} \frac{1- cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2}$

（4） ${lim}_{x\to0} \frac{ln (1+x)}{x} =1$

（5） ${lim}_{x\to0} \frac{e^{x} -1}{x} =1$

这些结论在后续的等价无穷小替换中将频繁使用。

从特殊问题引入第一个重要极限

几何直观+夹逼定理证明思路

复利问题引入第二个重要极限

凑标准形式是核心技巧

课堂测验

（10 min）

四、课堂练习（15 min）

请同学们独立完成以下练习：

1. ${lim}_{x\to0} \frac{sin 4x}{3x}$ =____

2. ${lim}_{x\to0} \frac{tan 2x}{sin 5x}$ =____

3. ${lim}_{x\to0} \frac{1- cos 2x}{x ⋅ sin x}$ =____

4. ${lim}_{x\to∞} (1+ \frac{3}{x})^{x}$ =____

5. ${lim}_{x\to0} {(1-2x)}^{\frac{1}{x}}$ =____

参考答案：

1. = 4/3 · lim sin(4x)/(4x) = 4/3 · 1 = 4/3

2. = lim [tan(2x)/(2x)] · [5x/sin(5x)] · 2/5 = 1 · 1 · 2/5 = 2/5

3. 1-cos2x = 2sin²x, 原式 = lim 2sin²x/(x·sinx) = lim 2sinx/x = 2

4. = [lim(1+1/(x/3))^(x/3)]^3 = e³

5. 令t=-2x, = lim(1+t)^(-1/(2t)) = e^(-2)

前3题练习第一个重要极限

后2题练习第二个重要极限

第二节课

课堂测验与总结（15 min）

五、课堂测验（5 min）

1. ${lim}_{x\to0} \frac{sin x- sin (sin x)}{x^{3}}$ =____ （提示：利用 sin x ≈ x 化简）

2. ${lim}_{x\to∞} (\frac{x+1}{x-1})^{x}$ =____

解析：

1. 令 u = sin x，当x→0时 u→0 且 u ≈ x。

原式 = lim (x - sin x)/x³ + … 此题较难，完整解答需要后续的等价无穷小或泰勒展开工具，留作思考。

2. $(\frac{x+1}{x-1})^{x} =(1+ \frac{2}{x-1})^{x}$

令 t = (x-1)/2： $=[(1+ \frac{1}{t})^{t}]^{\frac{2x}{x-1}}$ ，当x→∞时 t→∞，2x/(x-1)→2，

故原式 = $e^{2}$

综合测验两个重要极限

课堂测验

（10 min）

补充：一般形式总结

第一个重要极限的一般形式：

当 f(x)→0 时， $lim \frac{sin f(x)}{f(x)} =1$

关键：保证“sin里面的”和“分母”是同一个趋于0的量。

第二个重要极限的一般形式：

当 f(x)→0 时， $lim {(1+f(x))}^{\frac{1}{f(x)}} =e$

当 f(x)→∞ 时， $lim (1+ \frac{1}{f(x)})^{f(x)} =e$

关键：凑成“1 + □”的底数，指数恰好是□的倒数。

总结一般形式，强化规律

课堂小结

（5 min）

课堂小结

本节课核心内容：

1. 第一个重要极限： ${lim}_{x\to0} \frac{sin x}{x} =1$

证明方法：单位圆面积比较 + 夹逼定理

应用关键：凑成 sin(□)/□ 的标准形式

2. 第二个重要极限： ${lim}_{x\to∞} (1+ \frac{1}{x})^{x} =e$

等价形式： ${lim}_{t\to0} {(1+t)}^{\frac{1}{t}} =e$

应用关键：凑成 (1+□)^(1/□) 的标准形式

解题策略：

（1）识别极限类型——是否涉及三角函数或指数函数；

（2）选择对应的重要极限；

（3）通过换元或变形凑成标准形式。

下节课预告：无穷小的比较与等价无穷小替换——利用重要极限的结论，发展出更简便的极限计算工具。

总结两个重要极限的核心要点

预告等价无穷小替换

教学反思

本节课介绍了两个重要极限，是极限理论的核心工具。

教学效果分析：

1. 第一个重要极限的几何证明思路学生接受较好，单位圆面积比较直观易懂，约90%的学生能理解证明逻辑；

2. 第二个重要极限的复利模型引入效果良好，学生对e的来源有了直观认识；

3. “凑标准形式”是本课的核心技能，约70%的学生在课堂练习中能独立完成简单的凑形，但遇到如 (x+1)/(x-1) 这类需要先变形再凑的题目，正确率降至约40%；

4. 部分学生混淆两个重要极限的适用条件。

改进方向：

1. 增加更多“凑形”的变式练习，特别是第二个重要极限的变形题；

2. 制作两个重要极限的对比卡片帮助学生区分；

3. 下节课的等价无穷小可以简化很多计算，注意与本课衔接。