教学项目

偏导数

授课地点

教学楼多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

学生已掌握多元函数的概念、极限和连续性。本节课引入偏导数——多元函数微分学的基础概念。核心思想是固定其他变量，对一个变量求导，学生有一元导数基础可以类比。高阶偏导数和混合偏导数的相等条件需要重点讲解。

教学目标

1. 知识目标

掌握偏导数的定义、计算方法和几何意义。

2. 能力目标

能熟练求各类函数的偏导数和高阶偏导数。

3. 素养目标

理解偏导数的物理意义，体会多元微分与一元微分的联系与区别。

教学重点

1. 偏导数的定义和计算方法（固定其他变量）；

2. 偏导数的几何意义（切线斜率）；

3. 高阶偏导数和混合偏导数相等定理。

教学难点

及应对

1. 偏导数存在与连续的关系；

2. 高阶混合偏导数相等的条件；

3. 分段函数在分界点处的偏导数计算。

教学资源

多媒体课件、三维曲面图、教案配图

教学方法

讲授法、类比法、图示法、练习巩固

教学反思

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、偏导数的定义

定义 设$''z=f(x,y)''$在点${''(x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}{'',y''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}'')''$的某邻域内有定义，固定${''y=y''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}$，则

${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''(x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}{'',y''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}'')=''{''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\Delta </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{{''f(x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}''+''''\Delta ''{''x,y''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}{'')-f(x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}{'',y''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}'')''}{''\Delta ''''x''}$

核心思想：把其他变量看作常数，对一个变量求导。

记号：${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}$、$\frac{''\partial ''''f''}{''\partial ''''x''}$、$\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''x''}$等价。

例1 设${''z=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+3xy+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$，求$\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''x''}$和$\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''y''}$。

解：对x求偏导（y视为常数）：$\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''x''}''=2x+3y''$

对y求偏导（x视为常数）：$\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''y''}''=3x+2y''$

例2 设${''z=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xy</ms>}}''\backslash sin''''(x+y)''$，求$\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''x''}$。

解：（乘法法则，y视为常数）

$\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''x''}{''=ye''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xy</ms>}}''\backslash sin''{''(x+y)+e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xy</ms>}}''\backslash cos''{''(x+y)=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xy</ms>}}''[y''''\backslash sin''''(x+y)+''''\backslash cos''''(x+y)]''$

二、偏导数的几何意义

${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''(x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}{'',y''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}'')''$= 曲面$''z=f(x,y)''$被平面${''y=y''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}$截得的曲线在该点处切线的斜率。

三、高阶偏导数

二阶偏导数有四个：

$\frac{{''\partial ''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''z''}{''\partial ''{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''=f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xx</ms>}}$， $\frac{{''\partial ''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''z''}{''\partial ''{''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''=f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">yy</ms>}}$

$\frac{{''\partial ''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''z''}{''\partial ''''x''''\partial ''''y''}{''=f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xy</ms>}}$， $\frac{{''\partial ''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''z''}{''\partial ''''y''''\partial ''''x''}{''=f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">yx</ms>}}$

定理（混合偏导数相等）：

若${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xy</ms>}}$和${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">yx</ms>}}$都连续，则${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xy</ms>}}{''=f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">yx</ms>}}$。

例3 设${''z=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}''y+''''\backslash cos''''(xy)''$，求所有二阶偏导数。

解：

${''z''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''=3x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''y-y''''\backslash sin''''(xy)''$， ${''z''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}{''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}''-x''''\backslash sin''''(xy)''$

${''z''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xx</ms>}}{''=6xy-y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''\backslash cos''''(xy)''$

${''z''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">yy</ms>}}{''=-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''\backslash cos''''(xy)''$

${''z''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xy</ms>}}{''=3x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''-''''\backslash sin''''(xy)-xy''''\backslash cos''{''(xy)=z''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">yx</ms>}}$

偏导数定义体现“固定其他变量”的核心思想。

几何意义用截面曲线切线帮助直觉理解。

高阶偏导数和混合偏导数相等定理很重要。

课堂测验

（10 min）

例4 验证${''u=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''(x''''\backslash cos''''y-y''''\backslash sin''''y)''$满足拉普拉斯方程$\frac{{''\partial ''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''u''}{''\partial ''{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''+''\frac{{''\partial ''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''u''}{''\partial ''{''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''=0''$。

解：

${''u''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''(x''''\backslash cos''''y-y''''\backslash sin''{''y)+e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''\backslash cos''{''y=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''[(x+1)''''\backslash cos''''y-y''''\backslash sin''''y]''$

${''u''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xx</ms>}}{''=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''[(x+2)''''\backslash cos''''y-y''''\backslash sin''''y]''$

${''u''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}{''=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''(-x''''\backslash sin''''y-''''\backslash sin''''y-y''''\backslash cos''{''y)=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''[-(x+1)''''\backslash sin''''y-y''''\backslash cos''''y]''$

${''u''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">yy</ms>}}{''=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''[-(x+2)''''\backslash cos''''y+y''''\backslash sin''''y]''$

${''u''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xx</ms>}}{''+u''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">yy</ms>}}''=0''$ ✓

验证微分方程培养计算严谨性。

第二节课

课堂练习（20 min）

练习1 设${''z=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''y+''''\backslash sin''''(2x-y)''$，求${''z''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}$和${''z''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}$。

解：${''z''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''=2xy+2''''\backslash cos''''(2x-y)''$，${''z''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}{''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''-''''\backslash cos''''(2x-y)''$

练习2 设$''z=''''\backslash ln''{''(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}'')''$，求${''z''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xx</ms>}}{''+z''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">yy</ms>}}$。

解：${''z''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''=''\frac{''2x''}{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$，${''z''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xx</ms>}}''=''\frac{{''2(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}'')-2x''''\cdot ''''2x''}{{''(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''=''\frac{{''2y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''-2x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$

同理 ${''z''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">yy</ms>}}''=''\frac{{''2x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''-2y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$

${''z''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xx</ms>}}{''+z''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">yy</ms>}}''=0''$（也满足拉普拉斯方程）

练习3 求${''f(x,y)=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}$（x>0）的偏导数。

解：${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''=yx''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y-1</ms>}}$（y视为常数，幂函数求导）

${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}{''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}''\backslash ln''''x''$（x视为常数，指数函数求导）

练习1巩固基本偏导数计算。

练习2验证拉普拉斯方程。

练习3注意变量角色不同时求导法则不同。

课堂测验

（10 min）

补充：偏导数存在与连续的关系

对多元函数：偏导数存在不能保证函数连续（与一元不同！）。

但如果偏导数连续，则函数一定连续。

这一关系是多元函数特有的重要性质，与一元有本质区别。

课堂小结

（5 min）

课堂小结

核心知识点：

1. 偏导数：固定其他变量，对一个变量求导

2. 几何意义：截面曲线的切线斜率

3. 高阶偏导数：混合偏导数连续则相等

4. 偏导数存在不保证连续（多元特有）

下节预告：全微分——多元函数的线性近似。

系统总结偏导数的定义、计算和性质。

预告全微分将偏导数综合应用。

教学反思

偏导数概念通过“固定其他变量”的类比，学生接受快。

几何意义的三维图形演示效果好。

高阶偏导数计算量大，课后需多练习。

偏导数存在不保证连续这一点需反复强调。