教学项目

全微分——全微分定义、可微条件与近似计算

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过前十个课时的系统学习，学生已经完成了多元函数的极限与连续、偏导数的概念与计算、高阶偏导数等核心内容。从第10课的课堂测验和作业反馈来看：（1）学生能够熟练计算二元函数的偏导数，掌握了求偏导数的基本技巧；（2）学生理解了偏导数的几何意义——沿坐标轴方向的变化率；（3）学生对高阶偏导数的混合偏导相等条件有了初步认识。

本节课将引入全微分的概念，这是从一元函数微分到多元函数微分的自然推广。一元函数中，dy=f'(x)dx 给出了函数增量的线性近似；类似地，二元函数的全微分 dz=fx*dx+fy*dy 给出了函数增量的线性主部。全微分的核心价值在于：（1）为后续链式法则和隐函数求导提供理论基础；（2）为多元函数的近似计算提供实用工具。

学生可能的困难在于：（1）全增量与全微分的区别——需要理解全微分只是全增量的线性主部；（2）可微与偏导数存在之间的关系——偏导数存在不一定可微，但偏导数连续一定可微；（3）近似计算中对增量 dx、dy 的正确理解。

根据教学计划，本课时为第21-22学时。

教学目标

知识目标：

（1）理解全微分的定义，掌握二元函数全微分的表达式 $''dz=''\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''x''}''dx+''\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''y''}''dy''$；

（2）理解全增量与全微分的关系——全微分是全增量的线性主部；

（3）掌握可微的充分条件：若偏导数 $\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''x''}$ 和 $\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''y''}$ 在点 (x,y) 处连续，则 z=f(x,y) 在该点可微；

（4）理解可微、偏导数存在、连续之间的关系：连续偏导数 => 可微 => 偏导数存在，反之不成立；

（5）能够运用全微分进行近似计算：$''f(x+''''\Delta ''''x,\; y+''''\Delta ''''y)''''\approx ''{''f(x,y)+f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''\Delta ''{''x+f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}''\Delta ''''y''$。

能力目标：

（1）培养从一元微分向多元微分推广的数学类比能力；

（2）培养运用全微分进行多元函数近似计算的实际应用能力；

（3）培养辨析可微、偏导数存在、连续等概念之间逻辑关系的能力。

素质目标：

（1）通过一元到多元的推广，体会数学知识的内在逻辑和统一性；

（2）通过近似计算的应用实例，感受全微分在工程计算中的实用价值；

（3）通过概念辨析，培养严谨的逻辑思维和精确的数学表达能力。

教学重点

1. 全微分的定义与公式 全微分 dz 是全增量 Δz 的线性主部，表达式为 $''dz=''\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''x''}''dx+''\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''y''}''dy''$。学生需要清楚全微分的含义——用两个偏导数的线性组合来近似全增量。

2. 可微的充分条件 偏导数连续是可微的充分（非必要）条件。这是实际判断函数可微性的最常用工具——只要验证偏导数在该点连续，就可以断定函数在该点可微。

3. 全微分的近似计算 利用全微分公式进行多元函数值的近似计算，是全微分最直接的应用。需要掌握选择基点、计算偏导数、代入近似公式的操作流程。

教学难点

及应对

难点：

1. 全增量与全微分的区别——全增量 Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) 是精确值，全微分 dz 是其线性近似。两者之差是比 ρ 更高阶的无穷小量；

2. 可微与偏导数存在的关系——偏导数存在只是可微的必要条件而非充分条件，学生容易误以为偏导数存在就等价于可微；

3. 近似计算中基点的选取——需要选择使计算简单的基点（通常是容易计算函数值的整数点），同时增量 Δx、Δy 要足够小以保证近似精度。

应对策略：

1. 通过类比一元函数微分 dy=f'(x)dx，帮助学生自然理解全微分的含义；

2. 用具体的反例说明偏导数存在但不可微的情况，加深理解；

3. 近似计算的教学采用「三步法」：选基点→求偏导数→代入公式，通过多个例题训练。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：一元与多元微分类比图、全增量与全微分关系图、可微条件关系图、近似计算流程图、误差传播示意图、知识总结图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

类比法：从一元函数微分类比引出全微分概念，降低理解难度

讲授法：系统讲解全微分的定义、可微条件和近似计算方法

图示法：利用关系图帮助学生理清可微与偏导数存在、连续之间的逻辑关系

练习法：讲练结合，每讲完一个知识模块立即进行课堂练习

教学反思

本节课从一元函数微分出发，通过类比自然引入全微分的概念，进而讲解可微的充分条件和全微分的近似计算应用。从课堂表现来看，学生通过一元到多元的类比较好地理解了全微分的含义，偏导数连续即可微的充分条件是最常用的判定工具。近似计算部分的应用实例有效激发了学生的学习兴趣。下节课将学习多元复合函数的求导法则（链式法则），全微分是其重要基础。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、回顾与引入——从一元微分到全微分（10分钟）

【教师】同学们，在一元函数中我们学过微分的概念。回顾一下：

一元函数微分：对于 y=f(x)，当 f'(x) 存在时，函数的增量可以表示为

$''\Delta ''{''y=f''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''(x)''''\Delta ''''x+o(''''\Delta ''''x)''$

其中 ${''f''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''(x)''''\Delta ''''x''$ 是增量的线性主部，称为微分：${''dy=f''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''(x)dx''$。

【教师】现在我们考虑二元函数 z=f(x,y)。当 x 和 y 同时改变时，z 的全增量为

$''\Delta ''''z=f(x+''''\Delta ''''x,\; y+''''\Delta ''''y)-f(x,y)''$

问题是：能否像一元情况那样，用一个线性表达式来近似这个全增量？这就引出了全微分的概念。

二、全微分的定义（15分钟）

定义 设 z=f(x,y) 在点 (x,y) 的某邻域内有定义，如果全增量

$''\Delta ''''z=f(x+''''\Delta ''''x,\; y+''''\Delta ''''y)-f(x,y)''$

可以表示为

$''\Delta ''''z=A''''\Delta ''''x+B''''\Delta ''''y+o(''''\rho '''')''$

其中 A、B 不依赖于 $''\Delta ''''x''$、$''\Delta ''''y''$，而仅与 x、y 有关，$''\rho ''''=''\sqrt{''(''''\Delta ''{''x)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+(''''\Delta ''{''y)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$，则称 z=f(x,y) 在点 (x,y) 处可微，其全微分为

$''dz=A''''\Delta ''''x+B''''\Delta ''''y=Adx+Bdy''$

定理 如果 z=f(x,y) 在点 (x,y) 处可微，则

$''A=''\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''x''}'',''''\backslash quad''''B=''\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''y''}$

因此全微分公式为：

$''dz=''\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''x''}''dx+''\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''y''}''dy''$

理解要点：

（1）全微分 dz 是全增量 Δz 的线性主部，误差为高阶无穷小 o(ρ)；

（2）全微分由两部分构成——对 x 的偏微分和对 y 的偏微分之和；

（3）当 Δx、Δy 很小时，Δz ≈ dz，这就是近似计算的理论基础。

例1 求 ${''z=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''y+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$ 的全微分。

解

$\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''x''}''=2xy,''''\backslash quad''''''\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''y''}{''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+2y''$

全微分为

${''dz=2xydx+(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+2y)dy''$

例2 求 ${''z=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xy</ms>}}$ 的全微分。

解

$\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''x''}{''=ye''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xy</ms>}}'',''''\backslash quad''''''\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''y''}{''=xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xy</ms>}}$

${''dz=ye''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xy</ms>}}{''dx+xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xy</ms>}}{''dy=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xy</ms>}}''(ydx+xdy)''$

三、可微的条件（10分钟）

定理1（必要条件） 若 z=f(x,y) 在点 (x,y) 处可微，则 z 在该点的偏导数必存在。

注意 反之不成立！偏导数存在不一定可微。

定理2（充分条件） 若偏导数 $\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''x''}$ 和 $\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''y''}$ 在点 (x,y) 处连续，则 z=f(x,y) 在该点可微。

实际意义：我们遇到的大多数函数（多项式、指数函数、三角函数及其复合），偏导数都是连续的，因此都是可微的。定理2是判断可微性最常用的工具。

关系链：

偏导数连续 => 可微 => 偏导数存在

偏导数连续 => 可微 => 连续

但各逆命题均不成立。

从一元微分出发进行类比，自然引出全微分的概念，降低学生的认知跳跃难度。

系统给出全微分的定义和公式，通过图示帮助学生理解全增量与全微分的关系。

例1和例2分别以多项式函数和指数函数为例，训练全微分公式的运用。

讲解可微的必要条件和充分条件，通过关系图帮助学生理清概念之间的逻辑关系。

强调偏导数连续是判断可微性最实用的充分条件。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做两道练习题，巩固全微分的求法和可微条件的判断。

练习1：求 $''z=x''''sin''''y+y''''cos''''x''$ 的全微分。

解

$\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''x''}''=''''sin''''y-y''''sin''''x''$

$\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''y''}''=x''''cos''''y+''''cos''''x''$

全微分为

$''dz=(''''sin''''y-y''''sin''''x)dx+(x''''cos''''y+''''cos''''x)dy''$

练习2：求 ${''u=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+z''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$ 的全微分。

解 这是三元函数，全微分为

$''du=''\frac{''\partial ''''u''}{''\partial ''''x''}''dx+''\frac{''\partial ''''u''}{''\partial ''''y''}''dy+''\frac{''\partial ''''u''}{''\partial ''''z''}''dz''$

$''=2xdx+2ydy+2zdz''$

【教师】讲评要点：（1）练习1中要注意混合函数求偏导时的正确性；（2）练习2展示了全微分公式推广到三元函数的情形——每个变量的偏导数乘以对应的微分之和。

练习1训练包含三角函数的全微分计算，考查偏导数的准确性。

练习2将全微分公式推广到三元函数，拓展学生对全微分的理解。

讲评中强调全微分公式的统一结构。

第二节课

知识讲解

（30 min）

四、全微分的近似计算（20分钟）

近似公式：

$''f(x+''''\Delta ''''x,\; y+''''\Delta ''''y)''''\approx ''{''f(x,y)+f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''(x,y)''''\Delta ''{''x+f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}''(x,y)''''\Delta ''''y''$

操作步骤：

第一步：选择基点 (x,y)——使函数值容易计算的点（通常取整数或特殊值）；

第二步：确定增量 Δx、Δy；

第三步：计算偏导数在基点处的值；

第四步：代入近似公式求值。

例3 用全微分近似计算 ${''(1.02)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2.01</ms>}}$。

解 设 ${''f(x,y)=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}$，取基点 (1, 2)，则 $''\Delta ''''x=0.02''$，$''\Delta ''''y=0.01''$。

${''f(1,2)=1''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=1''$

求偏导数：

${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''=yx''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y-1</ms>}}$，在 (1,2) 处：${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''(1,2)=2''''\cdot ''{''1''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}''=2''$

${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}{''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}''ln''''x''$，在 (1,2) 处：${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}{''(1,2)=1''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''\cdot ''''''''ln''''1=0''$

代入近似公式：

${''(1.02)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2.01</ms>}}''\approx ''''1+2''''\times ''''0.02+0''''\times ''''0.01=1.04''$

即 ${''(1.02)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2.01</ms>}}''\approx ''''1.04''$。

例4 用全微分近似计算 $\sqrt{{''(1.97)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+(3.04)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$。

解 设 $''f(x,y)=''\sqrt{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$，取基点 (2, 3)，则 $''\Delta ''''x=-0.03''$，$''\Delta ''''y=0.04''$。

$''f(2,3)=''\sqrt{''4+9''}''=''\sqrt{''13''}$

求偏导数：

${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''=''\frac{''x''}{\sqrt{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}}$，在 (2,3) 处：${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''(2,3)=''\frac{''2''}{\sqrt{''13''}}$

${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}''=''\frac{''y''}{\sqrt{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}}$，在 (2,3) 处：${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}''(2,3)=''\frac{''3''}{\sqrt{''13''}}$

代入近似公式：

$''f''''\approx ''''''\sqrt{''13''}''+''\frac{''2''}{\sqrt{''13''}}''\times ''''(-0.03)+''\frac{''3''}{\sqrt{''13''}}''\times ''''0.04''$

$''=''\sqrt{''13''}''+''\frac{''-0.06+0.12''}{\sqrt{''13''}}''=''\sqrt{''13''}''+''\frac{''0.06''}{\sqrt{''13''}}$

即 $\sqrt{{''(1.97)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+(3.04)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''\approx ''''''\sqrt{''13''}''+''\frac{''0.06''}{\sqrt{''13''}}''\approx ''''3.6166''$。

五、误差估计与工程应用（10分钟）

误差传播公式：

设 z=f(x,y)，x 和 y 的测量误差分别为 $''\Delta ''''x''$ 和 $''\Delta ''''y''$，则 z 的绝对误差近似为

$''|''''\Delta ''''z|''''\approx ''''|''\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''x''}''||''''\Delta ''''x|+|''\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''y''}''||''''\Delta ''''y|''$

例5 测量圆柱体的半径 R 和高 h 来计算体积 $''V=''''\pi ''{''R''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''h''$。若 R=2cm（误差 ±0.02cm），h=5cm（误差 ±0.05cm），估计体积的绝对误差。

解

$\frac{''\partial ''''V''}{''\partial ''''R''}''=2''''\pi ''''Rh=2''''\pi ''''''''\times ''''2''''\times ''''5=20''''\pi ''$

$\frac{''\partial ''''V''}{''\partial ''''h''}''=''''\pi ''{''R''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=4''''\pi ''$

$''|''''\Delta ''''V|''''\approx ''''20''''\pi ''''''''\times ''''0.02+4''''\pi ''''''''\times ''''0.05=0.4''''\pi ''''+0.2''''\pi ''''=0.6''''\pi ''''''''\approx ''''1.885''''\backslash text''{''cm''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}$

即体积的绝对误差约为 $''0.6''''\pi ''''''''\approx ''''1.885''$ cm³。

系统讲解全微分近似计算的操作步骤，通过流程图帮助学生建立清晰的操作规范。

例3以幂函数为例展示近似计算的标准流程，选择基点和确定增量是关键步骤。

例4以根式函数为例展示包含根号的近似计算，训练偏导数的计算和代入能力。

通过误差传播公式将全微分与工程实际联系起来，展示数学工具的实用价值。

例5以圆柱体体积的误差估计为例，展示全微分在误差分析中的应用。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做两道练习题，训练全微分的近似计算能力。

练习3：用全微分近似计算 ${''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0.02</ms>}}''sin''''(1.05''''\times ''''''\frac{''\pi ''}{''2''}'')''$。

提示：设 f(x,y)=e^x sin y，取基点 (0, π/2)。

解 设 ${''f(x,y)=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''sin''''y''$，取基点 $''(0,''\frac{''\pi ''}{''2''}'')''$，$''\Delta ''''x=0.02''$，$''\Delta ''''y=0.05''''\times ''''''\frac{''\pi ''}{''2''}$。

$''f(0,''\frac{''\pi ''}{''2''}{'')=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}''sin''''''\frac{''\pi ''}{''2''}''=1''$

${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''sin''''y''$，在基点处：${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''=1''$

${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}{''=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''cos''''y''$，在基点处：${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}''=0''$

代入近似公式：

$''f''''\approx ''''1+1''''\times ''''0.02+0''''\times ''''''''\Delta ''''y=1.02''$

即 ${''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0.02</ms>}}''sin''''(1.05''''\times ''''''\frac{''\pi ''}{''2''}'')''''\approx ''''1.02''$。

练习4：求 $''z=''''ln''''(x+y)''$ 的全微分，并利用全微分近似计算 ln(1.01+0.99)。

解

$''dz=''\frac{''1''}{''x+y''}''dx+''\frac{''1''}{''x+y''}''dy=''\frac{''dx+dy''}{''x+y''}$

取基点 (1, 1)，$''\Delta ''''x=0.01''$，$''\Delta ''''y=-0.01''$。

$''f(1,1)=''''ln''''2''$

$''ln''''(1.01+0.99)''''\approx ''''''''ln''''2+''\frac{''0.01+(-0.01)''}{''2''}''=''''ln''''2''''\approx ''''0.6931''$

即 $''ln''''(1.01+0.99)''''\approx ''''''''ln''''2''$（增量恰好互相抵消）。

【教师】讲评要点：（1）练习3的关键在于选择正确的基点和识别 f_y=0 使得计算大幅简化；（2）练习4展示了一个有趣的情况——两个增量的影响恰好抵消，结果就是基点处的函数值。

练习3训练包含指数和三角函数的近似计算，展示基点选取的技巧。

练习4展示增量互相抵消的特殊情况，加深对近似公式的理解。

讲评中强调基点选取和增量确定是近似计算的核心步骤。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心要点：

一、全微分的定义与公式：

全微分 $''dz=''\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''x''}''dx+''\frac{''\partial ''''z''}{''\partial ''''y''}''dy''$，是全增量 Δz 的线性主部。

二、可微的条件：

（1）必要条件：可微 => 偏导数存在；

（2）充分条件：偏导数连续 => 可微（最常用的判定工具）；

（3）关系链：偏导数连续 => 可微 => 偏导数存在 => 不一定连续。

三、全微分的应用：

近似计算 $''f(x+''''\Delta ''''x,\; y+''''\Delta ''''y)''''\approx ''{''f(x,y)+f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''\Delta ''{''x+f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}''\Delta ''''y''$

误差估计：绝对误差 ≈ |f_x|·|Δx| + |f_y|·|Δy|。

四、作业布置：

（1）求给定函数的全微分；

（2）利用全微分进行近似计算；

（3）误差估计应用题。

五、预习：

下节课学习多元复合函数的求导法则（链式法则）。请提前思考：如果 z=f(u,v)，而 u=φ(t)，v=ψ(t)，如何求 dz/dt？

通过知识总结图系统归纳全微分的定义、条件和应用三个模块。

强调全微分公式和可微条件的关系链是本节课的核心。

布置分层作业，覆盖全微分计算、近似计算和误差估计。

布置预习任务，为下节课链式法则的学习做铺垫。

教学反思

本节课从一元函数微分出发，通过类比引入全微分的概念，进而讲解可微条件和近似计算应用。教学效果分析如下：

（1）类比引入环节：从一元微分 dy=f'(x)dx 类比到全微分 dz=fx*dx+fy*dy，学生的接受度较好。一元到多元的类比图有效降低了概念的抽象度，约85%的学生能够理解全微分的含义。

（2）全微分公式的教学：例1和例2涵盖了多项式函数和指数函数两种典型情况，学生完成度很高。主要困难在于复杂函数求偏导数时的计算准确性，约15%的学生在求偏导数时出现符号或系数错误。

（3）可微条件的教学：关系图帮助学生理清了概念之间的逻辑关系。偏导数连续=>可微这一充分条件，学生理解较好。但偏导数存在但不可微的反例较为抽象，约30%的学生仍有困惑。建议后续通过更多具体例子加以强化。

（4）近似计算环节是本节课学生反馈最好的内容。例3和例4的操作流程清晰，学生的完成度约80%。基点选取的技巧需要更多练习来巩固。

（5）误差估计的工程应用实例有效激发了学生的兴趣，让学生看到了全微分在实际测量中的应用价值。

（6）整体反思：本节课内容量适中，理论部分（定义和条件）与应用部分（近似计算和误差估计）的分配比例合理。建议在后续课程中继续通过链式法则等内容强化全微分的理论基础。