教学项目

函数的单调性、极值与最值（第16课时）

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过第14课微分中值定理和第15课洛必达法则的学习，学生已掌握了导数的理论基础和计算应用。本课进入导数的第二大应用——研究函数的性态。

学生在高中阶段已接触过函数单调性的概念（通过定义证明），但用导数判断单调性是全新的方法。极值概念与高中的“极大极小”有衔接，但大学要求更严格，需要建立“必要条件+充分条件”的判定体系。

根据教学计划，本课时为第31-32学时。

教学目标

知识目标：

（1）掌握用导数判断函数单调性的方法；

（2）理解极值的定义，掌握极值的必要条件和两个充分条件；

（3）掌握闭区间上连续函数最值的求法。

能力目标：

（1）能用列表法分析函数的单调区间和极值；

（2）能求解简单的实际最优化问题。

素质目标：

（1）通过必要条件和充分条件的区分，培养严密的逻辑思维；

（2）通过最值的实际应用，感受数学的实用价值。

教学重点

1. 导数符号与函数单调性的关系；

2. 极值的第一充分条件（导数变号法则）；

3. 闭区间上连续函数最值的四步求法。

教学难点

及应对

1. 极值的必要条件与充分条件的区别；

2. 第二充分条件失效时的处理；

3. 实际最优化问题的数学建模。

教学资源

教材《高等数学》；多媒体课件；可视化图形

教学方法

图形演示 + 列表法分析 + 例题驱动 + 课堂练习

教学反思

本课是导数应用的核心内容。教学上采用“图形直观→严格定理→列表法实操”的路线，让学生先看到导数符号与函数图形的关系，再掌握系统化的分析方法。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

新课讲授（35 min）

一、函数的单调性（10 min）

定理（单调性判定）：

设 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，则：

（1）若 f′(x) > 0（x ∈ (a,b)），则 f(x) 在 [a,b] 上单调递增；

（2）若 f′(x) < 0（x ∈ (a,b)），则 f(x) 在 [a,b] 上单调递减。

例1

确定 ${''f(x)=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}''-3x''$ 的单调区间。

解：${''f''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''(x)=3x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''-3=3(x-1)(x+1)''$

令 f′(x) = 0，得驻点 x = −1, x = 1。

列表分析：

x ∈ (−∞, −1)：f′(x) > 0 → 递增；

x ∈ (−1, 1)：f′(x) < 0 → 递减；

x ∈ (1, +∞)：f′(x) > 0 → 递增。

二、极值的概念与判定（15 min）

定义：

若 f(x₀) 是 x₀ 某邻域内的最大（小）值，则称 f(x₀) 为极大（小）值。

必要条件：

若 f(x) 在 x₀ 处可导且取得极值，则 ${''f''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''(x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}'')=0''$（驻点）。

注意：驻点不一定是极值点！例如 f(x) = x³ 在 x = 0 处 f′(0) = 0 但无极值。

【第一充分条件】导数变号法则

续上例 f(x) = x³ − 3x：

x = −1 处：f′(x) 由正变负 → 极大值 f(−1) = 2；

x = 1 处：f′(x) 由负变正 → 极小值 f(1) = −2。

【第二充分条件】二阶导数判别法

定理：

设 f′(x₀) = 0 且 f″(x₀) 存在，则：

（1）f″(x₀) < 0 → f(x₀) 是极大值；

（2）f″(x₀) > 0 → f(x₀) 是极小值；

（3）f″(x₀) = 0 → 此法失效，改用第一充分条件。

例2

求 ${''f(x)=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">4</ms>}}{''-2x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+1''$ 的极值。

解：${''f''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''(x)=4x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}{''-4x=4x(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''-1)=4x(x-1)(x+1)''$

驻点：x = 0, x = ±1。

${''f''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime \prime </ms>}}{''(x)=12x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''-4''$

f″(0) = −4 < 0 → 极大值 f(0) = 1；

f″(1) = 8 > 0 → 极小值 f(1) = 0；

f″(−1) = 8 > 0 → 极小值 f(−1) = 0。

三、闭区间上的最值（10 min）

例3

求 ${''f(x)=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}''-3x+1''$ 在 [0, 3] 上的最大值和最小值。

解：${''f''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''(x)=3x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''-3=0''$，得 x = 1（在 [0,3] 内）。

计算函数值：f(0) = 1，f(1) = −1，f(3) = 19。

比较：最大值 = 19（x=3 处），最小值 = −1（x=1 处）。

直观图形引入

必要条件 + 两个充分条件

四步法求最值

课堂测验

（10 min）

四、应用问题示例（10 min）

例4（实际最优化）

要做一个容积为 V 的圆柱形容器，问底面半径 r 和高 h 取何值时，用料最省（即侧面积+两底面积最小）？

解：

约束条件：$''\pi ''{''r''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''h=V''$，即 $''h=''\frac{''V''}{''\pi ''{''r''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$。

目标函数：$''S=2''''\pi ''{''r''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+2''''\pi ''''rh=2''''\pi ''{''r''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+''\frac{''2V''}{''r''}$。

${''S''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=4''''\pi ''''r-''\frac{''2V''}{{''r''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''=0''$，解得 $''r=''''\backslash sqrt''''[3]''\frac{''V''}{''2''''\pi ''}$。

此时 $''h=''\frac{''V''}{''\pi ''{''r''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''=2r''$，即 h = 2r（高等于直径）时用料最省。

方法总结：

实际最优化问题的解题步骤：

（1）建立目标函数（用一个变量表示）；

（2）确定定义域；

（3）求驻点，判断极值；

（4）回答实际问题。

数学建模思路

实际问题转化

第二节课

课堂练习与总结（15 min）

五、课堂练习（8 min）

1. 求 ${''f(x)=xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}$ 的单调区间和极值。

2. 求 ${''f(x)=2x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}{''-9x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+12x-3''$ 在 [0, 4] 上的最值。

参考答案：

1. f′(x) = (1−x)e⁻ˣ。x<1 时 f′>0 递增，x>1 时 f′<0 递减。极大值 f(1) = 1/e。无极小值。

2. f′(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x−1)(x−2)，驻点 x=1, x=2。f(0)=−3, f(1)=2, f(2)=1, f(4)=13。最大值=13, 最小值=−3。

综合练习

课堂测验

（10 min）

课堂测验（2 min）

求 f(x) = x³ 在 x = 0 处是否取极值？为什么？

答案：

f′(x) = 3x²，f′(0) = 0 是驻点。但 f′(x) = 3x² ≥ 0（x ≠ 0 时 > 0），导数不变号，故 x = 0 不是极值点。

辨析驻点与极值点

课堂小结

（5 min）

课堂小结

本课核心内容：

1. 单调性：f′(x) > 0 递增，f′(x) < 0 递减；

2. 极值必要条件：f′(x₀) = 0（驻点），但驻点不一定是极值点；

3. 第一充分条件：导数变号（+→− 极大，−→+ 极小）；

4. 第二充分条件：f″(x₀)<0 极大，f″(x₀)>0 极小；

5. 闭区间最值：驻点值+端点值，比较取最大最小。

下节课预告：曲线的凹凸性与拐点——利用二阶导数研究曲线的弯曲方向。

五条要点

预告凹凸拐点

教学反思

本课是导数应用的核心内容，学生参与度较高。

教学效果分析：

1. 单调性判定学生容易理解，列表法操作掌握较好（约90%）；

2. 极值的第一充分条件（变号判定）掌握良好（约80%）；

3. 第二充分条件学生使用方便，但对“失效时改用第一条件”的意识不足；

4. 实际最优化问题的“建模”环节是难点，约60%的学生能独立完成。

改进方向：

1. 增加“驻点不一定是极值点”的反例辨析；

2. 实际应用问题可多设几道建模练习（如经济学中的利润最大化）；

3. 制作单调性极值最值解题流程图发给学生。