函数的微分

教学项目

函数的微分

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过前十一个课时的系统学习，学生已经完成了导数的全部基础内容，包括导数的概念与几何意义、基本初等函数的求导法则、复合函数求导（链式法则）、隐函数求导与参数方程求导，以及高阶导数的概念与计算。

从第11课（高阶导数）的作业和课堂表现来看：（1）学生能够熟练运用基本求导公式和复合函数求导法则求各类函数的导数；（2）学生掌握了隐函数求导和参数方程求导的基本方法；（3）学生对高阶导数的计算有了初步掌握，能够求简单函数的高阶导数。

本节课引入微分的概念。微分是导数概念的另一面——导数回答“变化率是多少”的问题，微分则回答“当自变量有微小变化时，函数值大约变化多少”的问题。微分在近似计算、误差估计等方面有重要应用，也是后续学习不定积分的理论基础。

根据教学计划，本课时为第23-24学时（累计24学时），下一课将进入第二单元习题课。

教学目标

知识目标：

（1）理解微分的定义——函数增量的线性主要部分；

（2）掌握微分的基本公式 ${dy = f}^{′} (x)dx$ ，理解微分与导数的关系；

（3）理解微分的几何意义——切线的纵坐标增量（ $dy$ ）近似函数的纵坐标增量（ $Δ y$ ）；

（4）掌握微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性；

（5）掌握利用微分进行近似计算的方法： ${f(x}_{0} + Δ x) ≈ {f(x}_{0} {)+f}^{′} {(x}_{0}) Δ x$ 。

能力目标：

（1）培养从几何图形直观理解抽象数学概念的能力；

（2）培养利用微分进行近似计算和误差估计的实际应用能力；

（3）培养灵活运用微分运算法则求微分的运算能力。

素质目标：

（1）通过微分与导数的对比，体会同一数学对象可以从不同角度去理解和应用；

（2）通过近似计算的应用，感受数学的实用价值——用简单的运算获得足够精确的结果；

（3）通过一阶微分形式不变性，体会数学中形式统一性的审美价值。

教学重点

1. 微分的概念与公式理解微分是函数增量 $Δ y$ 的线性主要部分，掌握核心公式 ${dy = f}^{′} (x)dx$ 。学生需要清楚 $Δ y ≈ dy$ 的含义和条件。

2. 微分的几何意义通过函数图像理解：dy 是切线的纵坐标增量， $Δ y$ 是曲线的纵坐标增量，当 $Δ x$ 很小时二者近似相等。

3. 微分运算法则微分的四则运算法则与导数对应，一阶微分形式不变性是微分的重要特征。

4. 微分的近似计算应用掌握利用 ${f(x}_{0} + Δ x) ≈ {f(x}_{0} {)+f}^{′} {(x}_{0}) Δ x$ 进行近似计算的方法，能够选取合适的基准点。

教学难点

及应对

难点：

1. $Δ y$ 与 dy 的区别——学生容易混淆函数增量 $Δ y$ 和微分 dy。需要强调 $Δ y$ 是精确值，dy 是近似值（线性部分），二者之差 $Δ y - dy$ 是 $Δ x$ 的高阶无穷小；

2. 一阶微分形式不变性的理解——无论自变量还是中间变量，微分的形式 dy=f'(u)du 保持不变，这一性质的深层含义和应用学生不易把握；

3. 近似计算中基准点的选取——学生需要根据实际问题灵活选择使函数值容易计算的基准点 x₀。

应对策略：

1. 通过几何图形（切线增量 vs 函数增量）直观展示 dy 和 Δy 的区别；

2. 通过具体的数值例子（不同 Δx 下 Δy 与 dy 的对比）加深理解；

3. 用复合函数的例子演示一阶微分形式不变性；

4. 在近似计算中总结“选取基准点”的原则和常用技巧。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：微分的几何意义图、微分运算法则总结表、微分近似计算示例图、Δy与dy的比较图、微分与导数的关系图、知识总结图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

讲授法：系统讲解微分的概念、运算法则和应用

图形法：通过函数图像直观展示微分的几何意义和 Δy 与 dy 的关系

对比法：将微分与导数进行对比，帮助学生理解二者的联系与区别

练习法：讲练结合，通过典型例题巩固微分的运算和近似计算方法

教学反思

本节课系统讲授了函数的微分。从导数的复习出发，引入微分的概念——函数增量的线性主要部分。通过几何图形直观展示了微分的意义（切线增量近似函数增量），并建立了核心公式 dy=f’(x)dx。微分运算法则和一阶微分形式不变性使学生认识到微分与导数在形式上的统一。近似计算应用环节有效激发了学生的兴趣，使学生看到了微分的实际应用价值。总体来看，学生对微分概念的理解借助几何图形比较顺利，但 Δy 与 dy 的精确区别以及一阶微分形式不变性的理解仍需进一步巩固。下节课将进入第二单元习题课，对导数与微分进行综合练习。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、复习导入——从导数到微分（5分钟）

【教师】同学们，我们前面系统学习了导数的概念和计算方法。回忆一下导数的定义：

$f^{′} {(x}_{0})= \lim_{Δx\to0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δx\to0} \frac{{f(x}_{0} + Δ {x)-f(x}_{0})}{Δ x}$

【教师】导数回答的是「变化率」问题——函数在某点的瞬时变化快慢。今天我们换一个角度：如果自变量 x 有一个微小的变化 Δx，函数值 y 大约变化多少？

问题引入：

一个半径为 r=10cm 的圆形金属片，受热后半径增加 Δr=0.1cm。问面积大约增加多少？

精确增量： $Δ S= π (r+ Δ {r)}^{2} - π r^{2} =2 π r Δ r+ π (Δ {r)}^{2}$

近似增量： $Δ S ≈ 2 π r Δ r=2 π × 10 × 0.1=2 π ≈ {6.28 cm}^{2}$

（精确值中 $π (Δ {r)}^{2} = π × 0.01 ≈ 0.031$ 远小于 $2 π r Δ r$ ，可忽略不计。）

小结函数增量 ΔS 的主要部分 2πrΔr 是 Δr 的线性函数——这就是微分的思想！

二、微分的定义（10分钟）

定义（微分）：

设函数 y=f(x) 在点 x 处可导，则函数的增量可以表示为

$Δ {y=f}^{′} (x) Δ x+o(Δ x)$

其中 $f^{′} (x) Δ x$ 是 Δx 的线性函数，称为函数 y=f(x) 在点 x 处的微分，记作

${dy=f}^{′} (x) Δ x$

特别地，当 y=x 时，dy=dx=(x)'Δx=Δx。因此 dx=Δx，即自变量的微分就是自变量的增量。

于是微分公式可以写为：

${dy=f}^{′} (x)dx$

等价形式：

$\frac{dy}{dx} {=f}^{′} (x)$

即导数等于微分之商，这也是“导数”用符号 $\frac{dy}{dx}$ 表示的含义。

可微与可导的关系：

函数在某点可微 ⇔ 函数在该点可导。可微和可导是等价的！

三、微分的几何意义（10分钟）

几何解释：

在函数 y=f(x) 的图像上，取点 ${P(x}_{0} {, f(x}_{0}))$ ，当自变量从 $x_{0}$ 变到 $x_{0} + Δ x$ 时：

Δy = 曲线上纵坐标的增量 = ${f(x}_{0} + Δ {x)-f(x}_{0})$

dy = 切线上纵坐标的增量 = $f^{′} {(x}_{0}) Δ x$

结论：微分 dy 就是用切线的增量来近似曲线的增量。当 Δx 很小时，切线和曲线非常接近，所以 $Δ y ≈ dy$ 。

四、微分的运算法则（10分钟）

由 dy=f'(x)dx，导数的运算法则自然推导出微分的运算法则：

基本微分公式：

${d(x}^{n} {)=nx}^{n-1} dx$

$d(sin x)= cos xdx$ ， $d(cos x)=- sin xdx$

${d(e}^{x} {)=e}^{x} dx$ ， $d(ln x)= \frac{1}{x} dx$

四则运算法则：

$d(u ± v)=du ± dv$

$d(uv)=vdu+udv$

$d(\frac{u}{v})= \frac{vdu-udv}{v^{2}}$

一阶微分形式不变性：

设 y=f(u)，无论 u 是自变量还是中间变量（u=g(x)），微分的形式都是

${dy=f}^{′} (u)du$

这就是说，一阶微分的表达式在任何情况下形式相同——这叫做一阶微分形式不变性。

例1 求 ${y=x}^{3} {+2x}^{2} -5x+1$ 的微分。

解 ${dy=(3x}^{2} +4x-5)dx$ 。

例2 求 ${y=e}^{sinx}$ 的微分。

解利用一阶微分形式不变性，令 u=sinx：

${dy=e}^{u} {du=e}^{sinx} d(sin {x)=e}^{sinx} cos xdx$

例3 求 $y=x ln x$ 的微分。

解用乘积的微分法则：

$dy= ln x ⋅ dx+x ⋅ \frac{1}{x} dx=(ln x+1)dx$

从导数的复习出发，通过面积增量的实际问题引入微分的概念，使抽象定义有直观背景。

微分定义中强调「线性主要部分」的含义，建立 dy=f'(x)dx 的核心公式。

通过几何图形（切线增量 vs 曲线增量）直观展示微分的意义，帮助学生理解 Δy ≈ dy。

微分运算法则由导数法则自然推导，降低了学习负担。一阶微分形式不变性是重点。

三道例题由易到难：例1练习基本微分公式，例2展示一阶微分形式不变性，例3运用乘积法则。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做练习题，巩固微分的概念和运算。

练习1：求下列函数的微分：

（1） $y= \frac{1}{x^{2}}$

解 $dy=- \frac{2}{x^{3}} dx$ 。

（2） $y= tan x$

解 $dy= {sec}^{2} x ⋅ dx$ 。

（3） $y= ln {(1+x}^{2})$

解利用一阶微分形式不变性：

$dy= \frac{1}{{1+x}^{2}} ⋅ {d(1+x}^{2})= \frac{2x}{{1+x}^{2}} dx$

练习2：求 ${y=x}^{2} sin x$ 的微分。

解用乘积的微分法则：

$dy= sin x ⋅ {d(x}^{2} {)+x}^{2} ⋅ d(sin x)= sin x ⋅ {2xdx+x}^{2} cos xdx$

$=(2x sin {x+x}^{2} cos x)dx$ 。

【教师】讲评要点：求微分就是求导数再乘以 dx。一阶微分形式不变性使得复合函数的微分也可以逐层进行。

练习1涵盖基本微分公式（幂函数、三角函数）和复合函数微分（一阶微分形式不变性）。

练习2综合运用乘积法则，训练微分运算的综合能力。

讲评中强调「求微分 = 求导数 × dx」的核心操作。

第二节课

知识讲解

（30 min）

五、Δy 与 dy 的深入比较（10分钟）

精确关系：

$Δ {y=f}^{′} (x) Δ x+o(Δ x)=dy+o(Δ x)$

即 $Δ y-dy=o(Δ x)$ —— $Δ y$ 与 dy 之差是 $Δ x$ 的高阶无穷小。

数值验证：

以 ${y=x}^{2}$ ， $x_{0} =1$ 为例：

当 Δx=0.1 时：Δy=1.1²-1=0.21，dy=2×0.1=0.20，误差=0.01

当 Δx=0.01 时：Δy=1.01²-1=0.0201，dy=2×0.01=0.0200，误差=0.0001

当 Δx=0.001 时：Δy=1.001²-1=0.002001，dy=2×0.001=0.002，误差=0.000001

规律：误差 = $(Δ {x)}^{2}$ ，即 Δx 缩小 10 倍时，误差缩小 100 倍。误差是 Δx 的高阶无穷小，所以 Δx 越小，dy 对 Δy 的近似越精确。

六、微分在近似计算中的应用（15分钟）

近似计算公式：

${f(x}_{0} + Δ x) ≈ {f(x}_{0} {)+f}^{′} {(x}_{0}) Δ x$

使用步骤：

（1）确定函数 f(x) 和基准点 x₀（使 f(x₀) 容易计算）；

（2）计算 $Δ {x=x-x}_{0}$ ；

（3）代入公式 $f(x) ≈ {f(x}_{0} {)+f}^{′} {(x}_{0} {)(x-x}_{0})$ 。

例4 用微分近似计算 $\sqrt{4.02}$ 。

解取 $f(x)= \sqrt{x}$ ， $x_{0} =4$ ， $Δ x=0.02$ 。

$f^{′} (x)= \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ ， $f(4)=2$ ， $f^{′} (4)= \frac{1}{4}$

$\sqrt{4.02} ≈ 2+ \frac{1}{4} × 0.02=2+0.005=2.005$

（真实值 ≈ 2.00499，误差极小。）

例5 用微分近似计算 $sin 31 \degree$ 。

解取 $f(x)= sin x$ ， $x_{0} = \frac{π}{6}$ （即30°）， $Δ x= \frac{π}{180}$ （即1°的弧度值）。

$f(\frac{π}{6})= sin 30 \degree = \frac{1}{2}$ ， $f^{′} (\frac{π}{6})= cos 30 \degree = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$sin 31 \degree ≈ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} ⋅ \frac{π}{180} ≈ 0.5+0.01511 ≈ 0.5151$

例6 用微分近似计算 $e^{0.02}$ 。

解取 ${f(x)=e}^{x}$ ， $x_{0} =0$ ， $Δ x=0.02$ 。

$f(0)=1$ ， $f^{′} (0)=1$

$e^{0.02} ≈ 1+1 × 0.02=1.02$

（真实值 ≈ 1.0202，近似良好。）

常用近似公式（Δx 很小时）：

$(1+ Δ {x)}^{n} ≈ 1+n Δ x$

$e^{Δx} ≈ 1+ Δ x$

$ln (1+ Δ x) ≈ Δ x$

$sin (Δ x) ≈ Δ x$

七、综合例题（5分钟）

例7 用微分近似计算 $ln 1.05$ 。

解取 $f(x)= ln (1+x)$ ， $x_{0} =0$ ， $Δ x=0.05$ 。

$f(0)= ln 1=0$ ， $f^{′} (0)= \frac{1}{1+0} =1$

$ln 1.05 ≈ 0+1 × 0.05=0.05$

（真实值 ≈ 0.04879，误差约 0.001。）

例8 用微分近似计算 ${(1.02)}^{5}$ 。

解取 ${f(x)=(1+x)}^{5}$ ， $x_{0} =0$ ， $Δ x=0.02$ 。

$f(0)=1$ ， $f^{′} (0)=5$

${(1.02)}^{5} ≈ 1+5 × 0.02=1.10$

（真实值 ≈ 1.10408，近似良好。）

通过数值验证深入理解 Δy 与 dy 的差异和联系，使学生认识到 Δx 越小近似越精确。

微分与导数的关系图帮助学生从宏观上把握两个概念的联系与区别。

近似计算是微分最直接的应用。通过例4-例6三个典型例题展示不同函数的近似计算方法。

总结常用近似公式，为学生提供实用的计算工具。

例7和例8综合运用近似公式，巩固选取基准点的方法。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做练习题，巩固微分的近似计算和综合运用。

练习3：用微分近似计算 $\sqrt{9.06}$ 。

解取 $f(x)= \sqrt{x}$ ， $x_{0} =9$ ， $Δ x=0.06$ 。

$f(9)=3$ ， $f^{′} (9)= \frac{1}{2 \sqrt{9}} = \frac{1}{6}$

$\sqrt{9.06} ≈ 3+ \frac{1}{6} × 0.06=3+0.01=3.01$

练习4：用微分近似计算 $cos 29 \degree$ 。

解取 $f(x)= cos x$ ， $x_{0} = \frac{π}{6}$ （即30°）， $Δ x=- \frac{π}{180}$ （即-1°）。

$f(\frac{π}{6})= cos 30 \degree = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $f^{′} (\frac{π}{6})=- sin 30 \degree =- \frac{1}{2}$

$cos 29 \degree ≈ \frac{\sqrt{3}}{2} +(- \frac{1}{2}) × (- \frac{π}{180}) ≈ 0.8660+0.00873 ≈ 0.8747$

练习5：求 $y= \frac{e^{x}}{1+x}$ 的微分 dy。

解用商的微分法则：

$dy= \frac{{(1+x)e}^{x} {dx-e}^{x} dx}{{(1+x)}^{2}} = \frac{{xe}^{x}}{{(1+x)}^{2}} dx$

【教师】讲评要点：练习3和练习4训练近似计算——关键是选取合适的基准点使函数值和导数值容易计算。练习5训练商的微分法则。注意 Δx 可以为负值（如 cos29° 中 Δx=-1°）。

练习3和练习4训练微分近似计算的实际应用，覆盖开方和三角函数两种类型。

练习4中 Δx 为负值，提醒学生 Δx 可正可负。

练习5训练商的微分法则，巩固微分运算能力。

讲评中总结选取基准点的关键原则。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心内容：

一、微分的定义：

微分是函数增量 $Δ y$ 的线性主要部分： ${dy=f}^{′} (x)dx$ 。

可微 ⇔ 可导；导数 = 微分之商。

二、微分的几何意义：

dy = 切线纵坐标增量；Δy = 曲线纵坐标增量；Δx 很小时 Δy ≈ dy。

三、微分运算法则：

基本微分公式 + 四则运算法则 + 一阶微分形式不变性（ ${dy=f}^{′} (u)du$ ）。

四、近似计算：

${f(x}_{0} + Δ x) ≈ {f(x}_{0} {)+f}^{′} {(x}_{0}) Δ x$

常用公式： $(1+ Δ {x)}^{n} ≈ 1+n Δ x$ ， $e^{Δx} ≈ 1+ Δ x$ ， $ln (1+ Δ x) ≈ Δ x$ 。

五、作业布置：

（1）求下列函数的微分：① y=x³eˣ ② y=ln(sinx) ③ y=arctan(x²)；

（2）用微分近似计算：① √(1.02) ② sin(0.52) ③ ln(0.98) ④ e⁻°·⁰¹；

（3）当 |x| 很小时，证明 tan x ≈ x。

六、预习：

下节课将进行第二单元习题课，对导数与微分的内容进行综合练习。请同学们系统回顾导数的概念、求导法则、高阶导数以及本节课的微分内容。

系统总结微分的四个核心板块：定义、几何意义、运算法则、近似计算。

通过知识总结图帮助学生建立完整的知识结构。

作业设计覆盖三个层次：微分运算、近似计算、理论证明。

预习任务指向第二单元习题课，帮助学生做好综合复习的准备。

教学反思

本节课系统讲授了函数的微分。从导数的复习出发，通过面积增量的实际问题引入微分的概念，进而讲解了微分的几何意义、运算法则和近似计算应用。教学效果分析如下：

（1）概念引入：面积增量的引例效果良好，学生能够直观感受到“线性主要部分”的含义。通过将 ΔS 分解为 2πrΔr + π(Δr)²，学生自然理解了微分就是函数增量中起主要作用的线性部分。微分定义 dy=f'(x)dx 的推导过程逻辑清晰，学生接受度高。

（2）几何意义的教学：通过 Δy 与 dy 的几何图形对比，学生对“切线增量近似函数增量”建立了清晰的直觉。约85%的学生能够在图上正确标注 Δy、dy 和 Δx，说明几何理解较好。数值验证环节（不同 Δx 下误差的变化规律）进一步加深了理解。

（3）运算法则：由于微分法则与导数法则直接对应，学生学习负担较小。基本微分公式和四则运算法则掌握较快。一阶微分形式不变性是本节课的一个难点——约60%的学生在首次练习中能正确运用，其余学生需要教师引导。建议：在后续习题课中增加一阶微分形式不变性的练习。

（4）近似计算：这是本节课学生反馈最好的内容。例4（√4.02）和例6（e⁰·⁰²）的计算结果与真实值的高度吻合令学生印象深刻。选取基准点的方法学生基本掌握，但个别学生在三角函数近似（例5）中忘记将角度换算为弧度。建议：反复强调三角函数自变量必须用弧度制。

（5）总体而言，本节课内容量适中，节奏把握较好。微分的概念通过实例和几何图形得到了较好的建立，运算法则由导数法则自然推出降低了学习难度，近似计算的应用展示了微分的实用价值。下节课将进行第二单元习题课，对导数与微分进行综合练习和巩固。