教学项目

函数的连续性（第7课时）

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过第2-6课的学习，学生已系统掌握极限的概念、运算法则、两个重要极限和等价无穷小替换。从前几课的综合表现来看：

约85%的学生能熟练运用各种方法求极限，约80%的学生能正确使用等价无穷小替换。学生对“极限”已有较深理解，但对“连续性”的严格定义尚未接触。

本节课将极限理论应用于函数自身——定义函数在一点的连续性。连续性的定义本质上是“极限值等于函数值”，学生理解的关键在于“三个条件缺一不可”。间断点的分类需要结合具体图形帮助理解，介值定理和零点定理则是连续函数最重要的整体性质。

根据教学计划，本课时为第13-14学时。

教学目标

知识目标：

（1）理解函数连续性的定义（增量形式和极限形式）；

（2）掌握间断点的概念和分类：第一类（可去、跳跃）、第二类（无穷、振荡）；

（3）掌握连续函数的运算性质和初等函数的连续性；

（4）理解闭区间上连续函数的性质：最值定理、介值定理、零点定理。

能力目标：

（1）能判断函数在给定点的连续性并找出间断点及其类型；

（2）能利用连续性直接求极限（极限等于函数值）；

（3）能利用零点定理判断方程根的存在性。

素质目标：

（1）通过连续性的概念，理解数学定义的严谨性和完备性；

（2）通过介值定理和零点定理，体会连续函数的整体性质之美。

教学重点

1. 函数连续性的定义及三个条件；

2. 间断点的分类和判别方法；

3. 零点定理和介值定理的应用。

教学难点

及应对

1. 分段函数在分界点处连续性的判断；

2. 间断点类型的识别（尤其是第二类间断点）；

3. 利用零点定理证明方程根的存在性。

教学资源

教材《高等数学》第2章 §2.4；多媒体课件；板书

教学方法

讲授法 + 图形演示 + 分类讨论 + 例题分析 + 课堂练习

教学反思

连续性是极限理论的直接应用，也是后续导数和积分理论的基础。教学中通过“曲线能否一笔画出”建立连续的直观认识，再用严格定义进行规范表述。间断点的分类借助大量图示帮助学生建立直觉。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、函数连续性的定义（10 min）

引入：

直观上，连续函数的图像是一条“不断裂的曲线”，可以一笔画出。如何用数学语言精确描述“不断裂”？

定义

设函数 f(x) 在点 x₀ 的某邻域内有定义。若 ，则称 f(x) 在点 x₀ 连续。

连续性的三个条件（缺一不可）：

（1）f(x) 在 x₀ 处有定义，即 f(x₀) 存在；

（2） 存在；

（3）极限值等于函数值：。

增量形式：

令 $''\Delta ''{''x=x-x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}$，$''\Delta ''{''y=f(x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}''+''''\Delta ''{''x)-f(x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}'')''$，

则连续性等价于：当 $''\Delta ''''x''''\backslash to''''0''$ 时，$''\Delta ''''y''''\backslash to''''0''$。

即：自变量的微小改变只引起函数值的微小改变。

初等函数的连续性：

一切初等函数在其定义域内都是连续的。这意味着：对初等函数求极限，只要x₀在定义域内，直接代入即可。

例1

求 ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 2</ms>}}{''(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+3x-1)''$

解：多项式在任何点连续，直接代入：${''=2''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+3''''\times ''''2-1=9''$

二、间断点及其分类（15 min）

定义

若函数 f(x) 在点 x₀ 不连续（即三个条件中至少一个不满足），则称 x₀ 为 f(x) 的间断点。

第一类间断点：

左右极限都存在（且有限）的间断点。

（1）可去间断点：左极限 = 右极限 = A，但 f(x₀) ≠ A 或 f(x₀) 无定义；

（2）跳跃间断点：左极限 ≠ 右极限（两者都存在但不相等）。

第二类间断点：

至少有一个单侧极限不存在的间断点。

（1）无穷间断点：至少一个单侧极限为∞（如 1/x 在 x=0）；

（2）振荡间断点：极限不存在且振荡不定（如 sin(1/x) 在 x=0）。

例2

讨论函数 $''f(x)=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''-1''}{''x-1''}$ 在 x=1 处的连续性。

解：f(x) 在 x=1 处无定义（分母为0），

但 ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 1</ms>}}\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''-1''}{''x-1''}''=''{''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 1</ms>}}\frac{''(x+1)(x-1)''}{''x-1''}''=''{''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 1</ms>}}''(x+1)=2''$

极限存在但函数无定义，故 x=1 是可去间断点。

例3

讨论函数 $''f(x)=''\frac{''1''}{''x-2''}$ 的间断点及其类型。

解：x=2 处无定义。，故 x=2 是无穷间断点（第二类）。

三、闭区间上连续函数的性质（10 min）

定理1（最值定理）

闭区间 [a,b] 上的连续函数必有最大值和最小值。

定理2（介值定理）

设 f(x) 在 [a,b] 上连续，C 是介于 f(a) 与 f(b) 之间的任一值，

则至少存在一点 $''\xi ''''''''\in ''''(a,b)''$，使得 $''f(''''\xi '''')=C''$。

推论（零点定理）

设 f(x) 在 [a,b] 上连续，且 ，

则至少存在一点 $''\xi ''''''''\in ''''(a,b)''$，使得 $''f(''''\xi '''')=0''$。

例4

证明方程 ${''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}''-x-1=0''$ 在 (1,2) 内至少有一个实根。

证：令 f(x) = x³ - x - 1，f(x) 为多项式，在 [1,2] 上连续。

f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < 0

f(2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0

因为 f(1)·f(2) < 0，由零点定理，存在 $''\xi ''''''''\in ''''(1,2)''$ 使 f(ξ) = 0。

从直观到定义，理解连续

间断点分类结合图形讲解

闭区间连续函数三大定理

零点定理证明方程有根

课堂测验

（10 min）

四、课堂练习（15 min）

1. 讨论函数 $''f(x)=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''-4''}{''x-2''}$ 在 x=2 处的间断点类型。

2. 讨论函数 $''f(x)=''\frac{''|x|''}{''x''}$ 在 x=0 处的间断点类型。

3. 证明方程 ${''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''+x=0''$ 至少有一个实根。

4. 求 ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">sin</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; x</ms>}}''-1''}{''x''}$（利用连续性和等价无穷小）

参考答案：

1. lim(x→2) (x²-4)/(x-2) = lim(x+2) = 4，但 f(2) 无定义，故可去间断点。

2. lim(x→0⁺) |x|/x = 1，lim(x→0⁻) |x|/x = -1，左≠右，故跳跃间断点。

3. 令 f(x)=eˣ+x，f(0)=1>0，f(-1)=1/e-1≈0.368-1=-0.632<0，由零点定理得证。

4. sin x ∼ x（x→0），e^(sin x)-1 ∼ sin x ∼ x，原式 = x/x = 1。

覆盖间断点判断和零点定理

第4题综合连续与等价替换

第二节课

课堂测验与总结（15 min）

五、课堂测验（5 min）

1. 函数 $''f(x)=''\frac{''sin''''x''}{''x''}$ 在 x=0 处是什么类型的间断点？若补充定义 f(0)=____，则连续。

2. 证明方程 x = cos x 在 (0, π/2) 内至少有一个实根。

答案：

1. lim(x→0) sin x/x = 1，但 f(0) 无定义，故为可去间断点。补充 f(0) = 1 即连续。

2. 令 g(x) = x - cos x，g(0) = 0 - 1 = -1 < 0，g(π/2) = π/2 - 0 = π/2 > 0，g(x) 在 [0, π/2] 连续，由零点定理，存在 ξ 使 g(ξ)=0，即 ξ=cos ξ。

测验可去间断点和零点定理

课堂测验

（10 min）

补充：连续性的应用

利用连续性求极限：

若 f(x) 在 x₀ 连续，则 lim f(x) = f(x₀)。特别地，对于初等函数，只要 x₀ 在定义域内，直接代入即可。

复合函数的连续性：

若 g(x) 在 x₀ 连续，f(u) 在 u₀ = g(x₀) 连续，则复合函数 f(g(x)) 在 x₀ 连续。

因此可以交换极限与连续函数的运算：

（前提：f 在该点连续）

补充连续性的实用结论

课堂小结

（5 min）

课堂小结

本节课核心内容：

1. 连续性定义：lim f(x) = f(x₀)——三个条件缺一不可。

2. 间断点分类：

第一类：可去间断点（极限存在但≠函数值）、跳跃间断点（左≠右极限）；

第二类：无穷间断点、振荡间断点。

3. 初等函数在定义域内连续——可以直接代入求极限。

4. 闭区间连续函数三大性质：最值定理、介值定理、零点定理。

学习建议：

零点定理是证明方程根存在性的重要工具，掌握“构造函数→验证异号→得结论”的步骤。

下节课预告：第一单元（极限与连续）习题课——系统复习第2-7课的全部内容，进行综合练习。

总结四大核心内容

预告习题课

教学反思

本节课是极限单元的收官课，将极限理论应用于函数连续性的研究。

教学效果分析：

1. 连续性的定义通过“一笔画”直观引入，学生理解顺畅，约90%的学生能正确叙述连续的三个条件；

2. 间断点分类是本课的难点，可去间断点学生理解较好，但第二类间断点（尤其振荡间断点）约50%的学生需要反复解释；

3. 零点定理的应用学生掌握较好，约85%能完成“构造函数→验证异号”的证明；

4. 分段函数在分界点的连续性判断约70%正确率。

改进方向：

1. 增加更多分段函数连续性判断的练习；

2. 振荡间断点需要用动画或动态图演示效果会更好；

3. 下节习题课重点复习间断点分类的综合题。