教学项目

函数（第1课时）

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

本班学生为高等职业院校一年级新生，刚刚完成高中或中职阶段的数学学习。多数学生在中学阶段接触过函数的概念，对一次函数、二次函数、三角函数等有一定的基础认识，但对函数的严格数学定义（变量间的对应法则）往往缺乏深入理解。部分学生能够描述简单函数的图形特征，但对有界性、单调性、奇偶性、周期性等函数性质的严格判别方法掌握不够系统。

学生的数学基础参差不齐，约有三分之一的学生代数运算能力较弱，对区间记号、不等式表示等预备知识还需补充。航空类专业学生对数学的应用场景有较强的好奇心，因此教学中应多联系航空、机械制造等实际问题来引入抽象概念，增强学习动力。

本节课是高等数学的第一课，也是全部后续内容（极限、导数、积分）的基础。学生对函数概念的理解程度将直接影响后续学习效果。教学中应注重从具体实例到抽象定义的过渡，通过图形直观帮助学生建立清晰的函数概念框架。本节课计划用2学时完成，内容涵盖函数的概念、性质、反函数、复合函数和初等函数等核心知识。

教学目标

知识目标：

（1）理解常量与变量的概念，熟练掌握区间的各种表示方法（开区间、闭区间、半开区间、无穷区间）及邻域的概念；

（2）理解函数的定义：若对于集合 D 内每个 $''x''$，按照对应法则 $''f''$，都有唯一确定的 $''y''$ 与之对应，则称 $''y=f(x)''$ 为定义在 D 上的函数；

（3）掌握函数的四个基本性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性的定义及判别方法；

（4）理解反函数的概念，知道函数 $''y=f(x)''$ 与其反函数 ${''x=f''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''(y)''$ 的图形关于直线 $''y=x''$ 对称；

（5）理解复合函数的概念，能够辨识复合函数 $''y=f[g(x)]''$ 的内层函数和外层函数；

（6）熟悉五种基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数），理解初等函数的定义。

能力目标：

（1）能够根据实际问题建立函数关系式（如航空燃油消耗、租车费用等）；

（2）能够判断给定函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性；

（3）能够求简单函数的反函数，能够分解复合函数的复合层次。

素质目标：

（1）通过函数概念的学习，培养学生用数学语言描述客观规律的能力；

（2）通过航空领域实例，增强学生对数学在工程技术中应用价值的认识；

（3）通过函数性质的图形化教学，培养学生的数形结合思想和直觉判断能力。

教学重点

1. 函数的概念 理解函数定义中的三个要素——定义域、对应法则、值域。掌握函数相等的判断标准（定义域相同且对应法则相同）。

2. 函数的基本性质 有界性：存在正数 M，使 $''|f(x)|\le \; M''$；单调性：若 时 ，则 f(x) 单调递增；奇偶性：$''f(-x)=f(x)''$ 为偶函数，$''f(-x)=-f(x)''$ 为奇函数；周期性：$''f(x+T)=f(x)''$。

3. 反函数与复合函数 反函数的求法与图形对称性；复合函数的结构分解（内层函数与外层函数的辨识）。

4. 基本初等函数与初等函数 五种基本初等函数的图形与性质；初等函数的定义——由基本初等函数经有限次四则运算和复合而成。

教学难点

及应对

难点：

1. 函数定义中「唯一确定」的理解——自变量取定后函数值唯一（单值函数），但不同的自变量值可以对应同一个函数值；

2. 函数性质的严格判别——学生容易凭直觉而非定义来判断单调性和奇偶性，导致结论出错；

3. 复合函数的结构分解——对于 $''y=''''sin''''(2x+1)''$ 这类函数，学生初期难以正确辨识 $''u=2x+1''$ 为内层、$''y=''''sin''''u''$ 为外层；

4. 分段函数的理解——学生容易误认为分段函数是多个函数，实际上它仍是一个函数，只是在不同区间上用不同的解析式表示。

应对策略：

1. 通过映射关系图直观展示函数定义中的「唯一对应」关系；

2. 结合函数图形讲解各性质的定义，先从图形直觉建立概念，再用定义严格验证；

3. 利用「流水线」比喻讲解复合函数——自变量x先经过内层加工，再经过外层加工得到函数值y；

4. 以航空相关的分段收费、分段运动等实际问题为例，帮助学生理解分段函数是「一个函数，多段规则」。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：函数映射关系图、区间示意图、基本初等函数图形等

课堂练习题（配套习题）

教学方法

讲授法：系统讲解函数的定义、性质、反函数、复合函数和初等函数

问答法：通过生活实例引导学生发现变量间的对应关系

演示法：利用多媒体展示函数图形，直观呈现各种函数性质

对比法：通过奇函数与偶函数、指数函数与对数函数的图形对比加深理解

练习法：课堂即时练习，当堂检验学习效果

教学反思

本节课是高等数学的第一课，通过航空相关的实际问题引入函数概念，学生接受度较好。课堂互动环节中，学生对函数映射关系图和基本初等函数图形展示反应积极。但在函数性质的严格判别方面，部分学生仍停留在"看图猜答案"阶段，需要在后续课堂中通过更多例题训练严格定义判别法。复合函数的"流水线"比喻效果不错，学生能够初步理解内外层的分解。今后应继续加强分段函数和复合函数的练习。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、课程引入——从生活到数学

【教师】同学们好，从今天开始我们学习高等数学。在正式学习之前，先来看一个问题：

【教师】某汽车租赁公司的收费标准是：每天基本租金200元，加上每千米15元。假设你某天租车行驶了s千米，你需要付多少钱？

【学生思考并回答】租车费 = 200 + 15s。

【教师】很好！如果用数学符号来表示，设租车费为 $''W''$（元），行车路程为 $''s''$（千米），则 $''W=200+15s''$。这里，当 s 取定一个值时，W 就有唯一确定的值与之对应。这种对应关系就是我们今天要学习的核心概念——函数。

【教师】再来看一个航空领域的例子：飞机的燃油消耗量W与飞行距离s之间也存在函数关系。例如某型飞机的燃油消耗函数为：

${''W=2.5s+0.1s''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$（W单位：吨，s单位：千公里）

在这个公式中，飞行距离s越远，燃油消耗W就越大。这就是函数在航空工程中的一个应用。

二、常量与变量

【教师】在上面的租车费公式中，200和15是不变的，称为常量；而s和W是变化的，称为变量。

1. 区间的概念 变量的变化范围通常用区间来表示。

闭区间：满足 $''a\le \; x\le \; b''$ 的实数 x 的全体，记为 $''[a,b]''$；开区间：满足 的实数 x 的全体，记为 $''(a,b)''$；此外还有半开区间 $''[a,b)''$ 和 $''(a,b]''$。

【教师补充】无限区间：$''[a,+\infty )''$ 表示 $''x\ge \; a''$ 的全体实数；$''(-\infty ,b)''$ 表示 的全体实数；$''(-\infty ,+\infty )''$ 表示全体实数。注意 $''\infty ''$ 不是数，只是记号，所以含 $''\infty ''$ 的一端不能用方括号。

2. 邻域的概念 设 a 与 δ 是两个实数，且 δ>0。满足不等式 的实数 x 的全体称为点 a 的 δ 邻域，即区间 $''(a-\delta ,a+\delta )''$。点 a 称为邻域的中心，δ 称为邻域的半径。

【教师】邻域的概念在后续学习极限时非常重要，大家先有个印象，到极限那一节我们会频繁使用。

三、函数的概念

定义 如果当变量 $''x''$ 在其变化范围 D 内任意取定一个数值时，变量 $''y''$ 按照一定的法则 $''f''$ 总有唯一确定的数值与它对应，则称 $''y''$ 是 $''x''$ 的函数，记为 $''y=f(x)''$。其中 x 叫自变量，y 叫函数值，D 叫定义域，y 的全体叫值域。

【教师】函数定义的要点有三个：（1）定义域D——x能取哪些值；（2）对应法则f——x和y之间是什么关系；（3）值域——y能取到哪些值。其中定义域和对应法则决定了函数，两者一致则函数相等。

函数的表示方法：

（1）解析法：用数学公式表示，如 y=x²+1；

（2）表格法：用数据表格表示；

（3）图示法：用坐标平面上的曲线表示。

分段函数 在定义域的不同区间上用不同的解析式来表示的函数称为分段函数。例如绝对值函数：

当 $''x\ge \; 0''$ 时，$''y=x''$；当 时，$''y=-x''$。合写为 $''y=|x|''$。注意：分段函数仍然是一个函数，不是几个函数的拼凑。

【教师】航空实例：飞机下降过程中的速度控制就是一个分段函数——不同高度段对应不同的下降速率。

四、函数的基本性质

1. 有界性 如果存在正数 M，使得对于定义域内所有 x，都有 $''|f(x)|\le \; M''$，则称 f(x) 在该区间上有界。

例 函数 $''y=''''sin''''x''$ 在 $''(-\infty ,+\infty )''$ 上有界，因为对任意 x 都有 $''|''''sin''''x|\le \; 1''$。

2. 单调性 设函数 $''f(x)''$ 在区间 D 上有定义。如果对于 D 内任意两点 ，都有 ，则称 f(x) 在 D 上单调递增；如果都有 ${''f(x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}{'')>f(x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}'')''$，则称 f(x) 在 D 上单调递减。

例 函数 ${''y=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$ 在 $''(-\infty ,0)''$ 上单调递减，在 $''(0,+\infty )''$ 上单调递增。

3. 奇偶性 设函数 f(x) 的定义域 D 关于原点对称。如果对于 D 内任一 x，都有 $''f(-x)=f(x)''$，则称 f(x) 为偶函数，其图形关于 y 轴对称；如果 $''f(-x)=-f(x)''$，则称 f(x) 为奇函数，其图形关于原点对称。

例 ${''y=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$ 是偶函数，因为 ${''(-x)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$；${''y=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}$ 是奇函数，因为 ${''(-x)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}{''=-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}$。

4. 周期性 如果存在一个正数 T，使得对于定义域内任一 x，都有 $''f(x+T)=f(x)''$，则称 f(x) 为周期函数，T 称为 f(x) 的周期。使上式成立的最小正数 T 称为最小正周期。

例 $''sin''''x''$ 和 $''cos''''x''$ 的周期为 $''2\pi ''$；$''tan''''x''$ 的周期为 $''\pi ''$。

【教师总结】函数的四个基本性质——有界性、单调性、奇偶性、周期性——是后续学习极限、导数时的重要工具。大家要牢牢掌握它们的严格定义。

以生活中的租车费用和航空燃油消耗为实例引入函数概念，激发学生学习兴趣，建立数学与实际应用的联系。

通过区间和邻域的讲解，补充必要的预备知识，为后续极限的学习奠定基础。

利用映射关系图直观展示函数定义中的「唯一对应」核心思想，帮助学生建立正确的函数概念。

分段函数联系航空飞行实际，帮助学生理解「一个函数，多段规则」。

函数四个性质结合图形讲解，实现数形结合教学，降低抽象概念的理解难度。

课堂测验

（10 min）

课堂练习（第一节课）

练习1：写出下列不等式的区间表示：（1）；（2）$''x>3''$；（3）。

答案：（1）$''[1,5)''$；（2）$''(3,+\infty )''$；（3）$''(-2,0]''$。

练习2：判断下列函数的奇偶性：（1）${''f(x)=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+1''$；（2）${''f(x)=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}''-x''$；（3）${''f(x)=2''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}$。

答案：（1）偶函数，因为 ${''f(-x)=(-x)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+1=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+1=f(x)''$；（2）奇函数，因为 ${''f(-x)=(-x)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}{''-(-x)=-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}{''+x=-(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}''-x)=-f(x)''$；（3）非奇非偶，因为 ${''f(-x)=2''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}''\ne \; f(x)''$ 且 $''f(-x)\ne \; -f(x)''$。

练习3：判断函数 $''f(x)=''''sin''''x''$ 的有界性和周期性。

答案：有界，因为 $''|''''sin''''x|\le \; 1''$。是周期函数，最小正周期 $''T=2\pi ''$。

通过课堂练习检验学生对区间表示法和函数基本性质判别方法的掌握情况。

及时发现学生的理解困难，在第二节课中针对性补充讲解。

第二节课

知识讲解

（30 min）

五、反函数

定义 设函数 $''y=f(x)''$ 的定义域为 D，值域为 R。如果对于 R 中的每一个 y，在 D 中都有唯一确定的 x 使 $''f(x)=y''$，则由此确定了一个新函数 ${''x=f''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''(y)''$，称为 $''y=f(x)''$ 的反函数。

【教师】反函数的本质是：把原来的因果关系反过来。原来是给x求y，反函数是给y求x。但要注意，不是所有函数都有反函数——函数必须是严格单调的才有反函数。

例1 求 $''y=2x+3''$ 的反函数。

解：由 $''y=2x+3''$ 解出 $''x=''\frac{''y-3''}{''2''}$，即反函数为 $''x=''\frac{''y-3''}{''2''}$（习惯上将自变量写作x）：$''y=''\frac{''x-3''}{''2''}$。

例2 函数 ${''y=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$ 在 $''(-\infty ,+\infty )''$ 上不是严格单调的，所以没有反函数。但若限制 $''x\ge \; 0''$，则 ${''y=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$ 是严格递增的，其反函数为 $''y=''\sqrt{''x''}$。

反函数的图形性质：函数 $''y=f(x)''$ 与其反函数 ${''y=f''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''(x)''$ 的图形关于直线 $''y=x''$ 对称。

例3 指数函数 ${''y=2''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}$ 与对数函数 $''y=''{''log''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''x''$ 互为反函数，图形关于 $''y=x''$ 对称。

六、复合函数

定义 设 $''y=f(u)''$ 的定义域为 ${''D''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}$，$''u=g(x)''$ 的值域包含在 ${''D''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}$ 中，则 $''y=f[g(x)]''$ 称为复合函数。其中 u 称为中间变量，g 称为内层函数，f 称为外层函数。

【教师】大家可以把复合函数想象成一条「流水线」：原料x先经过内层函数g加工成半成品u，再经过外层函数f加工成最终产品y。

例4 分解复合函数 $''y=''''sin''''(2x+1)''$。

解：令 $''u=2x+1''$（内层函数），则 $''y=''''sin''''u''$（外层函数）。

例5 分解复合函数 。

解：令 ${''u=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$（内层函数），则 ${''y=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">u</ms>}}$（外层函数）。

例6 分解复合函数 $''y=''''ln''{''(1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}'')''$。

解：令 ${''u=1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$（内层函数），则 $''y=''''ln''''u''$（外层函数）。

【教师】注意：不是任何两个函数都能复合。复合的条件是内层函数的值域必须落在外层函数的定义域内。例如 y=√u 和 u=−x² 就不能复合，因为 u=−x²≤0 不在 y=√u 的定义域 u≥0 内。

七、基本初等函数与初等函数

【教师】数学中有五种最基本的函数，所有复杂的初等函数都是由它们搭建起来的：

五种基本初等函数：

（1）幂函数：${''y=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\alpha </ms>}}$（α为实数）

（2）指数函数：${''y=a''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}$（a>0，a≠1）

（3）对数函数：$''y=''{''log''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">a</ms>}}''x''$（a>0，a≠1）

（4）三角函数：$''y=''''sin''''x''$，$''y=''''cos''''x''$，$''y=''''tan''''x''$ 等

（5）反三角函数：$''y=''''arcsin''''x''$，$''y=''''arccos''''x''$，$''y=''''arctan''''x''$ 等

初等函数的定义：由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

例 $''y=''\sqrt{{''1-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$ 是初等函数（幂函数与多项式的复合）；${''y=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">sin</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}$ 是初等函数（指数函数与三角函数的复合）。

【教师】注意分段函数不是初等函数，因为它不能用一个解析式在整个定义域上表示。

【教师总结】本节课我们学习了函数的完整知识体系：定义→性质→反函数→复合函数→初等函数。这些内容构成了高等数学的基础框架，后续学习极限、导数、积分都离不开这些概念。

反函数部分通过求解和图形对称两个角度来讲解，帮助学生从计算和几何两个层面理解反函数。

复合函数利用「流水线」比喻，将抽象的函数复合形象化，降低理解难度。

通过多个分解复合函数的例题，让学生反复练习辨识内层函数和外层函数。

基本初等函数部分配合图形展示，建立学生对五种基本函数图像的直观认识。

理论讲解与实例穿插进行，保持学生注意力，实现边做边讲的教学做一体化。

课堂测验

（10 min）

课堂练习（第二节课）

练习4：求函数 $''y=3x-5''$ 的反函数。

答案：由 $''y=3x-5''$ 解出 $''x=''\frac{''y+5''}{''3''}$，反函数为 $''y=''\frac{''x+5''}{''3''}$。

练习5：指出下列复合函数的内层函数和外层函数：（1）$''y=''''cos''''(3x)''$；（2）${''y=(1+x)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">5</ms>}}$；（3）$''y=''''ln''''(''''sin''''x)''$。

答案：（1）内层 $''u=3x''$，外层 $''y=''''cos''''u''$；（2）内层 $''u=1+x''$，外层 ${''y=u''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">5</ms>}}$；（3）内层 $''u=''''sin''''x''$，外层 $''y=''''ln''''u''$。

练习6：某航空工厂生产零件的成本函数为 ${''C=500+20n+0.01n''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$（C为总成本/元，n为产量/件）。（1）求生产100件的总成本；（2）这是什么类型的函数？

答案：（1）$''C=500+20\times \; 100+0.01\times ''{''100''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=500+2000+100=2600''$（元）；（2）这是关于 n 的二次函数（初等函数），定义域为 n≥0。

练习7（附加）：判断下列函数在指定区间上的单调性：（1）${''f(x)=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}$ 在 $''(-\infty ,+\infty )''$；（2）$''f(x)=''\frac{''1''}{''x''}$ 在 $''(0,+\infty )''$。

答案：（1）单调递增；（2）单调递减。

通过反函数和复合函数的练习，检验学生对核心概念的掌握程度。

融入航空工厂实际应用问题，增强学生对函数应用价值的认识。

附加题针对基础较好的学生，提供进一步的思维训练。

课堂小结

（5 min）

【教师】简要总结本节课的要点：

一、本节课学习了以下核心内容：

1. 预备知识：常量与变量、区间（闭区间 $''[a,b]''$、开区间 $''(a,b)''$、半开区间、无穷区间）、邻域 $''U(a,\delta )''$。

2. 函数的概念：函数是从定义域到值域的一种对应关系 $''y=f(x)''$。三要素：定义域、对应法则、值域。函数的三种表示方法：解析法、表格法、图示法。分段函数仍然是一个函数。

3. 函数的四个基本性质：有界性（$''|f(x)|\le \; M''$）、单调性、奇偶性（$''f(-x)=\pm \; f(x)''$）、周期性（$''f(x+T)=f(x)''$）。

4. 反函数：由 $''y=f(x)''$ 反解出 ${''x=f''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''(y)''$，图形关于 $''y=x''$ 对称。

5. 复合函数 $''y=f[g(x)]''$：内层函数 g 和外层函数 f 的嵌套。

6. 五种基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等函数 = 基本初等函数经有限次四则运算和复合。

二、注意事项（易错点）：

（1）区间的端点是否包含要看清楚：圆括号表示不包含，方括号表示包含；

（2）判断奇偶性之前先确认定义域是否关于原点对称；

（3）分段函数不是初等函数；

（4）不是所有函数都有反函数——需要严格单调。

三、作业：

课后练习：（1）写出常见区间的不等式表示；（2）判断给定函数的奇偶性、单调性；（3）求简单一次函数和指数函数的反函数；（4）分解指定复合函数的内外层结构。

四、预习：

下节课学习极限的概念，请同学们回顾数列的概念，思考'无限接近'是什么含义。

总结知识点，帮助学生建立完整的函数知识体系框架。

强调易错点，预防常见错误。

布置课后作业，巩固课堂所学内容。

布置预习任务，为下节课极限的学习做准备。

教学反思

本节课是高等数学的起始课，内容涵盖面广（从常量变量到初等函数），容量较大。通过航空燃油消耗和汽车租赁的实际问题引入函数概念，学生反应积极，说明与专业相关的实例确实能有效激发学习兴趣。

从课堂反馈来看，以下几点需要在后续教学中持续关注和强化：

（1）区间记号的掌握：部分学生对半开区间的圆括号和方括号的使用仍有混淆，需要在后续作业中反复练习。特别是无穷区间的写法，学生容易错误地在无穷大一端使用方括号。

（2）函数性质的判别：学生对「看图判断」较为熟练，但用严格定义进行论证还不够。特别是奇偶性判断时，忘记先检查定义域是否关于原点对称的情况比较常见。后续课程中应通过更多反例来强化严格判别意识。

（3）复合函数的分解：「流水线」比喻效果较好，大部分学生能正确分解两层复合。但对三层以上的复合（如 y=sin²(3x+1)）还需要更多练习。建议在下一次课前用2-3分钟做复合函数分解的小练习作为复习。

（4）课堂容量问题：本节课内容较多，部分基础薄弱的学生在后半段注意力有所下降。建议今后在讲解基本初等函数图形时可以更加简洁，将主要精力集中在函数定义和性质上。

整体而言，本节课达到了预期的教学目标，学生初步建立了函数概念的框架。下节课进入极限部分时，需要适时回顾函数的相关概念，确保知识的连续性。