向量的数量积与向量积

教学项目

向量的数量积与向量积

授课地点

教学楼多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

学生已掌握向量的坐标表示、模的计算和方向余弦，理解了单位向量和投影的概念。本节课在此基础上引入向量的两种乘法——数量积（点积）和向量积（叉积），这是向量代数的核心运算。学生需要区分这两种运算的本质差异：一个产生标量，一个产生向量。投影公式为数量积提供了直觉基础。

教学目标

1. 知识目标

掌握数量积和向量积的定义、坐标计算公式和几何意义。

2. 能力目标

能用数量积求夹角和判断垂直，能用向量积求法向量和平行四边形面积。

3. 素养目标

理解两种乘法的代数与几何统一性，培养空间分析能力。

教学重点

1. 数量积的定义、坐标公式及夹角计算；

2. 向量积的行列式计算方法和几何意义；

3. 垂直与平行的向量判据。

教学难点

及应对

1. 向量积的方向判定（右手法则）；

2. 向量积的行列式展开计算；

3. 数量积与向量积结果类型的区分。

教学资源

多媒体课件、三维模型、教案配图

教学方法

讲授法、对比教学法、图示法、练习巩固

教学反思

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、数量积（点积 / 内积）

定义设两个非零向量 $\vec a$ 与 $\vec b$ 的夹角为 $θ$ （ $0 ≤ θ ≤ π$ ），则

$\vec a ⋅ \vec b =| \vec a || \vec b | \cos θ$

坐标公式：设 $\vec a {=(a}_{1} {,a}_{2} {,a}_{3})$ ， $\vec b {=(b}_{1} {,b}_{2} {,b}_{3})$ ，则

$\vec a ⋅ \vec b {=a}_{1} b_{1} {+a}_{2} b_{2} {+a}_{3} b_{3}$

证明：利用模的公式和展开

$\vec a ⋅ \vec b = \frac{1}{2} (| \vec a + \vec b |^{2} -| \vec a |^{2} -| \vec b |^{2} {)=a}_{1} b_{1} {+a}_{2} b_{2} {+a}_{3} b_{3}$

数量积的主要性质：

重要推论：

1. 向量的夹角公式： $\cos θ = \frac{\vec a ⋅ \vec b}{| \vec a || \vec b |} = \frac{a_{1} b_{1} {+a}_{2} b_{2} {+a}_{3} b_{3}}{\sqrt{{a_{1}}^{2} {+a}_{2}^{2} {+a}_{3}^{2}} ⋅ \sqrt{{b_{1}}^{2} {+b}_{2}^{2} {+b}_{3}^{2}}}$

2. 垂直判据： $\vec a \perp \vec b$ ⇔ $a_{1} b_{1} {+a}_{2} b_{2} {+a}_{3} b_{3} =0$

3. 模的表达： $| \vec a |= \sqrt{\vec a ⋅ \vec a}$

例1 求 $\vec a =(1,1,0)$ 与 $\vec b =(0,1,1)$ 的夹角。

解： $\vec a ⋅ \vec b =0+1+0=1$

$| \vec a |= \sqrt{2}$ ， $| \vec b |= \sqrt{2}$

$\cos θ = \frac{1}{\sqrt{2} ⋅ \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

故 $θ = \frac{π}{3}$

例2 判断 $\vec a =(2,-1,3)$ 与 $\vec b =(1,5,1)$ 是否垂直。

解： $\vec a ⋅ \vec b =2 × 1+(-1) × 5+3 × 1=2-5+3=0$

因为 $\vec a ⋅ \vec b =0$ ，所以 $\vec a \perp \vec b$ 。

二、向量积（叉积 / 外积）

定义 $\vec a × \vec b$ 是一个向量，满足：

• 模： $| \vec a × \vec b |=| \vec a || \vec b | \sin θ$ （等于 $\vec a$ 与 $\vec b$ 构成的平行四边形面积）

• 方向：垂直于 $\vec a$ 和 $\vec b$ ，按右手法则确定

坐标计算（行列式展开）：

展开公式：

$\vec a × \vec b {=(a}_{2} b_{3} {-a}_{3} b_{2} {,a}_{3} b_{1} {-a}_{1} b_{3} {,a}_{1} b_{2} {-a}_{2} b_{1})$

重要性质：

1. 反交换律： $\vec a × \vec b =-(\vec b × \vec a)$

2. 平行判据： $\vec a \parallel \vec b$ ⇔ $\vec a × \vec b = \vec 0$

3. $\vec a × \vec a = \vec 0$

例3 求 $\vec a =(1,2,-1)$ 与 $\vec b =(3,1,2)$ 的向量积。

解：

$\vec a × \vec b =(2 × 2-(-1) × 1,(-1) × 3-1 × 2,1 × 1-2 × 3)$

$=(4+1,-3-2,1-6)=(5,-5,-5)$

验证：结果应垂直于a和b。

$(5,-5,-5) ⋅ (1,2,-1)=5-10+5=0$ ✓

$(5,-5,-5) ⋅ (3,1,2)=15-5-10=0$ ✓

从投影引出数量积定义，保持知识连贯。

坐标公式是核心计算工具，需多做练习。

夹角和垂直判据是数量积最重要的应用。

向量积通过几何直觉引入，再给出行列式公式。

验证叉积结果垂直于原向量，加深理解。

课堂测验

（10 min）

例4 求以 $\vec a =(1,2,-1)$ 和 $\vec b =(3,1,2)$ 为邻边的平行四边形面积。

解：由例3， $\vec a × \vec b =(5,-5,-5)$

面积 $S=| \vec a × \vec b |= \sqrt{25+25+25} =5 \sqrt{3}$

例5 判断 $\vec a =(2,4,-6)$ 与 $\vec b =(-1,-2,3)$ 是否平行。

解：

方法一（比例）： $\frac{2}{-1} = \frac{4}{-2} = \frac{-6}{3} =-2$ ，三个比值相等，故 $\vec a \parallel \vec b$ 。

方法二（叉积）：

$\vec a × \vec b =(4 × 3-(-6) × (-2),(-6) × (-1)-2 × 3,2 × (-2)-4 × (-1))$

$=(12-12,6-6,-4+4)=(0,0,0)= \vec 0$

叉积为零向量，故 $\vec a \parallel \vec b$ 。实际上 $\vec a =-2 \vec b$ （反向平行）。

例4将向量积与面积联系，体现几何应用。

例5用两种方法判断平行，加深对比理解。

总结对比图帮助学生区分两种运算。

第二节课

课堂练习（20 min）

练习1 求 $\vec a =(2,1,-1)$ 与 $\vec b =(1,-1,2)$ 的夹角。

解： $\vec a ⋅ \vec b =2-1-2=-1$

$| \vec a |= \sqrt{6}$ ， $| \vec b |= \sqrt{6}$

$\cos θ = \frac{-1}{6}$ ，即 $θ = \arccos (- \frac{1}{6})$

练习2 求 $\vec a =(1,0,1)$ 与 $\vec b =(2,1,0)$ 的向量积。

解：

$\vec a × \vec b =(0 × 0-1 × 1,1 × 2-1 × 0,1 × 1-0 × 2)$

$=(-1,2,1)$

练习3 求以 $A(1,0,0)$ 、 $B(0,1,0)$ 、 $C(0,0,1)$ 为顶点的三角形面积。

解： $\overrightarrow AB =(-1,1,0)$ ， $\overrightarrow AC =(-1,0,1)$

$\overrightarrow AB × \overrightarrow AC =(1 × 1-0 × 0,0 × (-1)-(-1) × 1,(-1) × 0-1 × (-1))=(1,1,1)$

三角形面积 $= \frac{1}{2} | \overrightarrow AB × \overrightarrow AC |= \frac{1}{2} \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

练习1巩固夹角计算。

练习2强化向量积的坐标展开。

练习3综合运用叉积求三角形面积。

课堂测验

（10 min）

补充：基本单位向量的叉积

$\vec i × \vec j = \vec k$ ， $\vec j × \vec k = \vec i$ ， $\vec k × \vec i = \vec j$

$\vec j × \vec i =- \vec k$ ， $\vec k × \vec j =- \vec i$ ， $\vec i × \vec k =- \vec j$

记忆方法：i, j, k 按顺序“循环取正，逆序取负”。

基本单位向量的叉积关系帮助理解右手法则和反交换律。

课堂小结

（5 min）

课堂小结

本节课核心知识点：

1. 数量积： $\vec a ⋅ \vec b {=a}_{1} b_{1} {+a}_{2} b_{2} {+a}_{3} b_{3} =| \vec a || \vec b | \cos θ$ （结果是标量）

2. 向量积： $\vec a × \vec b {=(a}_{2} b_{3} {-a}_{3} b_{2} {,a}_{3} b_{1} {-a}_{1} b_{3} {,a}_{1} b_{2} {-a}_{2} b_{1})$ （结果是向量）

3. 夹角公式： $\cos θ = \frac{\vec a ⋅ \vec b}{| \vec a || \vec b |}$

4. 垂直与平行判据：

垂直： $\vec a ⋅ \vec b =0$ ；平行： $\vec a × \vec b = \vec 0$

下节预告：平面及其方程——利用法向量（叉积可求）建立平面方程。

总结两种乘法的核心公式和应用。

预告下节课平面方程，叉积求法向量是关键桥梁。

教学反思

本节课内容量较大（数量积+向量积），需注意时间分配。

数量积从投影引入效果好，学生接受度高。

向量积的行列式公式计算易出错，需强调符号规律和多练习。

对比总结图帮助学生区分两种运算，建议课后复习时再次参考。

下节课平面方程将大量使用数量积和向量积，需确保本节基础扎实。