向量的模方向余弦与单位向量

教学项目

向量的模、方向余弦与单位向量

授课地点

教学楼多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

学生已掌握空间直角坐标系的建立方法，能用坐标表示向量并进行加减法、数乘等线性运算，已学习两点间距离公式和定比分点公式。本节课从坐标运算自然过渡到向量的度量问题——长度和方向，学生需要建立从代数坐标到几何度量的联系。方向余弦概念较抽象，需借助三维几何直觉帮助理解。

教学目标

1. 知识目标

掌握向量的模的计算公式，理解方向角与方向余弦的定义及其关系。

2. 能力目标

能求向量的模、方向余弦和单位向量，能利用方向余弦判断方向关系。

3. 素养目标

体会向量“长度+方向”二要素的统一描述，培养空间想象能力。

教学重点

1. 向量模的计算公式及几何意义；

2. 方向余弦的定义、性质及计算方法；

3. 单位向量的求法及其与方向余弦的关系。

教学难点

及应对

1. 方向角、方向余弦概念的空间直觉理解；

2. 方向余弦平方和等于1的证明思路；

3. 向量在轴上投影的正负号含义。

教学资源

多媒体课件、三维坐标模型、教案配图

教学方法

讲授法、图示法、互动问答、练习巩固

教学反思

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、复习引入

上节课我们学习了空间直角坐标系中向量的坐标表示和线性运算。

今天的核心问题：向量有多长？向量朝什么方向？如何精确描述方向？

二、向量的模（长度）

定义设 $\vec a {=(a}_{1} {,a}_{2} {,a}_{3})$ ，则向量的模（长度）为

$| \vec a |= \sqrt{{a_{1}}^{2} {+a}_{2}^{2} {+a}_{3}^{2}}$

特别地：

• $| \vec a | ≥ 0$ ，等号成立当且仅当 $\vec a = \vec 0$

• 两点之间距离：设 ${A(x}_{1} {,y}_{1} {,z}_{1})$ 、 ${B(x}_{2} {,y}_{2} {,z}_{2})$ ，则

$| \overrightarrow AB |= \sqrt{{(x}_{2} {-x}_{1})^{2} {+(y}_{2} {-y}_{1})^{2} {+(z}_{2} {-z}_{1})^{2}}$

例1 设 $\vec a =(3,4,5)$ ，求 $| \vec a |$ 。

解： $| \vec a |= \sqrt{3^{2} {+4}^{2} {+5}^{2}} = \sqrt{9+16+25} = \sqrt{50} =5 \sqrt{2}$

三、方向角与方向余弦

定义设非零向量 $\vec a$ 与x轴、y轴、z轴正方向的夹角分别为 $α, β, γ$ ，

称 $α, β, γ$ 为方向角，取值范围 $[0, π]$ 。

方向余弦：

$\cos α = \frac{a_{1}}{| \vec a |}$ ， $\cos β = \frac{a_{2}}{| \vec a |}$ ， $\cos γ = \frac{a_{3}}{| \vec a |}$

重要性质： $\cos^{2} α + \cos^{2} β + \cos^{2} γ =1$

证明思路：将方向余弦代入即得

$\frac{{a_{1}}^{2}}{| \vec a |^{2}} + \frac{{a_{2}}^{2}}{| \vec a |^{2}} + \frac{{a_{3}}^{2}}{| \vec a |^{2}} = \frac{{a_{1}}^{2} {+a}_{2}^{2} {+a}_{3}^{2}}{| \vec a |^{2}} =1$

例2 求向量 $\vec a =(1,1, \sqrt{2})$ 的方向余弦。

解：先求模： $| \vec a |= \sqrt{1+1+2} =2$

方向余弦： $\cos α = \frac{1}{2}$ ， $\cos β = \frac{1}{2}$ ， $\cos γ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

方向角： $α = \frac{π}{3}$ ， $β = \frac{π}{3}$ ， $γ = \frac{π}{4}$

验证： $(\frac{1}{2})^{2} +(\frac{1}{2})^{2} +(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} =1$ ✓

四、单位向量

定义模为1的向量称为单位向量。

非零向量 $\vec a$ 的单位向量（方向向量）为：

$\vec e_{a} = \frac{\vec a}{| \vec a |} = \frac{1}{| \vec a |} {(a}_{1} {,a}_{2} {,a}_{3})=(\cos α, \cos β, \cos γ)$

因此向量可以分解为模与方向的乘积：

$\vec a =| \vec a | ⋅ \vec e_{a}$

例3 求与向量 $\vec a =(2,-3,6)$ 同方向的单位向量。

解： $| \vec a |= \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} =7$

$\vec e_{a} = \frac{\vec a}{| \vec a |} = \frac{1}{7} (2,-3,6)=(\frac{2}{7},- \frac{3}{7}, \frac{6}{7})$

验证： $| \vec e_{a} |= \sqrt{\frac{4}{49} + \frac{9}{49} + \frac{36}{49}} = \sqrt{\frac{49}{49}} =1$ ✓

五、向量在轴上的投影

定义设向量 $\vec a$ 与轴u的方向之间的夹角为 $θ$ ，则 $\vec a$ 在u轴上的投影为

${Prj}_{u} \vec a =| \vec a | \cos θ$

投影的性质：

• 投影是标量（可正可负可零）

• $θ < \frac{π}{2}$ 时投影为正； $θ > \frac{π}{2}$ 时投影为负； $θ = \frac{π}{2}$ 时投影为零

• 投影的线性性质： ${Prj}_{u} (\vec a + \vec b {)=Prj}_{u} \vec a {+Prj}_{u} \vec b$

• ${Prj}_{u} (λ \vec a)= λ {Prj}_{u} \vec a$

特别地，向量在坐标轴上的投影就是对应的坐标分量：

${Prj}_{x} \vec a {=a}_{1}$ ， ${Prj}_{y} \vec a {=a}_{2}$ ， ${Prj}_{z} \vec a {=a}_{3}$

通过知识衔接图回顾已学内容，引出本节核心问题。

向量的模公式从勾股定理推广而来，强化空间直觉。

方向角和方向余弦给出向量方向的精确描述。

单位向量将模与方向分离，揭示向量结构。

投影概念为下一节数量积做铺垫。

课堂测验

（10 min）

例4 已知 $A(1,2,3)$ ， $B(4,0,5)$ ，求 $\overrightarrow AB$ 的模、方向余弦和单位向量。

解： $\overrightarrow AB =(4-1,0-2,5-3)=(3,-2,2)$

$| \overrightarrow AB |= \sqrt{9+4+4} = \sqrt{17}$

方向余弦：

$\cos α = \frac{3}{\sqrt{17}}$ ， $\cos β = \frac{-2}{\sqrt{17}}$ ， $\cos γ = \frac{2}{\sqrt{17}}$

单位向量： $\vec e_{AB} =(\frac{3}{\sqrt{17}}, \frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{2}{\sqrt{17}})$

例5 设向量 $\vec a$ 的模 $| \vec a |=6$ ，方向角 $α = \frac{π}{4}$ ， $β = \frac{π}{3}$ ，求 $γ$ 及 $\vec a$ 的坐标。

解：由方向余弦性质：

$\cos^{2} γ =1- \cos^{2} α - \cos^{2} β =1- \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

$\cos γ = ± \frac{1}{2}$ ，即 $γ = \frac{π}{3}$ 或 $γ = \frac{2 π}{3}$

当 $γ = \frac{π}{3}$ 时：

$\vec a =6(\cos \frac{π}{4}, \cos \frac{π}{3}, \cos \frac{π}{3})=6(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})=(3 \sqrt{2},3,3)$

当 $γ = \frac{2 π}{3}$ 时：

$\vec a =(3 \sqrt{2},3,-3)$

例4综合运用模、方向余弦、单位向量的计算。

例5利用方向余弦性质反求方向角和坐标。

第二节课

课堂练习（20 min）

练习1 求向量 $\vec a =(1,-2,2)$ 的模和单位向量。

解： $| \vec a |= \sqrt{1+4+4} =3$

$\vec e_{a} = \frac{1}{3} (1,-2,2)=(\frac{1}{3},- \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

练习2 已知 $\vec a =(4,3,0)$ ，求 $\vec a$ 的方向余弦和方向角。

解： $| \vec a |= \sqrt{16+9+0} =5$

$\cos α = \frac{4}{5}$ ， $\cos β = \frac{3}{5}$ ， $\cos γ =0$

方向角： $α = \arccos \frac{4}{5}$ ， $β = \arccos \frac{3}{5}$ ， $γ = \frac{π}{2}$

（说明： $γ = \frac{π}{2}$ 表示向量在xOy平面内，与z轴垂直。）

练习3 求与向量 $\vec a =(3,4,0)$ 反方向的单位向量。

解： $| \vec a |=5$

同方向单位向量： $\vec e_{a} =(\frac{3}{5}, \frac{4}{5},0)$

反方向单位向量： $- \vec e_{a} =(- \frac{3}{5},- \frac{4}{5},0)$

练习1巩固模和单位向量的基本计算。

练习2强化方向余弦到方向角的转化。

练习3理解同方向与反方向单位向量的关系。

课堂测验

（10 min）

练习4 已知 $\vec a$ 的方向余弦为 $(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}})$ ， $| \vec a |= \sqrt{6}$ ，求 $\vec a$ 。

解：由 $\vec a =| \vec a | ⋅ \vec e_{a} =| \vec a |(\cos α, \cos β, \cos γ)$ ，代入得

$\vec a = \sqrt{6} ⋅ (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}})=(1,1,2)$

练习4从方向余弦反求向量坐标，加深对分解公式的理解。

课堂小结

（5 min）

课堂小结

本节课核心知识点：

1. 向量的模： $| \vec a |= \sqrt{{a_{1}}^{2} {+a}_{2}^{2} {+a}_{3}^{2}}$

2. 方向余弦： $\cos α = \frac{a_{1}}{| \vec a |}$ ， $\cos β = \frac{a_{2}}{| \vec a |}$ ， $\cos γ = \frac{a_{3}}{| \vec a |}$

3. 重要性质： $\cos^{2} α + \cos^{2} β + \cos^{2} γ =1$

4. 单位向量： $\vec e_{a} = \frac{\vec a}{| \vec a |} =(\cos α, \cos β, \cos γ)$

5. 投影公式： ${Prj}_{u} \vec a =| \vec a | \cos θ$

下节预告：向量的数量积（点积）与向量积（叉积），投影公式将自然推广到数量积的计算。

用总结图系统梳理四大核心概念。

预告下节课数量积，建立投影与点积的联系。

教学反思

本节课从向量的坐标运算过渡到度量问题，逻辑链条清晰。

方向角的三维示意图能有效帮助学生建立空间直觉。

方向余弦平方和为1的性质学生理解较好，建议在课后增加反求方向角的综合题。

单位向量与方向余弦的等价关系是本节核心，需重点强调。

投影概念引入为下节数量积做了良好铺垫，下节课要回扣投影公式。