教学项目

多元函数极值及其求法——极值判定与拉格朗日乘数法

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过前十三个课时的学习，学生已经掌握了多元函数的偏导数、全微分、链式法则和隐函数求导等核心内容。从课堂表现来看：（1）学生能够熟练计算偏导数和高阶偏导数；（2）学生理解了链式法则和隐函数求导公式的应用。

本节课将学习多元函数的极值问题，这是多元微积分最重要的应用之一。一元函数极值的学习经验将为本节课提供良好的类比基础——必要条件（一阶导数为零）和充分条件（二阶导数判定）都有自然的推广。

学生可能的困难在于：（1）二阶判别法中 A、B、C 的计算和判别式的应用；（2）拉格朗日乘数法的操作步骤——构造辅助函数、联立方程组；（3）实际问题中最值的确定方法。

根据教学计划，本课时为第27-28学时。

教学目标

知识目标：

（1）理解多元函数极值的定义和驻点的概念；

（2）掌握极值的必要条件：${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''=0,\; f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}''=0''$；

（3）掌握极值的充分条件（二阶判别法）：计算 $''\Delta ''{''=AC-B''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$ 判定极值类型；

（4）掌握拉格朗日乘数法求条件极值；

（5）能够求解多元函数的最值问题。

能力目标：

（1）培养运用极值理论解决实际优化问题的能力；

（2）培养将约束优化问题转化为拉格朗日乘数法的建模能力；

（3）培养综合运用偏导数、方程组求解等技能的数学综合能力。

素质目标：

（1）通过极值问题的实际应用，感受多元微积分的实用价值；

（2）通过拉格朗日乘数法，体会数学中化约束为无约束的思想方法。

教学重点

1. 极值的判定方法 驻点的求法（联立偏导数为零的方程组）和二阶判别法的应用。

2. 拉格朗日乘数法 构造辅助函数 L=f+λg，联立三个方程求解的操作流程。

3. 最值问题的求解 内部极值+边界极值的综合比较。

教学难点

及应对

难点：

1. 二阶判别法中判别式的计算——需要求三个二阶偏导数，计算量较大；

2. 拉格朗日乘数法的方程组求解——三元方程组的代数运算技巧；

3. 实际问题的建模——将实际优化问题转化为数学极值问题。

应对策略：

1. 先用简单例题演示判别法的操作流程，再过渡到较复杂的情况；

2. 拉格朗日乘数法重点讲解方程组的求解技巧；

3. 实际问题先从简单的几何优化入手。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：极值必要条件图、充分条件判别图、求解步骤流程图、拉格朗日乘数法图、最值问题图、知识总结图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

类比法：从一元函数极值类比引出多元函数极值的判定方法

讲授法：系统讲解极值判定条件和拉格朗日乘数法

应用法：通过实际优化问题展示极值理论的应用价值

练习法：讲练结合，及时巩固

教学反思

本节课系统讲解了多元函数极值的判定方法和拉格朗日乘数法。从课堂表现来看，二阶判别法的操作流程学生掌握较好，拉格朗日乘数法因涉及三元方程组的求解，部分学生需要更多练习。实际应用问题有效激发了学生的学习兴趣。下节课为第六章习题课，将系统回顾多元微积分的核心内容。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、极值的概念与必要条件（10分钟）

【教师】类比一元函数，我们知道极值点处导数为零。多元函数类似：

定义 设 f(x,y) 在点 (x₀,y₀) 的某邻域内有定义。如果对该邻域内所有点都有 f(x,y)≤f(x₀,y₀)，则称 f 在 (x₀,y₀) 取极大值。极小值类似定义。

定理（必要条件） 若 f(x,y) 在 (x₀,y₀) 取极值，且偏导数存在，则

${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''(x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}{'',y''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}'')=0,''''\backslash quad''{''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}{''(x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}{'',y''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}'')=0''$

满足此条件的点称为驻点。

二、极值的充分条件——二阶判别法（15分钟）

定理（充分条件） 设 (x₀,y₀) 是驻点，令

${''A=f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xx</ms>}}{''(x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}{'',y''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}''),''''\backslash quad''{''B=f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xy</ms>}}{''(x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}{'',y''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}''),''''\backslash quad''{''C=f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">yy</ms>}}{''(x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}{'',y''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}'')''$

$''\Delta ''{''=AC-B''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$

$''\Delta ''''>0''$ 时：A>0 为极小值，A<0 为极大值；

时：不是极值点（鞍点）；

$''\Delta ''''=0''$ 时：无法判定，需用其他方法。

例1 求 ${''f(x,y)=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}{''-y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}{''+3x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+3y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''-9x''$ 的极值。

解

${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''=3x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+6x-9=3(x+3)(x-1)=0''$

${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}{''=-3y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+6y=-3y(y-2)=0''$

驻点：(1,0)、(1,2)、(-3,0)、(-3,2)。

${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xx</ms>}}''=6x+6,''''\backslash quad''{''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xy</ms>}}''=0,''''\backslash quad''{''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">yy</ms>}}''=-6y+6''$

在 (1,0)：A=12, B=0, C=6, Δ=72>0, A>0 → 极小值 f(1,0)=-5

在 (1,2)：A=12, B=0, C=-6, Δ=-72<0 → 不是极值

在 (-3,0)：A=-12, B=0, C=6, Δ=-72<0 → 不是极值

在 (-3,2)：A=-12, B=0, C=-6, Δ=72>0, A<0 → 极大值 f(-3,2)=31

例2 求 ${''f(x,y)=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+xy+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''-2x-y''$ 的极值。

解

${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''=2x+y-2=0,''''\backslash quad''{''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}''=x+2y-1=0''$

解方程组得驻点 (1, 0)。

${''A=f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xx</ms>}}''=2,''''\backslash quad''{''B=f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">xy</ms>}}''=1,''''\backslash quad''{''C=f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">yy</ms>}}''=2''$

$''\Delta ''{''=AC-B''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=4-1=3>0,''''\backslash quad''''A=2>0''$

故 (1,0) 是极小值点，$''f(1,0)=1+0+0-2-0=-1''$

类比一元极值，引入多元极值的定义和必要条件。

系统讲解二阶判别法，通过流程图帮助学生掌握操作步骤。

例1包含多个驻点和不同的判别结果，综合训练判别法的应用。

例2展示标准的极值求解全过程。

课堂测验

（10 min）

【教师】做两道练习巩固二阶判别法。

练习1：求 ${''f(x,y)=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+2y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''y''$ 的极值。

解

${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''=2x-2xy=2x(1-y)=0''$

${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}{''=4y-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=0''$

由第一个方程：x=0 或 y=1。

若 x=0：4y=0，y=0，驻点 (0,0)；

若 y=1：4-x²=0，x=±2，驻点 (2,1) 和 (-2,1)。

在 (0,0)：A=2, B=0, C=4, Δ=8>0, A>0 → 极小值 f(0,0)=0

在 (2,1)：A=2(1-1)=0, B=-2(2)=-4, C=4, Δ=0-16=-16<0 → 不是极值

在 (-2,1)：同理 Δ<0 → 不是极值

练习2：求 ${''f(x,y)=xy-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''-y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''-2x-2y+1''$ 的极值。

解

${''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''=y-2x-2=0,''''\backslash quad''{''f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}''=x-2y-2=0''$

解得驻点 (-2, -2)。

A=-2, B=1, C=-2, Δ=4-1=3>0, A<0 → 极大值 f(-2,-2)=5

练习1包含三个驻点，训练分类讨论的能力。

练习2训练标准的极大值判定过程。

第二节课

知识讲解与应用（30 min）

三、条件极值与拉格朗日乘数法（20分钟）

条件极值问题 在约束条件 φ(x,y)=0 下，求 f(x,y) 的极值。

拉格朗日乘数法

（1）构造辅助函数（拉格朗日函数）：

$''L(x,y,''''\lambda '''')=f(x,y)+''''\lambda ''''''''\cdot ''''''''\varphi ''''(x,y)''$

（2）联立方程组：

${''L''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''=f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''+''''\lambda ''''''{''\varphi ''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''=0''$

${''L''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}{''=f''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}''+''''\lambda ''''''{''\varphi ''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}''=0''$

$''\varphi ''''(x,y)=0''$

（3）解方程组得到候选极值点。

例3 求 f(x,y)=xy 在约束条件 x+y=1 下的极值。

解 φ(x,y)=x+y-1=0。构造

$''L=xy+''''\lambda ''''(x+y-1)''$

${''L''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''=y+''''\lambda ''''=0''''\backslash quad''''...(1)''$

${''L''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}''=x+''''\lambda ''''=0''''\backslash quad''''...(2)''$

$''x+y-1=0''''\backslash quad''''...(3)''$

由 (1)(2) 得 x=y，代入 (3) 得 x=y=1/2。

在 (1/2, 1/2) 处，$''f(''\frac{''1''}{''2''}'',''\frac{''1''}{''2''}'')=''\frac{''1''}{''4''}$（极大值）。

四、实际最值问题（10分钟）

例4 用一块面积为 a² 的薄铁皮做一个无盖长方体容器，问长、宽、高各为多少时容积最大？

解 设长 x、宽 y、高 z。

目标函数：V = xyz

约束条件：xy + 2xz + 2yz = a²

由约束条件解出 z：

$''z=''\frac{{''a''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''-xy''}{''2(x+y)''}$

代入 V 得关于 x, y 的函数，令偏导为零。

由对称性，当 x=y 时取极值。代入约束条件解得：

$''x=y=''\frac{''a''}{\sqrt{''3''}}'',''''\backslash quad''''z=''\frac{''a''}{''2''\sqrt{''3''}}''=''\frac{''a''}{''2''\sqrt{''3''}}$

此时容积最大为 $''V=''\frac{{''a''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}{''6''\sqrt{''3''}}''=''\frac{\sqrt{''3''}{''a''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}{''18''}$

系统讲解拉格朗日乘数法的操作步骤，例3展示标准流程。

例4展示多元极值在实际优化问题中的应用。

课堂测验

（10 min）

【教师】做一道条件极值的综合练习。

练习3：求原点到平面 x+2y+2z=12 的最短距离。

解 设平面上点 (x,y,z)，目标：

$''\backslash min''''''''\backslash quad''{''d''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+z''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$

约束：x+2y+2z=12。

构造拉格朗日函数：

${''L=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+z''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+''''\lambda ''''(x+2y+2z-12)''$

${''L''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''=2x+''''\lambda ''''=0''''\backslash quad''''''''\Rightarrow ''''''''\backslash quad''''x=-''\frac{''\lambda ''}{''2''}$

${''L''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}''=2y+2''''\lambda ''''=0''''\backslash quad''''''''\Rightarrow ''''''''\backslash quad''''y=-''''\lambda ''$

${''L''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">z</ms>}}''=2z+2''''\lambda ''''=0''''\backslash quad''''''''\Rightarrow ''''''''\backslash quad''''z=-''''\lambda ''$

代入约束条件：

$''-''\frac{''\lambda ''}{''2''}''-2''''\lambda ''''-2''''\lambda ''''=12''''\backslash quad''''''''\Rightarrow ''''''''\backslash quad''''-''\frac{''9''''\lambda ''}{''2''}''=12''''\backslash quad''''''''\Rightarrow ''''''''\backslash quad''''''''\lambda ''''=-''\frac{''8''}{''3''}$

$''x=''\frac{''4''}{''3''}'',''''\backslash quad''''y=''\frac{''8''}{''3''}'',''''\backslash quad''''z=''\frac{''8''}{''3''}$

最短距离为 $''d=''\sqrt{\frac{''16''}{''9''}''+''\frac{''64''}{''9''}''+''\frac{''64''}{''9''}}''=''\sqrt{\frac{''144''}{''9''}}''=4''$

【教师】讲评：此题也可用点到平面距离公式直接得到 d=12/3=4，但拉格朗日乘数法展示了一种通用的优化求解思路。

练习3训练拉格朗日乘数法的完整求解过程。

通过与距离公式的对比，加深对方法的理解。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课核心要点：

一、无条件极值：

求驻点 → 二阶判别法（Δ=AC-B²）→ 判定极值类型。

二、条件极值：

拉格朗日乘数法：L=f+λφ，联立方程组求解。

三、最值问题：

内部极值 + 边界极值，综合比较取最值。

四、作业布置：

（1）求给定函数的极值（二阶判别法，3题）；

（2）拉格朗日乘数法求条件极值（2题）；

（3）实际应用最值问题（1题）。

五、预习：

下节课为第六章习题课，请复习本章所有核心知识点。

系统总结无条件极值、条件极值和最值问题的求解方法。

布置分层作业，覆盖本节课的三个核心内容。

教学反思

本节课系统讲解了多元函数极值的判定方法，教学效果分析如下：

（1）极值的必要条件学生理解较好，从一元函数的类比自然过渡到多元情形。

（2）二阶判别法的操作步骤，约80%的学生能够正确执行。主要困难在于二阶混合偏导数的计算和判别式的符号判断。

（3）例1包含四个驻点和三种判别结果，展示了判别法的全面性。学生在分类讨论时需要更加仔细。

（4）拉格朗日乘数法是本节课的重点也是难点。构造辅助函数的步骤学生基本掌握，但三元方程组的求解对代数运算能力要求较高，约65%的学生能够独立完成。

（5）实际应用问题（例4）有效激发了学生的兴趣，让学生看到了极值理论在工程优化中的价值。

（6）整体反思：本节课内容量大（无条件极值+条件极值+应用），时间安排偏紧。建议拉格朗日乘数法的更多练习放在习题课中完成。