多元函数概念极限与连续

教学项目

多元函数的概念、极限与连续

授课地点

教学楼多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

学生已完成向量代数与空间解析几何的学习，具备了空间坐标系和曲面的基本知识。本节课开始多元函数微分学，是从一元函数到多元函数的重大跨越。学生已熟悉一元函数的极限与连续概念，但多元函数的极限涉及“从各个方向趋近”，这一质的变化是教学重点。

教学目标

1. 知识目标

理解多元函数的定义，掌握定义域的求法和图形表示。

2. 能力目标

能求多元函数的定义域，理解二重极限的概念及其与一元极限的区别。

3. 素养目标

建立从一元到多元的推广意识，理解维数增加带来的本质变化。

教学重点

1. 多元函数的定义和定义域求法；

2. 二重极限概念和计算方法；

3. 多元函数连续性的定义。

教学难点

及应对

1. 二重极限“从各个方向趋近”的理解；

2. 用不同路径说明极限不存在；

3. 多元函数连续与一元的类比与区别。

教学资源

多媒体课件、三维曲面图、教案配图

教学方法

讲授法、类比法、图示法、启发问答

教学反思

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、多元函数的概念

定义设D为 $R^{2}$ 的一个非空点集，若对D中每个点(x,y)，

按照某个确定的法则都有唯一的实数z与之对应，则称z是x,y的二元函数，记为 $z=f(x,y)$ 。

图形表示：二元函数的图形是空间中的一个曲面。

定义域求法：

• 分母不为零

• 偶次根号下非负

• 对数的真数大于零

• 取各条件的交集

例1 求 $z= \sqrt{{1-x}^{2} {-y}^{2}}$ 的定义域。

解：要求 ${1-x}^{2} {-y}^{2} ≥ 0$ ，即 $x^{2} {+y}^{2} ≤ 1$

定义域为圆心在原点、半径为1的闭圆盘。

图形为上半球面。

例2 求 $z= \ln (x+y)$ 的定义域。

解：要求 $x+y>0$ ，即直线 $x+y=0$ 上方的开半平面。

二、二重极限

定义当点(x,y)以任意方式趋向于 ${(x}_{0} {,y}_{0})$ 时， $f(x,y)$ 无限接近A，则称A为 $f$ 在该点的极限：

${lim}_{(x,y)\to{(x}_{0}{,y}_{0})} f(x,y)=A$

关键区别：一元极限只有左右两个方向，二重极限是从“所有方向”趋近。

计算方法：

• 直接代入法（连续函数直接代入）

• 利用极坐标（适合原点附近的极限）

• 夹逼准则

例3 求 ${lim}_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2} y}{x^{2} {+y}^{2}}$ 。

解：令 $x=r \cos θ,y=r \sin θ$ ，则

$\frac{x^{2} y}{x^{2} {+y}^{2}} = \frac{r^{2} \cos^{2} θ ⋅ r \sin θ}{r^{2}} =r \cos^{2} θ \sin θ$

当 $r \to 0$ 时， $|r \cos^{2} θ \sin θ | ≤ r \to 0$ ，故极限为0。

多元函数定义由一元自然推广。

定义域求法是基础技能。

二重极限的“各方向趋近”是核心难点。

极坐标法是重要的计算工具。

课堂测验

（10 min）

例4（极限不存在）证明 ${lim}_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^{2} {+y}^{2}}$ 不存在。

证：沿 $y=0$ 趋近： $\frac{x ⋅ 0}{x^{2} +0} =0$ → 0

沿 $y=x$ 趋近： $\frac{x ⋅ x}{x^{2} {+x}^{2}} = \frac{x^{2}}{{2x}^{2}} = \frac{1}{2}$ → $\frac{1}{2}$

两条路径极限值不同，故二重极限不存在。

三、多元函数的连续性

定义若 ${lim}_{(x,y)\to{(x}_{0}{,y}_{0})} {f(x,y)=f(x}_{0} {,y}_{0})$ ，则称f在该点连续。

连续的三个条件：

(1) ${f(x}_{0} {,y}_{0})$ 有定义

(2) ${lim}_{(x,y)\to{(x}_{0}{,y}_{0})} f(x,y)$ 存在

(3) 极限值等于函数值

重要定理：初等函数在其定义域内的每一点都是连续的。

用不同路径证明极限不存在是常见方法。

多元连续性与一元类似，但极限条件更强。

第二节课

课堂练习（20 min）

练习1 求 $z= \frac{1}{\sqrt{x^{2} {+y}^{2} -1}}$ 的定义域。

解：要求 $x^{2} {+y}^{2} -1>0$ ，即 $x^{2} {+y}^{2} >1$ ，定义域是单位圆外部（不含圆周）。

练习2 用极坐标求 ${lim}_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2} {+y}^{2}}{\sqrt{x^{2} {+y}^{2} +1} -1}$ 。

解：有理化分母：

$\frac{r^{2}}{\sqrt{r^{2} +1} -1} ⋅ \frac{\sqrt{r^{2} +1} +1}{\sqrt{r^{2} +1} +1} = \frac{r^{2} (\sqrt{r^{2} +1} +1)}{r^{2}} = \sqrt{r^{2} +1} +1$

当 $r \to 0$ 时，极限 $= \sqrt{1} +1=2$

练习3 讨论 ${lim}_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2} {-y}^{2}}{x^{2} {+y}^{2}}$ 是否存在。

解：沿 $y=0$ ：极限=1；沿 $x=0$ ：极限=-1。路径不同，极限值不同，故不存在。

练习1巩固定义域求法。

练习2练习极坐标+有理化技巧。

练习3加深对极限不存在判别的理解。

课堂测验

（10 min）

补充：有界闭区域上连续函数的性质

类比一元函数在闭区间上的性质：

1. 最大值最小值定理：有界闭区域D上的连续函数必取到最大值和最小值。

2. 介值定理：连续函数在最大值和最小值之间取到所有中间值。

这些性质在求多元函数极值时将要用到。

闭区域上连续函数的性质为后续极值理论做准备。

课堂小结

（5 min）

课堂小结

本节课核心知识点：

1. 多元函数定义：n个自变量对应一个因变量

2. 定义域：各约束条件取交集

3. 二重极限：从所有方向趋近都得到同一值

4. 路径法判断极限不存在

5. 连续性：极限值=函数值

下节预告：偏导数——多元函数微分学的基础概念。

总结从一元到多元的推广脉络。

预告偏导数，进入微分计算。

教学反思

从一元到多元的类比教学效果好，学生能快速理解概念推广。

二重极限的“各方向趋近”是最大难点，三维图形帮助直观理解。

用不同路径证明极限不存在的方法学生接受较快。

极坐标方法的引入时机恰当，作为计算工具很有效。

下节偏导数需回顾一元导数概念。