多元复合函数求导法则

教学项目

多元复合函数求导法则——链式法则与全微分形式不变性

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过前十一个课时的学习，学生已经掌握了多元函数的偏导数、高阶偏导数和全微分的概念与计算方法。从上节课的课堂表现来看：（1）学生能够熟练计算给定函数的偏导数和全微分；（2）学生理解了全微分是全增量的线性主部这一核心概念；（3）学生掌握了可微的充分条件（偏导数连续）及其应用。

本节课将学习多元复合函数的求导法则——链式法则。这是多元微积分中最重要的计算工具之一，也是后续隐函数求导的理论基础。链式法则的核心思想是：通过中间变量将复合函数的导数分解为各层偏导数的乘积之和。

学生可能的困难在于：（1）树形图的正确画法——需要准确识别因变量、中间变量和自变量；（2）全导数与偏导数的区分——中间变量为一元时用全导数 d/dt，为多元时用偏导数；（3）多层复合时链式法则的正确书写。

根据教学计划，本课时为第23-24学时。

教学目标

知识目标：

（1）掌握链式法则的基本形式： $\frac{dz}{dt} = \frac{∂ z}{∂ u} ⋅ \frac{du}{dt} + \frac{∂ z}{∂ v} ⋅ \frac{dv}{dt}$ ；

（2）掌握中间变量为多元函数时的链式法则： $\frac{∂ z}{∂ x} = \frac{∂ z}{∂ u} ⋅ \frac{∂ u}{∂ x} + \frac{∂ z}{∂ v} ⋅ \frac{∂ v}{∂ x}$ ；

（3）理解全微分形式不变性——全微分的表达形式不因变量角色（自变量或中间变量）的改变而变化；

（4）能够运用树形图法正确写出各种复合情形的链式法则公式。

能力目标：

（1）培养分析复合函数变量关系的能力，能够画出正确的树形图；

（2）培养灵活运用链式法则解决不同复合情形的计算能力；

（3）培养区分全导数与偏导数的概念辨析能力。

素质目标：

（1）通过链式法则的学习，体会数学中化繁为简的方法论；

（2）通过树形图法，培养将抽象关系图形化的思维能力；

（3）通过全微分形式不变性，感受数学公式的统一美。

教学重点

1. 链式法则的基本形式掌握两种基本情形：（1）中间变量为一元函数（全导数情形）；（2）中间变量为多元函数（偏导数情形）。树形图是正确写出链式法则公式的核心工具。

2. 树形图法画出从因变量到自变量的变量依赖关系图，沿每条路径将偏导数相乘，不同路径的乘积相加。这是链式法则最直观的记忆和书写方式。

3. 全微分形式不变性无论 u、v 是自变量还是中间变量，全微分的形式 dz = (dz/du)du + (dz/dv)dv 保持不变。这一性质简化了全微分的计算。

教学难点

及应对

难点：

1. 全导数与偏导数的区分——当最终自变量只有一个（如 t）时，用全导数 dz/dt；当最终自变量有多个（如 x,y）时，用偏导数；

2. 多层复合的链式法则——当存在三层或更多层复合时，需要逐层应用链式法则；

3. 混合情形——有些中间变量同时也是自变量时（如 z=f(u,x), u=u(x,y)），对 x 求偏导时需要注意既有通过 u 的间接影响，也有 x 作为自变量的直接影响。

应对策略：

1. 通过大量画树形图的练习，帮助学生建立正确的变量关系意识；

2. 用具体的例题演示多层复合和混合情形的处理方法；

3. 强调树形图中每个变量只写一次，沿路径相乘、跨路径相加的规则。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：链式法则基本情形图、多元情形树形图、记忆技巧图、例题演示图、全微分形式不变性图、知识总结图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

图示法：用树形图直观展示变量之间的依赖关系，使链式法则公式一目了然

讲授法：系统讲解链式法则的各种情形和全微分形式不变性

练习法：每讲完一种情形立即进行课堂练习，及时巩固

比较法：对比全导数与偏导数、一元链式法则与多元链式法则的异同

教学反思

本节课系统讲解了多元复合函数的链式法则。从课堂表现来看，树形图法受到学生的欢迎——它将抽象的链式法则转化为直观的图形操作，显著降低了学习难度。全导数与偏导数的区分是本节课的主要难点，约25%的学生在混合情形中仍有困惑，需要后续通过更多练习加以强化。全微分形式不变性作为拓展内容，学生接受度良好。下节课将学习隐函数的求导公式，链式法则是其核心工具。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、回顾与引入——从一元链式法则到多元（5分钟）

【教师】同学们，在一元函数中我们学过链式法则（复合函数求导法则）：

一元链式法则：若 y=f(u)，u=g(x)，则

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} ⋅ \frac{du}{dx}$

现在的问题是：如果外层函数是多元函数 z=f(u,v)，中间变量 u、v 各自依赖于其他变量，如何求 z 对最终自变量的导数？这就需要多元函数的链式法则。

二、链式法则——全导数情形（15分钟）

定理设 z=f(u,v) 有连续偏导数，u=u(t)、v=v(t) 可导，则复合函数 z=f(u(t),v(t)) 关于 t 可导，且

$\frac{dz}{dt} = \frac{∂ z}{∂ u} ⋅ \frac{du}{dt} + \frac{∂ z}{∂ v} ⋅ \frac{dv}{dt}$

理解要点：

（1）结果用全导数 dz/dt，因为最终自变量只有一个 t；

（2）对外层函数用偏导数，对内层函数用全导数；

（3）公式结构：沿树形图每条路径偏导相乘，不同路径相加。

例1 设 ${z=e}^{u} \sin v$ ， ${u=t}^{2}$ ， $v=3t$ ，求 $\frac{dz}{dt}$ 。

例2 设 ${z=u}^{2} {-v}^{2}$ ， $u= \cos t$ ， $v= \sin t$ ，求 $\frac{dz}{dt}$ 。

解

$\frac{∂ z}{∂ u} =2u, \quad \frac{∂ z}{∂ v} =-2v$

$\frac{du}{dt} =- \sin t, \quad \frac{dv}{dt} = \cos t$

$\frac{dz}{dt} =2u ⋅ (- \sin t)+(-2v) ⋅ \cos t$

$=2 \cos t ⋅ (- \sin t)-2 \sin t ⋅ \cos t=-4 \sin t \cos t=-2 \sin 2t$

三、链式法则——偏导数情形（15分钟）

定理设 z=f(u,v)，u=u(x,y)，v=v(x,y)，各函数有连续偏导数，则

$\frac{∂ z}{∂ x} = \frac{∂ z}{∂ u} ⋅ \frac{∂ u}{∂ x} + \frac{∂ z}{∂ v} ⋅ \frac{∂ v}{∂ x}$

$\frac{∂ z}{∂ y} = \frac{∂ z}{∂ u} ⋅ \frac{∂ u}{∂ y} + \frac{∂ z}{∂ v} ⋅ \frac{∂ v}{∂ y}$

注意这里结果用偏导数，因为最终自变量有两个 x 和 y。

例3 设 ${z=u}^{2} {+v}^{2}$ ， $u=x+y$ ， $v=xy$ ，求 $\frac{∂ z}{∂ x}$ 和 $\frac{∂ z}{∂ y}$ 。

解

$\frac{∂ z}{∂ u} =2u, \quad \frac{∂ z}{∂ v} =2v$

$\frac{∂ u}{∂ x} =1, \quad \frac{∂ v}{∂ x} =y$

$\frac{∂ z}{∂ x} =2u ⋅ 1+2v ⋅ {y=2(x+y)+2xy}^{2}$

同理：

$\frac{∂ u}{∂ y} =1, \quad \frac{∂ v}{∂ y} =x$

$\frac{∂ z}{∂ y} =2u ⋅ 1+2v ⋅ {x=2(x+y)+2x}^{2} y$

从一元链式法则出发引入多元链式法则，建立知识衔接。

通过树形图法讲解链式法则的全导数情形，例1和例2训练基本计算。

讲解中间变量为多元函数时的链式法则，例3展示偏导数情形的计算。

树形图贯穿整个教学过程，帮助学生建立正确的公式书写习惯。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做两道练习题，巩固链式法则的两种基本情形。

练习1：设 $z= \ln {(u}^{2} {+v}^{2})$ ， ${u=e}^{t}$ ， ${v=t}^{2}$ ，求 $\frac{dz}{dt}$ 。

解

$\frac{∂ z}{∂ u} = \frac{2u}{u^{2} {+v}^{2}}, \quad \frac{∂ z}{∂ v} = \frac{2v}{u^{2} {+v}^{2}}$

$\frac{du}{dt} {=e}^{t}, \quad \frac{dv}{dt} =2t$

$\frac{dz}{dt} = \frac{2u}{u^{2} {+v}^{2}} ⋅ e^{t} + \frac{2v}{u^{2} {+v}^{2}} ⋅ 2t= \frac{{2ue}^{t} +4vt}{u^{2} {+v}^{2}}$

代回： $= \frac{{2e}^{2t} {+4t}^{3}}{e^{2t} {+t}^{4}}$

练习2：设 ${z=x}^{2} {y+xy}^{2}$ ， $x=s+t$ ， $y=st$ ，求 $\frac{∂ z}{∂ s}$ 。

解

$\frac{∂ z}{∂ x} {=2xy+y}^{2}, \quad \frac{∂ z}{∂ y} {=x}^{2} +2xy$

$\frac{∂ x}{∂ s} =1, \quad \frac{∂ y}{∂ s} =t$

$\frac{∂ z}{∂ s} {=(2xy+y}^{2}) ⋅ {1+(x}^{2} +2xy) ⋅ t$

【教师】讲评：练习1是全导数情形，最后需要代回消去中间变量 u、v；练习2是偏导数情形，注意最终结果中的自变量是 s 和 t。

练习1训练全导数情形，强调最后代回的步骤。

练习2训练偏导数情形，强调自变量与中间变量的区分。

第二节课

知识讲解与拓展（30 min）

四、混合情形与多层复合（15分钟）

混合情形当中间变量同时也是自变量时，需要特别注意。

例4 设 z=f(u,x,y)，u=u(x,y)，求 $\frac{∂ z}{∂ x}$ 。

解 z 对 x 有两条路径：（1）通过中间变量 u 间接影响；（2）作为自变量直接影响。

$\frac{∂ z}{∂ x} = \frac{∂ f}{∂ u} ⋅ \frac{∂ u}{∂ x} + \frac{∂ f}{∂ x}$

注意右端最后的偏导数是将 u 视为常数对 x 求偏导。

例5 设 ${z=e}^{u} +u ⋅ x$ ， ${u=x}^{2} {+y}^{2}$ ，求 $\frac{∂ z}{∂ x}$ 。

解

z 对 x 有两条路径：通过 u 和直接对 x。

$\frac{∂ z}{∂ u} {=e}^{u} +x, \quad \frac{∂ u}{∂ x} =2x$

z 中直接含 x 的项：ux 对 x 求偏导（u 视为常数）：

$\frac{∂ z}{∂ x} \bigg |_{\textdirect} =u$

$\frac{∂ z}{∂ x} {=(e}^{u} +x) ⋅ 2x+u$

代回 ${=(e}^{x^{2}{+y}^{2}} +x) ⋅ {2x+(x}^{2} {+y}^{2})$

五、全微分形式不变性（15分钟）

定理设 z=f(u,v) 有连续偏导数，无论 u、v 是自变量还是中间变量，全微分公式

$dz= \frac{∂ z}{∂ u} du+ \frac{∂ z}{∂ v} dv$

的形式保持不变。当 u、v 是中间变量时，du、dv 表示 u、v 的全微分。

例6 设 $z= \ln {(x}^{2} {+y}^{2})$ ，利用全微分形式不变性求 dz。

解设 ${u=x}^{2} {+y}^{2}$ ，则 z=ln u，

$dz= \frac{1}{u} du= \frac{1}{x^{2} {+y}^{2}} {d(x}^{2} {+y}^{2})= \frac{2xdx+2ydy}{x^{2} {+y}^{2}}$

意义全微分形式不变性使我们可以像一元函数那样“凑微分”，不必每次都从头用偏导数公式计算。

讲解混合情形——当中间变量同时是自变量时的链式法则处理方法。

例4和例5展示混合情形的典型计算，强调直接影响与间接影响的区分。

讲解全微分形式不变性定理，例6展示其在简化计算中的应用。

通过记忆技巧图帮助学生系统掌握链式法则的应用规则。

课堂测验

（10 min）

【教师】做两道综合练习。

练习3：设 ${z=f(x}^{2} {-y}^{2} {, e}^{xy})$ ，其中 f 有连续偏导数，求 $\frac{∂ z}{∂ x}$ 。

解设 ${u=x}^{2} {-y}^{2}$ ， ${v=e}^{xy}$ ，则 z=f(u,v)。

$\frac{∂ u}{∂ x} =2x, \quad \frac{∂ v}{∂ x} {=ye}^{xy}$

$\frac{∂ z}{∂ x} {=f}_{1} ⋅ {2x+f}_{2} ⋅ {ye}^{xy}$

其中 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 分别表示 f 对第一个和第二个变量的偏导数。

练习4：设 $z=f(xy, x+y)$ ，求 $x \frac{∂ z}{∂ x} -y \frac{∂ z}{∂ y}$ 。

解设 u=xy，v=x+y。

$\frac{∂ z}{∂ x} {=f}_{1} ⋅ {y+f}_{2} ⋅ 1$

$\frac{∂ z}{∂ y} {=f}_{1} ⋅ {x+f}_{2} ⋅ 1$

$x \frac{∂ z}{∂ x} -y \frac{∂ z}{∂ y} {=x(yf}_{1} {+f}_{2} {)-y(xf}_{1} {+f}_{2} {)=(x-y)f}_{2}$

【教师】讲评：练习3和4都是抽象复合函数的求导，注意用下标 1、2 表示对第几个变量的偏导数。练习4展示了如何通过链式法则化简组合偏导数表达式。

练习3训练抽象复合函数的链式法则，使用 f1、f2 记号。

练习4展示链式法则在化简偏导数组合中的应用。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心要点：

一、链式法则的核心公式：

全导数情形 $\frac{dz}{dt} = \frac{∂ z}{∂ u} \frac{du}{dt} + \frac{∂ z}{∂ v} \frac{dv}{dt}$

偏导数情形 $\frac{∂ z}{∂ x} = \frac{∂ z}{∂ u} \frac{∂ u}{∂ x} + \frac{∂ z}{∂ v} \frac{∂ v}{∂ x}$

二、树形图法：

画出变量依赖关系图，沿每条路径偏导相乘，不同路径相加。

三、全微分形式不变性：

dz 的形式不因变量角色改变而变化。

四、作业布置：

（1）链式法则基本计算（全导数和偏导数情形各2-3题）；

（2）抽象复合函数求导（用 f1、f2 记号）；

（3）混合情形练习。

五、预习：

下节课学习隐函数的求导公式。请思考：如果 F(x,y)=0 确定了 y=y(x)，如何求 dy/dx？

通过知识总结图系统归纳链式法则的各种情形。

强调树形图法是链式法则最实用的工具。

布置分层作业，预习隐函数求导为下节课做铺垫。

教学反思

本节课系统讲解了多元复合函数的链式法则，教学效果分析如下：

（1）树形图法的教学效果显著。通过将抽象的链式法则转化为直观的图形操作，约90%的学生能够正确画出树形图并写出链式法则公式。树形图法比直接记公式更容易理解和掌握。

（2）全导数与偏导数的区分是本节课的主要难点。约75%的学生能够正确区分，但仍有部分学生在混合情形中出现错误。建议后续通过更多练习加以强化。

（3）例3（偏导数情形）的计算过程学生完成度约80%，主要困难在于复合偏导数的代入和化简。

（4）抽象复合函数求导（练习3、4）对学生的抽象思维能力要求较高，约60%的学生能够独立完成。建议在后续习题课中继续强化。

（5）全微分形式不变性作为拓展内容，学生接受度良好，认识到全微分在链式法则中的统一角色。

（6）整体反思：本节课内容量较大（两种基本情形+混合情形+形式不变性），时间安排偏紧。建议在后续教学中将混合情形与更多例题放在隐函数求导课中一并讲解。