定积分复习小结

教学项目

定积分复习小结

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过第8课至第13课共六个课时的系统学习，学生已经完成了定积分的全部教学内容：第8课学习了定积分的概念与性质——掌握了Riemann和的定义思想、定积分的线性性、区间可加性、保号性及估值定理等基本性质；第9课学习了微积分基本定理——掌握了积分上限函数及其导数公式、Newton-Leibniz公式这一连接微分与积分的核心桥梁；第10课学习了定积分的换元积分法——掌握了换元后同步改变积分上下限的关键操作；第11课学习了定积分的分部积分法——掌握了分部积分公式在定积分中的应用；第12课学习了定积分的几何应用——掌握了用定积分计算平面面积和旋转体体积的方法；第13课学习了广义积分——掌握了无穷限积分和瑕积分的定义及敛散性判别。

从第13课的课堂测验和课后作业反馈来看：（1）Newton-Leibniz公式的直接运用约85%的学生能够熟练掌握；（2）定积分换元法中“同步换限”的操作约75%的学生能正确完成，仍有部分学生换元后忘记改变上下限；（3）分部积分法在定积分中的应用约70%的学生掌握，主要困难在于代入上下限时容易计算出错；（4）几何应用中面积计算掌握较好（约80%），旋转体体积公式的选择和应用约65%的学生能正确操作；（5）广义积分的敛散性判别是薄弱环节，约60%的学生能正确判别和计算。

本节课作为定积分部分的复习小结课（讲练课），目标是：系统梳理定积分的完整知识体系，帮助学生建立从概念到计算到应用的清晰框架；通过综合例题训练，巩固各类定积分的计算技能和应用方法；查漏补缺，为下一章常微分方程的学习打下坚实的积分运算基础。

根据教学计划，本课时为第27-28学时。

教学目标

知识目标：

（1）系统回顾定积分的概念——Riemann和的极限定义 $\int_{a}^{b} f(x)dx = {lim}_{n\to∞} \sum_{i=1}^{n} f(ξ_{i}) Δ x_{i}$ ，以及基本性质（线性性、区间可加性、保号性、估值定理）；

（2）深刻理解微积分基本定理——积分上限函数的导数公式 $[\int_{a}^{x} f(t)dt]^{′} =f(x)$ ，以及Newton-Leibniz公式 $\int_{a}^{b} f(x)dx =F(b)-F(a)$ ；

（3）熟练掌握定积分的三种核心计算方法：直接用N-L公式、换元积分法（同步换限）、分部积分法（代入上下限），以及利用奇偶性简化计算的技巧；

（4）熟练运用定积分求解平面面积和旋转体体积等几何应用问题；

（5）正确理解并计算广义积分（无穷限积分和瑕积分），掌握敛散性的基本判别方法。

能力目标：

（1）培养面对定积分问题时“分析题型→选择方法→规范计算→验证结果”的系统解题能力；

（2）提升从实际几何问题中建立定积分模型的能力——能正确确定积分区间、被积函数和积分变量；

（3）培养综合运用多种积分方法解决问题的灵活切换能力。

素质目标：

（1）通过定积分知识体系的系统梳理，培养分类整理、归纳总结的学习能力；

（2）通过微积分基本定理的回顾，深化对微分与积分统一性的哲学认识；

（3）通过综合练习，增强学生的解题信心和知识系统化意识。

教学重点

1. Newton-Leibniz公式的熟练运用 N-L公式是定积分计算的核心工具，将积分转化为原函数在上下限的差值。复习的重点是巩固找原函数和代入上下限的操作，特别是对于复合函数的处理。

2. 定积分换元法的规范操作换元后必须同步改变积分上下限，这是定积分换元法区别于不定积分换元法的关键。利用三角换元处理含有根式的积分是重点训练内容。

3. 定积分几何应用的建模方法能根据几何问题的具体条件，正确选择积分公式（面积/体积），确定积分区间和被积函数。先画图、再建模、后计算的三步策略需要反复训练。

4. 广义积分的敛散性判别与计算广义积分必须先用极限定义判断敛散性，不能直接套用N-L公式。无穷限积分和瑕积分的计算步骤需要重点巩固。

教学难点

及应对

难点：

1. 定积分换元法中积分限的正确变换——学生容易在换元后沿用原来的积分限，导致计算结果错误。特别是三角换元后，新的积分限需要通过反三角函数确定。

2. 几何应用中积分公式的正确选择——面对旋转体体积问题，学生需要判断是绕x轴还是绕y轴旋转，选择圆盘法还是壳法，并正确写出被积函数。

3. 广义积分中瑕点的识别——部分学生不能正确识别被积函数在积分区间内的无界点（瑕点），错误地将瑕积分当作普通定积分计算。

应对策略：

1. 换元法讲解时，强调“换元-换限”的配对操作，每道例题都标注新旧限的对应关系；

2. 几何应用题先画草图再建模，通过图形直观理解积分公式的几何含义；

3. 广义积分计算前，先检查被积函数在积分区间端点和内部的连续性，标注所有可能的瑕点，再选择正确的计算方法。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：定积分知识结构总图、计算方法对比表、几何应用公式汇总图、广义积分要点图、常见错误提醒图、知识衔接图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

归纳法：总结定积分的概念、性质、计算方法和应用，形成完整知识框架

对比法：将N-L公式、换元法、分部积分法进行横向对比，突出各自特点和适用场景

讲练结合：每回顾一个知识模块立即配套练习，巩固方法的运用

图形辅助法：几何应用部分通过画图建模，培养直观理解能力

教学反思

本节课是定积分部分的复习小结课（讲练课），以知识梳理和综合练习为主。从课堂表现来看，学生对定积分计算方法的掌握经过系统训练后有了明显提升，特别是换元法的“同步换限”操作经过反复强调后正确率显著提高。几何应用的建模思路经过图形辅助教学后更加清晰。广义积分的敛散性判别通过专项训练得到了有效强化。下次课将开始常微分方程新章节的学习。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、复习回顾（5分钟）

【教师】同学们，从第8课到第13课，我们系统学习了定积分的全部核心内容。今天这节课是定积分章节的复习小结，我们将回顾全部内容，帮助大家建立完整的知识框架，重点训练计算能力和应用能力。

知识体系回顾：

定积分概念（第8课）：定积分是Riemann和的极限——将区间[a,b]分割、取点、求和、取极限。基本性质包括线性性、区间可加性、保号性和估值定理。

微积分基本定理（第9课）：积分上限函数的导数等于被积函数；Newton-Leibniz公式将定积分转化为原函数在上下限的差值，是定积分计算的核心工具。

计算方法（第10-11课）：定积分的换元积分法（需同步换限）和分部积分法（需代入上下限），以及利用奇偶性、周期性简化计算的技巧。

几何应用（第12课）：用定积分计算平面面积（直角坐标/极坐标）和旋转体体积（圆盘法/壳法）。

广义积分（第13课）：无穷限积分和瑕积分的定义、计算和敛散性判别。

二、定积分概念与微积分基本定理复习（10分钟）

1. 定积分的定义：

$\int_{a}^{b} f(x)dx = {lim}_{λ\to0} \sum_{i=1}^{n} f(ξ_{i}) Δ x_{i}$

其中 $λ = max (Δ x_{1}, Δ x_{2},..., Δ x_{n})$ 。

定积分是一个确定的数值（不含任意常数），与积分变量的字母无关。

2. 基本性质回顾：

线性性： $\int_{a}^{b} [α f(x)+ β g(x)]dx= α \int_{a}^{b} f(x)dx+ β \int_{a}^{b} g(x)dx$

区间可加性： $\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx+ \int_{c}^{b} f(x)dx$

保号性：若在[a,b]上 f(x)≥0，则 $\int_{a}^{b} f(x)dx ≥ 0$ 。

3. 微积分基本定理（核心桥梁）：

积分上限函数的导数公式：

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t)dt =f(x)$

Newton-Leibniz公式：

$\int_{a}^{b} f(x)dx =F(b)-F(a)$

其中 F(x) 是 f(x) 的任意一个原函数。这个公式是定积分计算的基础。

三、定积分计算方法复习（10分钟）

方法一：直接用N-L公式

找到被积函数的原函数F(x)，然后计算 F(b)-F(a)。

方法二：定积分换元法

关键操作：换元的同时必须改变积分上下限！

设 x=g(t)，则 dx=g'(t)dt。当 x=a 时 t= $α$ ，当 x=b 时 t= $β$ ：

$\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{α}^{β} {f(g(t))g}^{′} (t)dt$

方法三：定积分分部积分法

$\int_{a}^{b} udv {=uv|}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} vdu$

注意：uv|的上下限不能遗漏，每一项都要代入a和b。

技巧：利用奇偶性简化

在对称区间[-a, a]上：

（1）若 f(x) 为奇函数，则 ∫[-a,a] f(x)dx = 0；

（2）若 f(x) 为偶函数，则 $\int_{-a}^{a} f(x)dx =2 \int_{0}^{a} f(x)dx$ 。

四、计算方法综合例题（10分钟）

例1（N-L公式）

求 $\int_{0}^{1} {(3x}^{2} +2x-1)dx$ 。

解找原函数： ${F(x)=x}^{3} {+x}^{2} -x$ 。

$\int_{0}^{1} {(3x}^{2} +2x-1)dx {=(x}^{3} {+x}^{2} {-x)|}_{0}^{1} =(1+1-1)-(0)=1$

例2（换元法）

求 $\int_{0}^{1} \sqrt{{1-x}^{2}} dx$ 。

解令 x=sint，则 dx=costdt。

换限：x=0时 t=0，x=1时 t= $\frac{π}{2}$ 。

$\int_{0}^{1} \sqrt{{1-x}^{2}} dx = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1- {sin}^{2} t} ⋅ cos tdt = \int_{0}^{\frac{π}{2}} {cos}^{2} tdt$

利用降幂公式： ${cos}^{2} t= \frac{1+ cos 2t}{2}$ 。

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1+ cos 2t)dt = \frac{1}{2} (t+ \frac{sin 2t}{2} {)|}_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{1}{2} ⋅ \frac{π}{2} = \frac{π}{4}$

几何验证：该积分等于单位圆在第一象限的面积，即 $\frac{π}{4}$ ✓

例3（分部积分法）

求 $\int_{0}^{1} {xe}^{x} dx$ 。

解令 u=x，dv=e^xdx，则 du=dx，v=e^x。

$\int_{0}^{1} {xe}^{x} dx {=xe}^{x} {|_{0}}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} dx$

$=(1 ⋅ e^{1} -0 ⋅ e^{0} {)-(e}^{x} {|_{0}}^{1})=e-(e-1)=1$

例4（利用奇偶性）

求 $\int_{-1}^{1} {(x}^{3} {+x}^{2} +x+1)dx$ 。

解将被积函数按奇偶性拆分：

奇函数部分 $x^{3} +x$ （在[-1,1]上积分为0），偶函数部分 $x^{2} +1$ 。

$\int_{-1}^{1} {(x}^{3} {+x}^{2} +x+1)dx =0+2 \int_{0}^{1} {(x}^{2} +1)dx =2(\frac{x^{3}}{3} {+x)|}_{0}^{1} =2 ⋅ \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

以知识结构总图开篇，帮助学生建立定积分知识体系的整体认知，明确复习范围和重点。

按照“概念→基本定理→计算方法”的逻辑顺序系统回顾，帮助学生理清知识脉络。

计算方法对比表（fig02）直观呈现四种方法的核心公式、关键步骤和注意事项，便于学生记忆。

例1-例4分别覆盖四种计算方法，每道例题先进行方法判别再求解，强化“分析题型→选择方法→规范计算”的解题习惯。

例2的换元法重点展示“换元-换限”的配对操作，并用几何意义验证结果。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做两道练习题，检验定积分计算能力。

练习1：求 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin x cos xdx$ 。

解方法一（凑微分）：令 u=sinx，du=cosxdx。换限：x=0时 u=0，x= $\frac{π}{2}$ 时 u=1。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin x cos xdx = \int_{0}^{1} udu = \frac{u^{2}}{2} {|_{0}}^{1} = \frac{1}{2}$

方法二（二倍角）： $sin x cos x= \frac{sin 2x}{2}$ ，

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin 2xdx = \frac{1}{2} (- \frac{cos 2x}{2} {)|}_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{1}{2} ⋅ \frac{-(-1)+1}{2} = \frac{1}{2}$

练习2：求 $\int_{1}^{e} x ln xdx$ 。

解分部积分法。令 u=lnx，dv=xdx，则 $du= \frac{1}{x} dx$ ， $v= \frac{x^{2}}{2}$ 。

$\int_{1}^{e} x ln xdx = \frac{x^{2}}{2} ln {x|}_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{2} ⋅ \frac{1}{x} dx$

$=(\frac{e^{2}}{2} ⋅ 1- \frac{1}{2} ⋅ 0)- \frac{1}{2} \int_{1}^{e} xdx$

$= \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} ⋅ \frac{x^{2}}{2} {|_{1}}^{e} = \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} ⋅ \frac{e^{2} -1}{2} = \frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2} -1}{4} = \frac{e^{2} +1}{4}$

【教师】讲评要点：（1）练习1展示了同一道题可以用不同方法求解——凑微分法和二倍角公式，殊途同归。（2）练习2是分部积分法的典型应用，注意 uv| 代入上下限时不要遗漏。

练习1训练定积分换元法的基本操作，同时展示一题多解的思路，培养灵活思维。

练习2训练分部积分法在定积分中的运用，重点检验代入上下限的正确性。

通过讲评强调方法选择的灵活性和计算的规范性。

第二节课

知识讲解

（30 min）

五、定积分几何应用复习（12分钟）

1. 面积计算

直角坐标下两曲线围成区域的面积：

$S= \int_{a}^{b} |f(x)-g(x)|dx$

实际计算时，先确定谁在上谁在下（画图！），然后用“上减下”。

极坐标下的面积：

$S= \frac{1}{2} \int_{α}^{β} r^{2} (θ)d θ$

2. 旋转体体积

绕x轴旋转（圆盘法）：

$V_{x} = π \int_{a}^{b} f^{2} (x)dx$

绕y轴旋转（壳法）：

$V_{y} =2 π \int_{a}^{b} xf(x)dx$

例5（面积计算）

求由 ${y=x}^{2}$ 和 $y=x$ 围成区域的面积。

解先求交点： $x^{2} =x$ ，得 x=0 和 x=1。在[0,1]上 x≥x²（上减下）。

$S= \int_{0}^{1} {(x-x}^{2})dx =(\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} {)|}_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

例6（旋转体体积）

求由 $y= \sqrt{x}$ ，y=0，x=1 围成区域绕x轴旋转所得旋转体的体积。

解绕x轴旋转，用圆盘法：

$V_{x} = π \int_{0}^{1} (\sqrt{x})^{2} dx = π \int_{0}^{1} xdx = π ⋅ \frac{x^{2}}{2} {|_{0}}^{1} = \frac{π}{2}$

六、广义积分复习（8分钟）

1. 无穷限积分

$\int_{a}^{+\infty} f(x)dx = {lim}_{b\to+∞} \int_{a}^{b} f(x)dx$

极限存在（有限值）则收敛，否则发散。

2. 瑕积分

若 f(x) 在 x=a 处无界（瑕点），则：

$\int_{a}^{b} f(x)dx = {lim}_{ε\to0^{+}} \int_{a+ε}^{b} f(x)dx$

例7（无穷限积分）

判断 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} dx$ 的敛散性并求值。

解

$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} dx = {lim}_{b\to+∞} \int_{1}^{b} x^{-2} dx = {lim}_{b\to+∞} (- \frac{1}{x} {)|}_{1}^{b}$

$= {lim}_{b\to+∞} (- \frac{1}{b} +1)=1$

极限存在，故该积分收敛，值为1。

例8（瑕积分）

判断 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ 的敛散性并求值。

分析：x=0 是瑕点（被积函数在x=0处无界）。

解

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = {lim}_{ε\to0^{+}} \int_{ε}^{1} x^{-\frac{1}{2}} dx = {lim}_{ε\to0^{+}} 2 \sqrt{x} {|_{ε}}^{1}$

$= {lim}_{ε\to0^{+}} (2-2 \sqrt{ε})=2$

极限存在，故该瑕积分收敛，值为2。

七、常见错误提醒（5分钟）

易错点1：换元后忘记改变积分上下限

定积分换元法与不定积分换元法的最大区别就在于：定积分换元后必须同步改变积分上下限。换限后不需要回代（结果直接是数值），这反而比不定积分更简单。

易错点2：面积计算未取绝对值

如果在某段区间上 f(x)<g(x)（即“上减下”为负），积分值为负数。而面积恒正，必须分段讨论，取绝对值后再相加。

易错点3：广义积分直接用N-L公式

广义积分必须先转化为极限形式，再判断极限是否存在。直接代入上下限可能得出错误结果（如忽略了瑕点导致的发散）。

易错点4：分部积分遗漏代入上下限

公式 $\int_{a}^{b} udv {=uv|}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} vdu$ 中，uv| 必须代入上下限，不能遗漏。

几何应用复习部分通过公式汇总图系统呈现面积和体积的计算公式，帮助学生建立清晰的分类体系。

例5和例6分别覆盖面积计算和旋转体体积，重点展示“先画图→确定积分区间→建立被积函数”的解题流程。

广义积分部分重点强调“先极限定义→再判断敛散”的正确操作流程。

例7和例8分别对应无穷限积分和瑕积分两种类型，展示完整的极限计算过程。

常见错误提醒帮助学生在后续练习和考试中避免典型错误，建立检查习惯。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做两道综合练习，覆盖几何应用和广义积分。

练习3：求由 ${y=x}^{2}$ 和 $y=2x$ 围成区域绕x轴旋转所得旋转体的体积。

解先求交点： $x^{2} =2x$ ，得 x=0 和 x=2。在[0,2]上 $2x ≥ x^{2}$ 。

绕x轴旋转，两曲线围成区域的体积：

$V_{x} = π \int_{0}^{2} {[(2x)}^{2} {-(x}^{2})^{2}]dx= π \int_{0}^{2} {(4x}^{2} {-x}^{4})dx$

$= π (\frac{{4x}^{3}}{3} - \frac{x^{5}}{5} {)|}_{0}^{2} = π (\frac{32}{3} - \frac{32}{5})= π ⋅ \frac{64}{15} = \frac{64 π}{15}$

练习4：判断 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ 的敛散性。

解

$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = {lim}_{b\to+∞} \int_{1}^{b} x^{-\frac{1}{2}} dx = {lim}_{b\to+∞} 2 \sqrt{x} {|_{1}}^{b}$

$= {lim}_{b\to+∞} (2 \sqrt{b} -2)=+ ∞$

极限不存在（趋向无穷），故该积分发散。

对比： $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} dx$ ，当 p>1 时收敛，当 p≤1 时发散。

本题 p=1/2<1，故发散。例7中 p=2>1，故收敛。

【教师】讲评要点：（1）练习3需要注意两曲线围成区域绕x轴旋转时，体积公式用“外层平方减内层平方”，而不是“差的平方”。（2）练习4与例7对比，体现了p积分判别法的核心规则：p>1收敛，p≤1发散。

练习3训练两曲线围成区域绕轴旋转体积的计算，重点检验学生是否正确使用“外²-内²”公式。

练习4训练无穷限积分的敛散性判别，并与例7形成对比，巩固p积分判别法的记忆。

通过讲评强调体积公式和敛散性判别中的常见易错点。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心要点：

一、定积分知识体系——六大模块：

(1) 概念与性质（第8课）：Riemann和的极限定义，线性性、区间可加性、保号性；

(2) 微积分基本定理（第9课）：积分上限函数导数 $[\int_{a}^{x} f(t)dt]^{′} =f(x)$ ，N-L公式 $\int_{a}^{b} f(x)dx =F(b)-F(a)$ ；

(3) 换元积分法（第10课）：换元时必须同步换限，不需要回代；

(4) 分部积分法（第11课）：uv| 需代入上下限，选u选dv遵循“反对幂指三”口诀；

(5) 几何应用（第12课）：面积（上减下）、旋转体体积（圆盘法/壳法）；

(6) 广义积分（第13课）：无穷限积分和瑕积分，核心思想“极限+定积分”。

二、核心解题策略：

分析题型 → 选择方法 → 规范计算 → 验证结果

关键检查点：换元是否换限？分部积分是否代限？面积是否为正？广义积分是否用了极限定义？

三、作业布置：

综合习题8题，覆盖所有知识模块：N-L公式直接计算2题、换元积分法1题、分部积分法1题、面积计算1题、旋转体体积1题、广义积分2题（无穷限和瑕积分各1题）。

四、预告：

下次课开始新章节——常微分方程。我们将学习微分方程的基本概念、阶、解、通解与特解，以及第一种求解方法：可分离变量方程。积分运算是求解微分方程的基本工具，今天复习的所有积分方法都将在微分方程中频繁使用，请大家务必牢固掌握。

请同学们预习教材中微分方程的基本概念部分，思考：什么是微分方程？微分方程中的“解”与代数方程中的“解”有什么区别？

以知识衔接图为核心，从六大模块系统总结定积分的完整知识体系。

精炼归纳每个模块的核心公式和注意事项，便于学生记忆和复习。

强调解题策略的核心流程和四个关键检查点。

分类布置综合作业，覆盖全部知识模块，确保练习的全面性。

预告下次课开始常微分方程新章节，强调积分学与微分方程的密切联系，帮助学生做好知识衔接的准备。

教学反思

本节课是定积分部分的复习小结课（讲练课），以知识梳理和综合练习为主。教学效果分析如下：

（1）知识全景回顾环节：通过知识结构总图展示定积分的完整知识体系，学生对从概念到应用的整体脉络有了更清晰的认识。将六个课时的内容按"概念→基本定理→计算方法→几何应用→广义积分"的逻辑主线串联，帮助学生理清了知识之间的内在联系。

（2）计算方法复习环节：计算方法对比表的横向对比教学效果良好。例1-例4分别覆盖N-L公式、换元法、分部积分法和利用奇偶性四种方法，学生完成度较高。其中N-L公式的直接运用（例1）完成率约90%，换元法（例2）约80%，分部积分法（例3）约75%，利用奇偶性（例4）约85%。

（3）课堂测验（第一节）：练习1展示了一题两解的思路，帮助学生认识到不同方法可以殊途同归，增强了灵活运用的意识。练习2的分部积分法运用，约70%的学生能正确完成，主要失误在于代入上下限时计算出错。

（4）几何应用复习环节：通过公式汇总图系统呈现面积和体积的计算公式，帮助学生建立清晰的分类体系。例5的面积计算完成率约85%，例6的旋转体体积约75%。主要困难在于体积公式的选择——部分学生混淆圆盘法和壳法的适用场景。

（5）广义积分复习环节：例7和例8分别展示无穷限积分和瑕积分的完整计算过程。约70%的学生能正确完成例7，例8的瑕点识别仍有约25%的学生存在困难。通过p积分判别法的对比总结，学生对敛散性判别的认识更加清晰。

（6）课堂测验（第二节）：练习3的旋转体体积约65%的学生正确完成，主要错误是将"外²-内²"误写为"(外-内)²"。练习4与例7的对比有效帮助学生巩固了p积分判别法。

（7）整体反思：本节课内容量较大，涵盖了定积分六个模块的完整复习。讲练结合的节奏把握总体合理，第一节课35分钟完成概念、基本定理和计算方法的系统复习，第二节课30分钟完成几何应用、广义积分的复习和易错点讲解，时间安排紧凑但可控。常见错误提醒图受到学生好评，帮助学生系统梳理了易错点。下节课将进入常微分方程新章节，需要提醒学生做好积分知识的巩固工作，因为微分方程的求解高度依赖积分运算能力。