常微分方程基本概念1

教学项目

常微分方程基本概念(1)——微分方程的基本概念与可分离变量的微分方程

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过前十四个课时的系统学习，学生已经完成了不定积分（求原函数）和定积分（概念、计算、应用、广义积分）的全部内容，具备了扎实的积分运算能力和一定的数学建模意识。

从第14课（定积分复习小结）的测验和作业反馈来看：（1）学生能够熟练运用牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法计算定积分；（2）学生掌握了定积分的几何应用（面积、旋转体体积、弧长等）；（3）学生对广义积分的收敛性判别有了基本认识。

本节课开始进入常微分方程的学习，这是微积分课程的最后一个重要板块。微分方程将前面学习的导数与积分知识结合起来，用于解决更加广泛的实际问题——从物理学中的运动规律、衰变规律，到生物学中的种群增长模型，都需要用微分方程来描述。本课时重点讲解微分方程的基本概念（方程、阶、解、通解、特解、初值问题）以及最简单的一类微分方程——可分离变量的微分方程的求解方法。

根据教学计划，本课时为第29-30学时（累计30学时），下一课将学习齐次方程。

教学目标

知识目标：

（1）理解微分方程的定义，能够区分常微分方程与偏微分方程；

（2）掌握微分方程的阶的概念，能够判断给定方程的阶数；

（3）理解微分方程的解、通解、特解的概念，能够验证给定函数是否为某微分方程的解（如验证 ${y=C}_{1} cos {x+C}_{2} sin x$ 是 y''+y=0 的通解）；

（4）理解初始条件和初值问题的概念，能够利用初始条件从通解中确定特解；

（5）掌握可分离变量的微分方程 $\frac{dy}{dx} =f(x)g(y)$ 的解法，能够熟练进行分离变量、两端积分的操作；

（6）能够运用可分离变量方程求解简单的实际问题（放射性衰变、冷却问题、人口增长模型）。

能力目标：

（1）培养从实际问题中建立微分方程模型的能力（从问题描述到数学方程）；

（2）培养判断微分方程类型并选择相应解法的能力；

（3）培养通过分离变量、积分求解微分方程的运算能力。

素质目标：

（1）通过从积分到微分方程的过渡，体会数学知识的层层递进与内在逻辑；

（2）通过实际应用问题（衰变、冷却、增长），感受微分方程在科学中的广泛应用价值；

（3）通过可分离变量方程的解法，培养化归思想——将微分方程转化为积分问题。

教学重点

1. 微分方程的基本概念微分方程、常微分方程、阶、解、通解、特解、初始条件、初值问题等核心概念的准确理解。学生需要清楚这些概念之间的层次关系：微分方程→解→通解（含独立常数）→初始条件→特解。

2. 验证微分方程的解能够将给定函数代入微分方程，验证其是否为解。这是理解解的概念的重要手段，也是后续检验计算结果正确性的基本功。

3. 可分离变量的微分方程的识别与求解识别 $\frac{dy}{dx} =f(x)g(y)$ 形式的方程，掌握「分离变量→两端积分→求通解」的标准解法流程。

4. 可分离变量方程的实际应用能够将放射性衰变、牛顿冷却、人口增长等实际问题建立为可分离变量的微分方程，并求解得到物理量随时间的变化规律。

教学难点

及应对

难点：

1. 通解中独立常数个数与方程阶数的关系——学生容易混淆「含有n个独立任意常数」与「含有n个常数」的区别，如 y=Cx+C² 虽含两个 C 但只有一个独立常数；

2. 可分离变量方程的识别——部分方程需要经过变形才能写成可分离变量的形式，学生初学时可能不知道如何变形，也可能将不可分离的方程误判为可分离；

3. 分离变量时对 g(y)=0 的特殊情况的处理——分离变量需要除以 g(y)，必须注意 g(y)=0 可能给出的奇解，初学者容易忽略这一点；

4. 从实际问题到微分方程的建模过程——学生不习惯将文字描述的变化规律翻译成含导数的方程。

应对策略：

1. 通过多个具体例子说明「独立常数」的含义，强调通解中独立常数的个数等于方程的阶数；

2. 提供可分离变量方程的典型形式，通过对比练习帮助学生识别；

3. 在每道求解题中明确提示学生检查 g(y)=0 是否给出额外的解；

4. 将建模过程分步讲解：（a）确定未知函数和自变量；（b）找出变化率关系；（c）写成微分方程。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：知识衔接图、基本概念关系图、可分离变量解法步骤图、指数增长/衰变曲线图、牛顿冷却曲线图、知识总结图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

讲授法：系统讲解微分方程的基本概念和可分离变量方程的解法

问题驱动法：从实际问题（曲线斜率问题、自由落体问题）出发，自然引出微分方程的概念

类比法：将可分离变量方程的求解类比为「积分的反过程」，降低理解难度

图示法：利用概念关系图和解法流程图帮助学生建立知识结构

练习法：讲练结合，每讲完一个知识模块立即进行课堂练习

教学反思

本节课是常微分方程的开篇课，从实际问题引入微分方程的概念，进而系统讲解基本术语，最后引入可分离变量方程的解法。从课堂表现来看，学生对微分方程的概念通过两个引入问题建立了较好的直觉，能够理解「含有未知函数导数的方程」这一核心特征。可分离变量方程的解法由于本质上是积分运算，学生的接受度较高。实际应用部分（衰变、冷却、增长模型）有效激发了学生的学习兴趣，让学生看到了微分方程在科学中的广泛应用。下节课将学习齐次方程，进一步拓展可求解的方程类型。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、引入——从实际问题引出微分方程（10分钟）

【教师】同学们，我们前面学习了积分——求原函数和计算定积分的方法。今天开始，我们进入一个全新的、也是微积分课程最后一个重要的板块——常微分方程。微分方程是数学与科学技术联系最紧密的分支之一。

问题1：曲线斜率问题

问题已知一条曲线通过坐标平面上的某点，且曲线上任意一点 (x, y) 处的切线斜率等于该点横坐标的 2 倍。求该曲线方程。

【教师】切线斜率就是导数 dy/dx。「斜率等于横坐标的2倍」，用数学语言来表达就是：

$\frac{dy}{dx} =2x$

这个方程含有未知函数 y 的导数 dy/dx，就是一个微分方程！对两边积分：

$y= \int_{}^{} 2x dx {=x}^{2} +C$

这就是满足条件的全部曲线——一族抛物线。常数 C 取不同值，得到不同的曲线。

问题2：自由落体问题

问题一质点从高处自由下落（忽略空气阻力），初始速度为 $v_{0}$ ，求位移 s 与时间 t 的关系。

【教师】自由落体的加速度为重力加速度 g。加速度就是速度对时间的导数：

$\frac{dv}{dt} =g$

积分得 ${v=gt+C}_{1}$ 。由初始条件 ${v(0)=v}_{0}$ 得 $C_{1} {=v}_{0}$ ，即 ${v=v}_{0} +gt$ 。

又 $v= \frac{ds}{dt}$ ，再积分得 ${s=v}_{0} t+ \frac{1}{2} {gt}^{2} {+C}_{2}$ 。若 s(0)=0，则 $C_{2} =0$ ，最终 ${s=v}_{0} t+ \frac{1}{2} {gt}^{2}$ 。

小结上面两个问题都归结为求解一个含有未知函数导数的方程。这类方程就叫做微分方程。

二、微分方程的基本概念（15分钟）

定义1（微分方程）含有未知函数及其导数（或微分）的等式，称为微分方程。

定义2（常微分方程）如果方程中的未知函数是一元函数（即只有一个自变量），则称为常微分方程。

【教师】我们这门课只讨论常微分方程。与之对应的是偏微分方程（未知函数是多元函数），那属于更高级的课程。

定义3（阶）微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶。

例如：

$\frac{dy}{dx} =2x$ —— 一阶方程（最高阶导数为 y'）；

$y^{′′} +y=0$ —— 二阶方程（最高阶导数为 y''）；

$y^{′′′} {+2y}^{′′} {-y}^{′} +3y=0$ —— 三阶方程。

定义4（解）如果将函数 y=φ(x) 代入微分方程后，能使方程成为恒等式，则称 y=φ(x) 为该方程的解。

定义5（通解）含有与方程阶数相同个数的独立任意常数的解，称为微分方程的通解。

定义6（特解）确定了通解中全部任意常数的值之后所得到的解，称为特解。

定义7（初始条件与初值问题）用来确定通解中任意常数值的条件称为初始条件。微分方程加上初始条件，合在一起称为初值问题。

例1 验证 ${y=C}_{1} cos {x+C}_{2} sin x$ 是 $y^{′′} +y=0$ 的通解。

解先求导：

$y^{′} {=-C}_{1} sin {x+C}_{2} cos x$

$y^{′′} {=-C}_{1} cos {x-C}_{2} sin x$

代入方程左端：

$y^{′′} {+y=(-C}_{1} cos {x-C}_{2} sin {x)+(C}_{1} cos {x+C}_{2} sin x)=0$

方程成为恒等式，所以 ${y=C}_{1} cos {x+C}_{2} sin x$ 是 y''+y=0 的解。

由于这是二阶方程，而解中含有两个独立任意常数 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ ，所以它是通解。

例2 求 $y^{′′} +y=0$ 满足初始条件 $y(0)=1$ ， $y^{′} (0)=0$ 的特解。

解通解为 ${y=C}_{1} cos {x+C}_{2} sin x$ ，导数为 $y^{′} {=-C}_{1} sin {x+C}_{2} cos x$ 。

代入初始条件 y(0)=1： $C_{1} ⋅ cos {0+C}_{2} ⋅ sin {0=C}_{1} =1$ 。

代入 y'(0)=0： ${-C}_{1} ⋅ sin {0+C}_{2} ⋅ cos {0=C}_{2} =0$ 。

因此特解为 $y= cos x$ 。

三、可分离变量的微分方程（10分钟）

定义形如

$\frac{dy}{dx} =f(x)g(y)$

的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程。其特点是：右端可以分解为「只含 x 的因子」乘以「只含 y 的因子」。

也可写成 $M(x)dx+N(y)dy=0$ 的形式（含 x 的项归一边，含 y 的项归另一边）。

解法步骤：

第一步（分离变量）：将含 y 的因子与 dy 放在一边，含 x 的因子与 dx 放在另一边：

$\frac{dy}{g(y)} =f(x)dx$

第二步（两端积分）：

$\int_{}^{} \frac{dy}{g(y)} = \int_{}^{} f(x)dx$

第三步：求出积分后，整理得到通解（可能是隐式解）。

例3 求 $\frac{dy}{dx} =2xy$ 的通解。

解分离变量（设 y≠0）：

$\frac{dy}{y} =2xdx$

两端积分：

$\int_{}^{} \frac{dy}{y} = \int_{}^{} 2xdx$

$ln {|y|=x}^{2} {+C}_{1}$

化简： ${|y|=e}^{x^{2}{+C}_{1}} {=e}^{C_{1}} ⋅ e^{x^{2}}$ 。

令 $C= ± e^{C_{1}}$ （C 为任意非零常数），得 ${y=Ce}^{x^{2}}$ 。

注意：当 y=0 时，它也满足原方程（代入验证：dy/dx=0，2xy=0）。而 y=0 恰好对应 C=0。

因此通解为 ${y=Ce}^{x^{2}}$ （C 为任意常数）。

从两个贴近实际的问题出发（曲线斜率、自由落体），自然引出微分方程的概念，使抽象概念有直观背景。

系统讲解微分方程的七个基本概念（方程、常微分方程、阶、解、通解、特解、初值问题），建立完整的术语体系。

通过例1的验证过程，帮助学生深入理解「解」和「通解」的含义——代入后成为恒等式。

例2展示利用初始条件从通解确定特解的完整流程。

引入可分离变量方程的定义和三步解法，通过例3展示标准的求解过程。

特别提醒 g(y)=0 时可能遗漏解的情况，培养学生的严谨性。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做练习题，巩固基本概念和可分离变量方程的求解。

练习1：求 $\frac{dy}{dx} {=e}^{2x-y}$ 的通解。

解首先将右端分解为 x 与 y 的因子之积：

$e^{2x-y} {=e}^{2x} ⋅ e^{-y}$

这是可分离变量方程， ${f(x)=e}^{2x}$ ， ${g(y)=e}^{-y}$ 。分离变量：

$e^{y} {dy=e}^{2x} dx$

两端积分：

$\int_{}^{} e^{y} dy = \int_{}^{} e^{2x} dx$

$e^{y} = \frac{1}{2} e^{2x} +C$

通解为 $e^{y} = \frac{1}{2} e^{2x} +C$ （隐式解），或 $y= ln (\frac{1}{2} e^{2x} +C)$ 。

练习2：指出 ${xy}^{′} {+y}^{2} =0$ 的阶数，并求通解。

解最高阶导数为 y'（一阶），所以这是一阶方程。

改写为 ${xy}^{′} {=-y}^{2}$ ，即 $\frac{dy}{dx} =- \frac{y^{2}}{x}$ 。分离变量（设 y≠0，x≠0）：

$\frac{dy}{y^{2}} =- \frac{dx}{x}$

两端积分：

$\int_{}^{} y^{-2} dy =- \int_{}^{} \frac{dx}{x}$

$- \frac{1}{y} =- ln {|x|+C}_{1}$

整理得 $\frac{1}{y} = ln |x|+C$ （C 为任意常数），即通解为

$y= \frac{1}{ln |x|+C}$ 。

另外 y=0 也是方程的解。

【教师】讲评要点：练习1的关键是识别出 e^{2x-y} 可以写成 e^{2x}·e^{-y} 的乘积形式。练习2需要先改写方程再分离变量，同时不要遗漏 y=0 这个解。

练习1训练学生将指数函数拆分为可分离形式的能力。

练习2综合考查阶数判断和可分离变量方程的求解，同时训练对特殊解的关注。

讲评中强调识别可分离变量形式和特殊解检验两个关键要点。

第二节课

知识讲解

（30 min）

四、可分离变量方程的更多例题（15分钟）

【教师】下面通过更多例题来熟练可分离变量方程的求解技巧。

例4 求 $(1+y)dx-(1+x)dy=0$ 的通解。

解分离变量（设 1+x≠0，1+y≠0）：

$\frac{dx}{1+x} = \frac{dy}{1+y}$

两端积分：

$\int_{}^{} \frac{dx}{1+x} = \int_{}^{} \frac{dy}{1+y}$

$ln |1+x|= ln {|1+y|+C}_{1}$

化简： $ln |1+x|- ln {|1+y|=C}_{1}$ ，即 $ln \frac{|1+x|}{|1+y|} {=C}_{1}$ 。

取指数得 $\frac{1+x}{1+y} = ± e^{C_{1}}$ 。令 $C= ± e^{C_{1}}$ （C≠0），得

通解为 $1+x=C(1+y)$ （C 为任意非零常数）。

注：当 1+y=0 即 y=-1 时，代入原方程得 0·dx-0·dy=0，也成立。可视为 C→∞ 的极端情况。

例5 判断 $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} (1+xy)$ 是否为可分离变量方程。

解展开右端：

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} {+xy}^{2}$

右端不能写成 f(x)·g(y) 的形式（因为两项中 x 和 y 的搭配不同），因此这不是可分离变量方程。

提示并非所有一阶方程都能分离变量。对于不可分离的方程，需要其他方法（如齐次方程变换、一阶线性方程公式等），这些将在后续课程中学习。

例6 求初值问题 $\frac{dy}{dx} =- \frac{y}{x}$ ， $y(1)=2$ 的特解。

解分离变量（y≠0，x≠0）：

$\frac{dy}{y} =- \frac{dx}{x}$

两端积分：

$ln |y|=- ln {|x|+C}_{1}$

即 $ln |y|+ ln {|x|=C}_{1}$ ， $ln {|xy|=C}_{1}$ ， $xy=C$ （C 为任意常数）。

这是通解。代入初始条件 y(1)=2： $1 × 2=C$ ，得 C=2。

特解为 $y= \frac{2}{x}$ 。

五、实际应用问题（15分钟）

【教师】可分离变量方程在自然科学中有广泛的应用。下面通过三个经典模型来展示。

例7 放射性衰变问题

问题放射性元素每时刻的衰变速率与当时的含量 N 成正比。设初始含量为 $N_{0}$ ，求 N 关于时间 t 的表达式。

建模设比例系数为 λ（λ>0），「衰变速率与含量成正比」意味着

$\frac{dN}{dt} =- λ N$

（负号表示衰变，N 在减少。）初始条件 N(0)= $N_{0}$ 。

求解分离变量： $\frac{dN}{N} =- λ dt$ 。两端积分： $ln N=- λ {t+C}_{1}$ （此处 N>0），即 ${N=Ce}^{-λt}$ 。

代入 N(0)= $N_{0}$ ： ${C=N}_{0}$ 。

结果 ${N=N}_{0} e^{-λt}$ （指数衰变规律）。

【教师】这就是著名的放射性衰变公式。半衰期 T 就是 N 减少到 N₀/2 所需的时间，由此可得 T=ln2/λ。

例8 牛顿冷却定律

问题将温度为 $T_{i}$ 的物体放入温度恒为 $T_{0}$ 的环境中。物体温度变化速率与温差成正比。求温度 T(t)。

建模设比例系数为 k（k>0）：

$\frac{dT}{dt} {=-k(T-T}_{0})$

初始条件 ${T(0)=T}_{i}$ 。

求解令 u=T- $T_{0}$ ，则 du/dt=-ku。分离变量后积分： ${u=Ce}^{-kt}$ 。

由 u(0)= $T_{i} {-T}_{0}$ ，得 ${C=T}_{i} {-T}_{0}$ 。

结果 ${T=T}_{0} {+(T}_{i} {-T}_{0} {)e}^{-kt}$ 。

【教师】当 t→∞ 时，T→T₀，即物体温度最终趋近于环境温度，这与生活经验完全吻合。

例9 人口增长模型（马尔萨斯模型）

问题设人口增长率与当前人口数 P 成正比（即单位时间内的增长量与 P 成正比），比例系数为 r（r>0）。设初始人口为 $P_{0}$ ，求 P(t)。

建模

$\frac{dP}{dt} =rP$ ， ${P(0)=P}_{0}$ 。

求解这与例7结构相同（将 -λ 换成 r），直接写出结果：

结果 ${P=P}_{0} e^{rt}$ （指数增长模型）。

【教师】马尔萨斯模型预测人口按指数增长，在短期内与实际数据吻合较好，但长期来看由于资源限制不可能无限增长。更精确的模型（如逻辑斯蒂模型）需要更高级的微分方程，有兴趣的同学可以课后了解。

三个模型的比较：

衰变： $\frac{dN}{dt} =- λ N$ → ${N=N}_{0} e^{-λt}$ （指数衰减）；

冷却： $\frac{dT}{dt} {=-k(T-T}_{0})$ → ${T=T}_{0} {+(T}_{i} {-T}_{0} {)e}^{-kt}$ （趋近环境温度）；

增长： $\frac{dP}{dt} =rP$ → ${P=P}_{0} e^{rt}$ （指数增长）。

【教师】这三个模型的共同特点是：变化速率与当前值（或当前值与常数之差）成正比，都是可分离变量的方程，解都是指数函数形式。

例4展示分离变量求解的标准流程，结果以隐式解形式给出，拓展学生对「解」的认知。

例5通过反例说明并非所有方程都能分离变量，培养学生的判断能力。

例6展示初值问题的完整求解流程：分离变量→积分得通解→代入初始条件→确定常数→写出特解。

例7-例9三个经典应用模型（衰变、冷却、增长）展示了可分离变量方程在自然科学中的广泛应用。

通过三个模型的对比，帮助学生认识这类方程的共同数学结构。

应用模型的讲解遵循「建模→求解→解释」的三步流程，培养数学建模能力。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做两道练习题，进一步巩固可分离变量方程的求解和应用。

练习3：求 $xdy+ydx=0$ 的通解。

解移项得 $xdy=-ydx$ ，分离变量（x≠0，y≠0）：

$\frac{dy}{y} =- \frac{dx}{x}$

两端积分：

$ln |y|=- ln {|x|+C}_{1}$

$ln {|xy|=C}_{1}$

$xy=C$

通解为 $xy=C$ （C 为任意常数）。

提示注意到 xdy+ydx=d(xy)，所以 d(xy)=0 直接得 xy=C。这是全微分的视角。

练习4：某细菌培养，其增长速率与现有数量 N 成正比（比例系数为 k>0）。已知初始数量为 $N_{0}$ ，经过 2 小时后数量翻倍。求 t 小时后的数量。

解建立方程： $\frac{dN}{dt} =kN$ ， ${N(0)=N}_{0}$ 。

由前面的结论，通解为 ${N=N}_{0} e^{kt}$ 。

利用条件「2小时后数量翻倍」： ${N(2)=2N}_{0}$ ，代入得

$N_{0} e^{2k} {=2N}_{0}$

$e^{2k} =2$

$k= \frac{ln 2}{2}$

因此 t 小时后的数量为：

${N=N}_{0} e^{\frac{ln 2}{2}t} {=N}_{0} ⋅ 2^{t/2}$ 。

【教师】讲评要点：练习3与例6结构相同，也可以从全微分的角度直接得到。练习4是指数增长模型的典型应用，关键是利用额外条件确定比例系数 k。

练习3训练基本的分离变量操作，同时引入全微分的视角拓展思路。

练习4训练从实际问题建立微分方程并求解的完整流程，强调利用额外条件确定参数。

讲评中帮助学生总结可分离变量方程求解的一般步骤。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心内容：

一、微分方程的基本概念：

（1）微分方程——含有未知函数及其导数的等式；

（2）阶——方程中最高阶导数的阶数；

（3）解——代入后使方程成为恒等式的函数；

（4）通解——含有与阶数相同个数独立任意常数的解；

（5）特解——确定了常数值的解；

（6）初值问题——微分方程 + 初始条件。

二、可分离变量的微分方程：

形式 $\frac{dy}{dx} =f(x)g(y)$ ，或 $M(x)dx+N(y)dy=0$ 。

解法分离变量 → 两端积分 → 整理通解。注意检查分离变量时除以的因子为零是否给出额外的解。

三、典型应用模型：

指数衰变： ${N=N}_{0} e^{-λt}$ ；牛顿冷却： ${T=T}_{0} {+(T}_{i} {-T}_{0} {)e}^{-kt}$ ；指数增长： ${P=P}_{0} e^{rt}$ 。

四、作业布置：

（1）验证给定函数是否为微分方程的解；

（2）求解可分离变量的微分方程（通解和初值问题）；

（3）利用可分离变量方程求解实际问题。

五、预习：

下节课学习齐次方程——一种通过变量替换可以化为可分离变量方程的类型。请提前思考：如果 dy/dx 的右端是 y/x 的函数（如 dy/dx=(y/x)+1），该如何处理？

系统总结微分方程的基本概念体系和可分离变量方程的解法。

通过知识总结图帮助学生建立完整的知识结构。

提炼三个典型应用模型的共同数学结构。

布置有针对性的作业，覆盖验证解、求通解/特解、实际应用三个层次。

布置预习任务，为下节课齐次方程的学习做铺垫。

教学反思

本节课是常微分方程的开篇课，重点建立微分方程的基本概念并讲解可分离变量方程的解法。教学效果分析如下：

（1）引入环节：两个引入问题（曲线斜率问题和自由落体问题）设计效果良好。学生能够自然地从「已知导数求原函数」过渡到「含有导数的方程」，理解微分方程的概念没有明显障碍。特别是自由落体问题让学生看到了微分方程在物理中的应用，有效激发了学习兴趣。

（2）基本概念的教学：七个基本概念（方程、常微分方程、阶、解、通解、特解、初值问题）的讲解中，概念关系图起到了很好的串联作用，帮助学生理清了概念之间的层次关系。例1的验证过程使学生对「解」的概念建立了清晰的操作性理解，效果较好。但「独立常数」的含义部分学生仍有困惑，建议在后续课程中通过更多实例加以强化。

（3）可分离变量方程的教学：由于学生已经具备了较好的积分能力，可分离变量方程的「分离变量→两端积分」操作步骤掌握较快。例3中对 y=0 这个特殊解的讨论是一个教学难点——约30%的学生在课堂练习中忘记了检查 g(y)=0 的情况。建议：在后续作业和测验中反复强调此类细节。

（4）例5（非可分离变量方程的判别）的设计很有必要——它让学生认识到不是所有方程都能分离变量，避免了「万能分离变量」的思维定势。部分学生对此表示困惑：「那这个方程怎么解？」正好引起了对后续课程（齐次方程等）的期待。

（5）实际应用部分（例7-例9）是本节课学生反馈最好的内容。三个经典模型让学生看到了微分方程在物理、生物等学科中的实际应用价值。练习4（细菌培养问题）的完成情况良好，约80%的学生能够独立完成建模和求解。

（6）总体而言，本节课内容量适中，节奏把握较好。概念教学部分偏理论，通过应用模型的补充使课堂不至于枯燥。下节课将学习齐次方程，需要用到变量替换的技巧，建议提前预习。