常微分方程基本概念2

教学项目

常微分方程基本概念(2)——齐次方程

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过第15课的学习，学生已经掌握了微分方程的基本概念（方程、阶、解、通解、特解、初值问题）以及可分离变量的微分方程的求解方法。

从第15课的课堂测验和课后作业反馈来看：（1）约80%的学生能够正确进行分离变量操作，并求出通解；（2）约70%的学生能够从实际问题中建立微分方程模型；（3）主要困难在于：部分学生在分离变量时忽略g(y)=0的情况，以及对不可分离变量的方程不知如何处理。

本节课学习齐次方程——一种通过变量替换可以化为可分离变量方程的类型。学生将学会识别齐次方程的形式，掌握令v=y/x的代换技巧，并能完成从代换到分离变量、积分、回代的完整求解流程。

根据教学计划，本课时为第31-32学时。

教学目标

知识目标：

（1）理解齐次方程的定义： $\frac{dy}{dx} = ϕ (\frac{y}{x})$ ，能够识别给定方程是否为齐次方程；

（2）掌握齐次方程的求解方法：令v=y/x，化为可分离变量方程；

（3）理解代换 $y=vx$ 后 $\frac{dy}{dx} =v+x \frac{dv}{dx}$ 的推导过程；

（4）能够完成齐次方程的完整求解流程：识别→代换→分离变量→积分→回代；

（5）能够求解齐次方程的初值问题。

能力目标：

（1）培养识别齐次方程的判断能力，能够将方程右端改写为y/x的函数；

（2）培养变量替换的运算能力，从代换到分离变量、积分、回代的完整操作；

（3）培养化归思想——将齐次方程转化为可分离变量方程。

素质目标：

（1）通过变量替换化归新问题的方法，体会数学中“化未知为已知”的思想；

（2）通过多步骤求解过程，培养严谨的运算习惯和自我检查能力。

教学重点

1. 齐次方程的识别给定一个一阶方程，判断右端是否可以表示为y/x的函数。关键技巧：将方程右端的每一项都除以x的适当次幂，看能否统一写成只y/x的表达式。

2. v=y/x代换技巧令y=vx，则dy/dx=v+x(dv/dx)。代入原方程后，消去v+部分，得到关于v和x的可分离变量方程。

3. 完整求解流程从识别齐次方程开始，到代换、分离变量、两端积分、最后回代v=y/x得到y与x的关系。特别强调“回代”这一步不能遗漏。

教学难点

及应对

难点：

1. 非显然形式的齐次方程识别——部分方程需要先进行变形（如两边除以x的次幂）才能看出是齐次方程；

2. 回代v=y/x的步骤——学生容易在求出v的表达式后就停止，忽略将 $v= \frac{y}{x}$ 回代得到y与x的关系这一关键步骤；

3. 分离变量后的积分计算——某些齐次方程分离变量后的积分较复杂，需要部分分式或其他技巧。

应对策略：

1. 通过多个例子展示齐次方程的各种形式，包括显形和隐形；

2. 每做完一道题都强调回代这一步，在板书上用红色笔标记；

3. 将复杂积分分解为若干简单步骤，逐步引导学生完成。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：知识衔接图、齐次方程识别图、代换求解流程图、解曲线族图、易错点提醒图、知识总结图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

讲授法：系统讲解齐次方程的定义、识别方法和求解步骤

类比法：将齐次方程与可分离变量方程进行对比，突出化归思想

练习法：讲练结合，每讲完一个知识点立即进行课堂练习

图示法：利用流程图帮助学生建立清晰的求解步骤

教学反思

本节课学习了齐次方程的识别与求解方法。通过v=y/x代换将齐次方程化为可分离变量方程，学生体会了数学中化归思想的威力。从课堂表现来看，大部分学生能够理解代换的动机和操作流程，但回代步骤仍有约20%的学生会遗漏，需要在后续练习中继续强化。下节课将学习一阶线性微分方程。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、复习回顾（5分钟）

【教师】上节课我们学习了微分方程的基本概念和可分离变量方程。先快速回顾一下：

可分离变量方程的形式： $\frac{dy}{dx} =f(x)g(y)$

解法：分离变量 → 两端积分 → 整理通解。

【教师】但是，并非所有一阶方程都能直接分离变量。今天我们学习一种新的方程类型——齐次方程，它可以通过变量替换化为可分离变量方程。

二、齐次方程的概念（10分钟）

定义如果一阶微分方程可以写成

$\frac{dy}{dx} = ϕ (\frac{y}{x})$

的形式，即右端是 y/x 的函数，则称为齐次方程。

识别方法：

将方程右端的x和y同时乘以同一个参数t，看是否可以消去。即将x替换为tx、y替换为ty，如果右端不变，则是齐次方程。

例子：判断下列方程是否为齐次方程

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2} {+y}^{2}}{xy}$ ——分子分母各项都是x、y的42次项，除以 $x^{2}$ 得 $\frac{{1+(y/x)}^{2}}{y/x}$ ，是齐次方程。

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{y+x}$ ——分子分母各项都是x、y的一次项，除以x得 $\frac{y/x-1}{y/x+1}$ ，是齐次方程。

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} +1$ ——就是 y/x + 1，是齐次方程。

(4) $\frac{dy}{dx} =y+x$ ——无法写成y/x的函数（右端各项次数不同），不是齐次方程。

三、齐次方程的求解方法（10分钟）

核心思想：通过代换将齐次方程化为可分离变量方程。

第一步（代换）：令 $v= \frac{y}{x}$ ，即 y = vx，则

$\frac{dy}{dx} = \frac{d(vx)}{dx} =v+x \frac{dv}{dx}$

第二步（代入）：将 dy/dx = v + x(dv/dx) 代入原方程 $\frac{dy}{dx} = ϕ (\frac{y}{x})$ ：

$v+x \frac{dv}{dx} = ϕ (v)$

即

$x \frac{dv}{dx} = ϕ (v)-v$

第三步（分离变量）：

$\frac{dv}{ϕ (v)-v} = \frac{dx}{x}$

第四步（两端积分）：

$\int_{}^{} \frac{dv}{ϕ (v)-v} = \int_{}^{} \frac{dx}{x} = ln |x|+C$

第五步（回代）：将 $v= \frac{y}{x}$ 回代，得到y与x的关系。

四、例题讲解（10分钟）

例1 求 ${(x}^{2} {+y}^{2})dx-xydy=0$ 的通解。

解改写为标准形式：

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2} {+y}^{2}}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

令 $v= \frac{y}{x}$ ，右端变为 $\frac{1}{v} +v= \frac{{1+v}^{2}}{v}$ 。

代入： $v+x \frac{dv}{dx} = \frac{{1+v}^{2}}{v}$

$x \frac{dv}{dx} = \frac{{1+v}^{2}}{v} -v= \frac{{1+v}^{2} {-v}^{2}}{v} = \frac{1}{v}$

分离变量：

$vdv= \frac{dx}{x}$

两端积分：

$\frac{v^{2}}{2} = ln {|x|+C}_{1}$

回代 $v= \frac{y}{x}$ ：

$\frac{y^{2}}{{2x}^{2}} = ln {|x|+C}_{1}$

通解为 $y^{2} {=2x}^{2} ln {|x|+Cx}^{2}$ （C为任意常数）。

例2 求 $\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{y+x}$ 满足 $y(1)=0$ 的特解。

解除以x： $\frac{dy}{dx} = \frac{y/x-1}{y/x+1}$ ，是齐次方程。

令 $v= \frac{y}{x}$ ，代入：

$v+x \frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{v+1}$

$x \frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{v+1} -v= \frac{{v-1-v}^{2} -v}{v+1} = \frac{{-v}^{2} -1}{v+1}$

分离变量：

$\frac{v+1}{v^{2} +1} dv=- \frac{dx}{x}$

左端拆分： $\frac{v+1}{v^{2} +1} = \frac{v}{v^{2} +1} + \frac{1}{v^{2} +1}$ ，两端积分：

$\frac{1}{2} ln {(v}^{2} +1)+ arctan v=- ln {|x|+C}_{1}$

回代 $v= \frac{y}{x}$ ：

$\frac{1}{2} ln (\frac{y^{2}}{x^{2}} +1)+ arctan \frac{y}{x} =- ln {|x|+C}_{1}$

化简： $\frac{1}{2} ln \frac{x^{2} {+y}^{2}}{x^{2}} + arctan \frac{y}{x} =- ln {|x|+C}_{1}$

即 $\frac{1}{2} ln {(x}^{2} {+y}^{2})- ln |x|+ arctan \frac{y}{x} =- ln {|x|+C}_{1}$

消去 -ln|x|：

通解为 $\frac{1}{2} ln {(x}^{2} {+y}^{2})+ arctan \frac{y}{x} =C$ （C为任意常数）。

代入初始条件 y(1)=0，即x=1，y=0：

$\frac{1}{2} ln (1+0)+ arctan 0=C$ ，得 C=0。

特解为 $\frac{1}{2} ln {(x}^{2} {+y}^{2})+ arctan \frac{y}{x} =0$ 。

快速回顾可分离变量方程，为引入齐次方程做铺垫。

通过四个判断例子，帮助学生掌握齐次方程的识别方法。

系统推导五步求解流程，建立清晰的操作框架。

例1展示标准的完整求解过程，特别强调回代步骤。

例2展示带初值条件的齐次方程求解，训练完整的求解流程。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做练习题，巩固齐次方程的识别和求解。

练习1：求 $xdy-ydx= \sqrt{x^{2} {+y}^{2}} dx$ 的通解。

解改写为 $\frac{dy}{dx} = \frac{y+ \sqrt{x^{2} {+y}^{2}}}{x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1+(\frac{y}{x})^{2}}$ ，是齐次方程。

令 $v= \frac{y}{x}$ ，代入：

$v+x \frac{dv}{dx} =v+ \sqrt{{1+v}^{2}}$

$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{{1+v}^{2}}$

分离变量：

$\frac{dv}{\sqrt{{1+v}^{2}}} = \frac{dx}{x}$

两端积分：

$ln (v+ \sqrt{{1+v}^{2}})= ln {|x|+C}_{1}$

即 $v+ \sqrt{{1+v}^{2}} =Cx$ （C>0）。

回代 $v= \frac{y}{x}$ ：

通解为 $\frac{y}{x} + \sqrt{1+ \frac{y^{2}}{x^{2}}} =Cx$ ，即 $y+ \sqrt{x^{2} {+y}^{2}} {=Cx}^{2}$ 。

【教师】讲评要点：这道题的关键是识别出平方根号下的表达式可以写成y/x的函数。积分公式中用到了常见积分公式。不要忘记回代。

练习1训练含平方根的齐次方程，考察识别能力和积分运算能力。

讲评中强调回代步骤的重要性。

第二节课

知识讲解

（30 min）

五、更多例题（15分钟）

例3 求 $x \frac{dy}{dx} =y+ \sqrt{x^{2} {+y}^{2}}$ 的通解。

解改写为 $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sqrt{1+(\frac{y}{x})^{2}}$ ，设 $ϕ (v)=v+ \sqrt{{1+v}^{2}}$ 。

代换后： $x \frac{dv}{dx} = \sqrt{{1+v}^{2}}$

分离变量并积分：

$\int_{}^{} \frac{dv}{\sqrt{{1+v}^{2}}} = \int_{}^{} \frac{dx}{x}$

$ln (v+ \sqrt{{1+v}^{2}})= ln |x|+ ln C$

即 $v+ \sqrt{{1+v}^{2}} =Cx$ 。回代 v=y/x：

通解为 $y+ \sqrt{x^{2} {+y}^{2}} {=Cx}^{2}$ 。

例4 求 ${(y}^{2} {-2xy)dx+x}^{2} dy=0$ 的通解。

解改写为 $\frac{dy}{dx} = \frac{{2xy-y}^{2}}{x^{2}} =2 ⋅ \frac{y}{x} -(\frac{y}{x})^{2}$ ，是齐次方程。

令 $v= \frac{y}{x}$ ，代入：

$v+x \frac{dv}{dx} {=2v-v}^{2}$

$x \frac{dv}{dx} {=v-v}^{2} =v(1-v)$

分离变量（设 v(1-v)≠0）：

$\frac{dv}{v(1-v)} = \frac{dx}{x}$

左端用部分分式： $\frac{1}{v(1-v)} = \frac{1}{v} + \frac{1}{1-v}$ 。积分：

$ln |v|- ln |1-v|= ln {|x|+C}_{1}$

$ln | \frac{v}{1-v} |= ln |Cx|$

$\frac{v}{1-v} =Cx$

回代 v=y/x： $\frac{y/x}{1-y/x} =Cx$ ，化简得 $\frac{y}{x-y} =Cx$ 。

通解为 $y=Cx(x-y)$ （C为任意常数）。

注意：v=0即y=0也是解（对应C=0）；v=1即y=x需单独验证是否为解。

六、齐次方程的特征总结（5分钟）

齐次方程的核心特征：

(1) 形式特征：右端可以表示为 y/x 的函数；

(2) 求解策略：令 v=y/x，化为关于v和x的可分离变量方程；

(3) 关键步骤：不要忘记回代 v=y/x！结果中不应出现v；

(4) 化归思想：齐次方程 → 可分离变量方程，这是化未知为已知的典型体现。

七、与可分离变量方程的对比（10分钟）

可分离变量： $\frac{dy}{dx} =f(x)g(y)$ → 直接分离变量，两端积分。

齐次方程： $\frac{dy}{dx} = ϕ (\frac{y}{x})$ → 先代换v=y/x，再分离变量，最后回代。

共同点：最终都归结为分离变量方程的求解。

不同点：齐次方程需要额外的代换步骤和回代步骤。

例5 求 $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$ 的通解。

解除以x： $\frac{dy}{dx} = \frac{1+y/x}{1-y/x}$ ，是齐次方程。

令 $v= \frac{y}{x}$ ，代入：

$v+x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v}{1-v}$

$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v}{1-v} -v= \frac{{1+v-v+v}^{2}}{1-v} = \frac{{1+v}^{2}}{1-v}$

分离变量：

$\frac{1-v}{{1+v}^{2}} dv= \frac{dx}{x}$

拆分左端： $\frac{1}{{1+v}^{2}} - \frac{v}{{1+v}^{2}}$ ，积分：

$arctan v- \frac{1}{2} ln {(1+v}^{2})= ln {|x|+C}_{1}$

回代 v=y/x：

通解为 $arctan \frac{y}{x} - \frac{1}{2} ln (1+ \frac{y^{2}}{x^{2}})= ln |x|+C$ 。

化简得 $arctan \frac{y}{x} = \frac{1}{2} ln {(x}^{2} {+y}^{2})+C$ 。

例3展示含平方根的齐次方程，拓展学生对齐次方程形式的认识。

例4展示需要部分分式的齐次方程，训练积分技巧。

特征总结帮助学生建立完整的知识框架。

对比分析帮助学生理解两种方程类型的联系与区别。

例5提供额外的练习机会，强化求解流程。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做练习题，进一步巩固齐次方程的求解。

练习2：求 $(x-y)dx+xdy=0$ 的通解。

解改写为 $\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{x} = \frac{y}{x} -1$ ，是齐次方程。

令 $v= \frac{y}{x}$ ，代入：

$v+x \frac{dv}{dx} =v-1$

$x \frac{dv}{dx} =-1$

分离变量：

$dv=- \frac{dx}{x}$

两端积分：

$v=- ln |x|+C$

回代 v=y/x：

通解为 $\frac{y}{x} =- ln |x|+C$ ，即 $y=x(C- ln |x|)$ 。

【教师】讲评要点：这道题是一个非常简洁的齐次方程，分离变量后积分很简单。关键是不要忘记回代v=y/x。这道题也可以看出，齐次方程不一定复杂，有时也很简洁。

练习2训练简单的齐次方程，巩固基本操作流程。

讲评中再次强调回代的重要性。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心内容：

一、齐次方程的定义：

形如 $\frac{dy}{dx} = ϕ (\frac{y}{x})$ 的一阶方程。特征：右端可以表示为y/x的函数。

二、求解五步流程：

① 识别齐次方程（右端写成y/x的函数）；

② 代换：令v=y/x，则dy/dx=v+x(dv/dx)；

③ 化为可分离变量方程；

④ 两端积分求解；

⑤ 回代v=y/x，得到y与x的关系。

三、作业布置：

（1）判断方程是否为齐次方程；

（2）求解齐次方程（通解和初值问题）；

（3）习题10-1第9-12题。

四、预习：

下节课学习一阶线性微分方程，它有直接的通解公式。请提前思考：形如 y'+P(x)y=Q(x) 的方程该如何求解？

系统总结齐次方程的定义和五步求解流程。

布置有针对性的作业，覆盖识别、求通解、求特解三个层次。

布置预习任务，为下节课一阶线性微分方程做铺垫。

教学反思

本节课学习了齐次方程的识别与求解方法。教学效果分析如下：

（1）引入环节：通过与可分离变量方程的对比，自然引出齐次方程的概念。四个判断例子设计效果较好，学生通过正反例对比，建立了对齐次方程的直觉认识。

（2）代换方法的讲解：v=y/x代换的推导过程学生能够理解，特别是dy/dx=v+x(dv/dx)这个关键步骤，约85%的学生能够正确推导。但在实际求解中，部分学生对为什么要这样代换的动机不够清晰，建议在后续课程中通过更多实例强化。

（3）回代步骤的强调：这是本节课尾大的教学难点。尽管在每道例题中都强调了回代，仍有约20%的学生在课堂练习中忘记回代。建议：在后续作业和测验中继续强调此点。

（4）例题难度梯度：例1较简单（分离变量后积分简单），例2和例5稍难（涉及arctan和对数的化简），例4需要部分分式。总体难度梯度合理，但例2和例5的积分部分部分学生完成困难。

（5）改进方向：① 可以增加一些更简单的齐次方程例题，降低入门难度；② 可以设计专门的“回代”练习，强化学生对这一步的记忆；③ 下节课将学习一阶线性方程，需要强调将方程先化为标准形式的重要性。