常数项级数概念与性质续2

教学项目

常数项级数的概念与性质（续）

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

上一课学生已经完成常数项级数的入门学习，掌握了无穷级数、部分和、收敛与发散的基本定义，并能通过部分和极限理解“无穷和”的数学意义。课堂反馈显示：概念性问题整体掌握较好，但在“已知级数形式快速判断敛散性”方面还不够熟练。

本课在上一课基础上继续推进，重点引入两类最典型级数：几何级数与 p 级数，并系统讲清收敛必要条件及收敛级数基本性质。通过“模型结论 + 例题训练”的方式，帮助学生形成可直接用于后续审敛法学习的基础判断框架。

教学难点主要有三点：（1）几何级数在 r<0 情况下的直观理解；（2）p 级数临界点 p=1 的辨析；（3）必要条件与充分条件的逻辑区分。

教学目标

知识目标：

（1）掌握几何级数 $\sum_{n=1}^{\infty} {ar}^{n-1}$ 的敛散性结论及和公式；

（2）掌握 p 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$ 的敛散性判别（p>1 收敛，p\leq1 发散）；

（3）理解并会应用收敛必要条件：若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 ${lim}_{n\to∞} a_{n} =0$ ；

（4）掌握收敛级数基本性质：线性性、增删有限项不影响敛散性、加括号性质。

能力目标：

（1）能够依据级数结构快速选择判断思路；

（2）能够将“模型结论”迁移到具体题目中完成规范推导；

（3）能够在解题中检查条件，避免机械套结论。

素质目标：

（1）通过必要条件与充分条件辨析，培养严谨的逻辑思维；

（2）通过临界情形讨论，培养分类讨论与反例意识；

（3）通过规范书写训练，形成数学表达的条理性。

教学重点

1. 几何级数的敛散性与和公式重点在于把无穷级数问题转化为部分和极限，完整理解 |r|<1 才收敛，并会写出收敛时和为 a/(1-r)。

2. p 级数判别结论与临界点重点突破 p=1 的临界意义，能区分 p>1 收敛与 p\leq1 发散两种情形。

3. 必要条件及其正确使用重点强调“a_n\to0 是收敛的必要条件而非充分条件”，避免把 lim a_n=0 误判为级数收敛。

教学难点

及应对

难点：

1. 几何级数部分和推导中代数变形易错，尤其是 r=1 与 r\ne1 的分类；

2. p 级数中“调和级数发散”与“p>1 收敛”的记忆易混；

3. 必要条件与充分条件混淆，常见错误是“lim a_n=0 则级数收敛”。

应对策略：

1. 先板书推导结论，再通过反例强化理解；

2. 使用“结论表 + 典型题型”双重训练巩固记忆；

3. 每道题都先写“依据”再写“结论”，养成逻辑链式表达。

教学资源

教材《高等数学》级数章节；多媒体课件；板书

课堂练习单：几何级数、p级数、必要条件辨析题

章节总结表：常见模型级数敛散性速查

教学方法

讲授法 + 推导法 + 例题分解 + 当堂训练 + 错因讲评

教学反思

本课围绕“模型结论落地应用”开展。前半段重在概念与结论建构，后半段重在例题迁移与错误修正。通过对必要条件的反例强化，能够明显减少学生在敛散判断中的逻辑误用。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、复习导入（5分钟）

复习上一课核心：级数收敛定义、部分和序列与极限思想。

提出本课主线：先掌握两类基础模型级数，再明确必要条件与性质。

二、几何级数（15分钟）

研究级数 $\sum_{n=1}^{\infty} {ar}^{n-1}$ ，其部分和为

$S_{n} =a+ar+ ⋯ {+ar}^{n-1}$

$S_{n} = \frac{{a(1-r}^{n})}{1-r} \quad (r ≠ 1)$

当 $|r|<1$ 时， ${lim}_{n\to∞} r^{n} =0$ ，故级数收敛且

$\sum_{n=1}^{\infty} {ar}^{n-1} = \frac{a}{1-r}$

当 |r|\geq1 时级数发散。

三、p级数（15分钟）

模型： $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$ 。结论： $p>1$ 收敛， $p ≤ 1$ 发散。

特别强调：p=1 为调和级数，发散。

通过复习确保知识衔接连续。

通过“定义-推导-结论”路径建立几何级数模型。

通过临界点 p=1 强化分类讨论意识。

例题训练（40 min）

四、典型例题（25分钟）

例1：判断 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{2^{n}}$ 是否收敛并求和。

思路：识别为几何级数，a=3/2，r=1/2，|r|<1。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{2^{n}} = \frac{3/2}{1-1/2} =3$

例2：判断 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的敛散性。

结论：前者 p=3/2>1 收敛；后者 p=1/2<1 发散。

例3：辨析命题

若 ${lim}_{n\to∞} a_{n} =0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。

该命题错误。反例：a_n=1/n，lim a_n=0，但调和级数发散。

五、性质归纳与小练（15分钟）

性质1：线性性；性质2：增删有限项不影响敛散性；性质3：加括号性质。

课堂小练：判断三道模型题并写出“依据-结论”。

通过模型题训练“识别级数类型”的首要能力。

通过反例修正常见逻辑误区。

通过小练落实规范表达。

第二节课

知识讲解

（30 min）

课堂小结与作业（15 min）

六、课堂小结（8分钟）

本课形成三条核心结论：几何级数、p级数、必要条件。

要求学生记住：必要条件只能“证发散”，不能“证收敛”。

强调解题流程：先识别模型 -> 再判条件 -> 最后给出结论与理由。

七、作业布置（7分钟）

必做：教材对应练习中几何级数与 p 级数判断题。

选做：设计两个“lim a_n=0 但级数发散”的反例并解释原因。

预习：正项级数审敛法（比较法、比值法、根值法）的思想。

帮助学生形成可复用的判断框架。

通过分层作业巩固基础并拓展思维。

为下一课审敛法学习做铺垫。

课堂小结

（5 min）

教学反思

本课在“模型结论+例题验证”路径下推进，课堂节奏较稳定。

从练习反馈看，学生对几何级数和 p 级数结论掌握较快，但对必要条件逻辑仍有少量混淆，后续需在每次审敛训练中持续强调。

下一步将进入正项级数审敛法，强化“从模型到方法”的过渡。