常数项级数的概念与性质

教学项目

常数项级数的概念与性质

授课地点

教学楼A304

授课形式

线下教学

学情分析

学生已系统学习了向量代数、多元函数微积分与矩阵理论，具备了良好的数学推理能力。本课开始新的篇章——无穷级数，需要从有限和过渡到无穷和的思维转变。

从学生的学习基础来看：（1）数列极限的概念和运算掌握良好，为理解部分和序列的极限奠定了基础；（2）等比数列求和公式等基础知识扎实；（3）对无穷大、无穷小的理解有一定基础。

教学目标

知识目标：

（1）理解无穷级数、部分和、收敛与发散的概念：给定数列 {a_n}，表达式 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 称为无穷级数；

（2）掌握几何级数（等比级数）的敛散性判定：当 |r|<1 时收敛于 $\frac{a}{1-r}$ ，当 |r|≥1 时发散；

（3）掌握 p 级数的敛散性结论： $\sum_{}^{} \frac{1}{n^{p}}$ 当 p>1 时收敛，当 p≤1 时发散；

（4）理解级数收敛的必要条件及其应用；

（5）掌握收敛级数的基本性质（线性性等）。

能力目标：

（1）培养利用部分和定义判断级数收敛/发散的能力；

（2）培养运用必要条件快速排除发散级数的能力。

素质目标：

（1）通过从有限到无限的推广过程，体会极限思想的核心地位；

（2）通过必要条件与充分条件的辨析，培养逻辑推理的严谨性。

教学重点

1. 级数收敛与发散的判定思路通过部分和序列 {S_n} 的极限来判断级数的收敛性，这是级数理论的基本思路。

2. 几何级数的求和公式及 p 级数的敛散性结论几何级数是最重要的可求和级数，p 级数是后续比较判别法的重要参照对象。

3. 收敛的必要条件若级数收敛则通项趋于零。这是判断级数敛散性的第一道筛选，但必须警惕其逆命题不成立。

教学难点

及应对

难点：

1. 从有限求和到无穷求和的概念跨越——理解“无穷相加”的含义，学生容易将“无穷项相加”等同于“结果无穷大”，需要通过具体实例说明无穷项之和可以是有限数。

2. 必要条件与充分条件的区分——通项趋于零不能推出级数收敛，调和级数是最重要的反例。

应对策略：

1. 通过等比数列的部分和公式，从具体计算出发，让学生体验无穷求和的可行性；

2. 通过调和级数与 1/n(n+1) 的对比，加深对必要条件的理解。

教学资源

多媒体课件、课堂练习题、几何级数可视化图示

教学方法

讲授法、类比法、启发式教学、课堂互动

教学反思

本节课引入无穷级数的核心概念，需要帮助学生建立从有限到无穷的思维过渡。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、无穷级数的概念

给定数列 {a_n}，表达式 $a_{1} {+ a}_{2} + ⋯ {+ a}_{n} + ⋯$ 称为无穷级数，记为

$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$

其中 a_n 称为级数的通项（一般项）。

部分和（前 n 项和）：

$S_{n} {= a}_{1} {+ a}_{2} + ⋯ {+ a}_{n} = \sum_{k=1}^{n} a_{k}$

收敛与发散的定义：

若极限 ${lim}_{n\to∞} S_{n} = S$ 存在且有限，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，S 称为级数的和；否则称级数发散。

关键认识：级数的收敛性完全等价于部分和序列 {S_n} 的收敛性。判断级数收敛 = 判断数列 {S_n} 有极限。

二、几何级数（等比级数）

几何级数的一般形式： $\sum_{n=0}^{\infty} {a r}^{n} {= a + ar + ar}^{2} + ⋯$

收敛性分析：

部分和 $S_{n} = \frac{{a(1-r}^{n})}{1-r}$ （r ≠ 1）

当 |r|<1 时， ${lim}_{n\to∞} r^{n} = 0$ ，级数收敛，和为 $\sum_{n=0}^{\infty} {a r}^{n} = \frac{a}{1-r}$

当 |r|≥1 时，级数发散。

例： $\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{2})^{n} = \frac{1}{1- \frac{1}{2}} = 2$

三、调和级数与 p 级数

p 级数的一般形式： $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$

敛散性结论：

当 p>1 时，p 级数收敛；当 p≤1 时，p 级数发散。

特别地，当 p=1 时， $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯$ 称为调和级数，它是发散的。

调和级数发散的重要性：虽然通项 1/n → 0，但级数仍然发散。这说明通项趋于零只是级数收敛的必要条件，不是充分条件！

从具体的等比数列求和引入无穷级数概念，让学生感受从有限到无穷的自然过渡。

课堂测验

（10 min）

课堂练习

例1 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{3})^{n}$ 的敛散性。

解这是等比级数，公比 r=2/3，|r|<1，级数收敛。

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{3})^{n} = \frac{\frac{2}{3}}{1- \frac{2}{3}} = 2$

例2 证明调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散。

解对部分和进行分组估计：

$S_{2^{k}} = 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + ⋯ + \frac{1}{8}) + ⋯$

每组的和 ≥ 1/2，因此 S_{2^k} ≥ 1 + k/2 → +∞，级数发散。

例3 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 的敛散性。

解这是 p 级数，p=2>1，级数收敛。已知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}$ 。

通过典型例题巩固几何级数公式和 p 级数判定方法。

第二节课

知识讲解（35 min）

四、级数收敛的必要条件

定理：

若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 ${lim}_{n\to∞} a_{n} = 0$ 。

证明思路：

由 a_n = S_n - S_{n-1}，若 S_n → S，则 S_{n-1} → S，因此 a_n = S_n - S_{n-1} → S - S = 0。

重要警告：这只是必要条件，不是充分条件！

反例：调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 的通项 1/n → 0，但级数发散！

必要条件的应用（排除法）：

若 ${lim}_{n\to∞} a_{n} ≠ 0$ （或极限不存在），则级数一定发散。

五、收敛级数的基本性质

性质1（线性性）：

若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛， $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，则

$\sum_{n=1}^{\infty} (c ⋅ a_{n} ± d ⋅ b_{n}) = c ⋅ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} ± d ⋅ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$

性质2（增删有限项）：

增加、删除或改变级数的有限项，不改变级数的收敛性（但可能改变和）。

性质3（加括号性质）：

收敛级数加括号后仍收敛，且和不变。

注意：加括号后收敛不能推出原级数收敛！反例：1-1+1-1+... 发散，但 (1-1)+(1-1)+... = 0 收敛。

性质4（柯西准则）：

级数 $\sum_{}^{} a_{n}$ 收敛的充要条件：对任意 $ε > 0$ ，存在 N，当 m>n>N 时， ${|a}_{n+1} {+ a}_{n+2} + ⋯ {+ a}_{m} | < ε$ 。

强调必要条件与充分条件的区别，避免学生常见的逻辑错误。

课堂测验

（10 min）

综合练习

例4 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}$ 的敛散性。

解由于 ${lim}_{n\to∞} \frac{n}{n+1} = 1 ≠ 0$ ，不满足收敛的必要条件，级数发散。

例5 若 $\sum_{}^{} a_{n}$ 收敛于 S=3， $\sum_{}^{} b_{n}$ 收敛于 T=5，求 $\sum_{}^{} {(2a}_{n} {- 3b}_{n})$ 。

解由线性性： $\sum_{}^{} {(2a}_{n} {- 3b}_{n}) = 2 ⋅ 3 - 3 ⋅ 5 = -9$ 。

例6 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ 的和。

解裂项法： $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

部分和： $S_{n} = (1- \frac{1}{2})+(\frac{1}{2} - \frac{1}{3})+ ⋯ +(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})=1- \frac{1}{n+1}$

${lim}_{n\to∞} S_{n} = 1$

级数收敛，和为 S = 1。

综合运用必要条件和基本性质解题，培养判断级数敛散性的基本能力。

课堂小结

（5 min）

课堂小结

本节课核心知识点：

（1）级数概念与部分和：级数收敛 ⇔ 部分和序列有极限；

（2）几何级数：当 |r|<1 时收敛，和为 $\frac{a}{1-r}$ ；

（3）p 级数：p>1 收敛，p≤1 发散（调和级数发散）；

（4）必要条件：收敛 ⇒ ${lim}_{n\to∞} a_{n} = 0$ （必要不充分！）；

（5）基本性质：线性性、增删有限项、加括号性质、柯西准则。

课后作业

判断下列级数的敛散性，收敛的求其和：

① $\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{2}{3})^{n}$ ② $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}$ ③ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n}$

④ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n^{2} {(n+1)}^{2}}$ ⑤ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n} {+ 2}^{n}}{5^{n}}$

预习提示：

下节课将学习正项级数的审敛法，请复习本节必要条件的内容。

系统梳理本节知识框架，布置练习为下节正项级数审敛法做准备。

教学反思

本节课从等比数列求和自然过渡到无穷级数概念，学生接受度较好。

必要条件与充分条件的区分是学生易混淆的逻辑难点，需要通过反例强化理解。调和级数作为反例的讲解效果良好，约90%的学生能够正确理解“通项趋于零不能保证收敛”。

下节课将学习正项级数的审敛法，需要学生课后复习本节必要条件的内容。