平面及其方程

教学项目

平面及其方程

授课地点

教学楼多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

学生已掌握向量的数量积、向量积及其坐标运算，理解垂直与平行的向量判据。本节课开始空间解析几何的核心内容——利用向量工具建立几何对象的方程。平面方程是第一个空间解析几何方程，学生需建立“几何条件→向量关系→代数方程”的思维模式。

教学目标

1. 知识目标

掌握平面的点法式方程和一般式方程，了解截距式方程。

2. 能力目标

能建立平面方程，判断两平面位置关系，计算点到平面距离。

3. 素养目标

体会向量方法在解析几何中的应用，培养空间解析思维。

教学重点

1. 平面的点法式方程的建立思路与公式；

2. 一般式方程与法向量的关系；

3. 两平面的平行、垂直判定条件。

教学难点

及应对

1. 从几何条件建立平面方程的思路转化；

2. 点到平面距离公式的推导理解；

3. 特殊平面方程的识别（平行于坐标轴/过坐标轴）。

教学资源

多媒体课件、三维模型、教案配图

教学方法

讲授法、图示法、启发式教学、练习巩固

教学反思

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、从向量到平面方程

核心思想：一个点 + 一个法向量唯一确定一个平面。

二、平面的点法式方程

设平面过点 $M_{0} {(x}_{0} {,y}_{0} {,z}_{0})$ ，法向量为 $\vec n =(A,B,C)$ 。

推导：设 $M(x,y,z)$ 为平面上任意点，则 $\overrightarrow M_{0} M {=(x-x}_{0} {,y-y}_{0} {,z-z}_{0})$

由 $\vec n \perp \overrightarrow M_{0} M$ ，即 $\vec n ⋅ \overrightarrow M_{0} M =0$ ，得

点法式方程：

${A(x-x}_{0} {)+B(y-y}_{0} {)+C(z-z}_{0})=0$

例1 求过点 $(1,2,-1)$ 、法向量为 $\vec n =(2,3,4)$ 的平面方程。

解： $2(x-1)+3(y-2)+4(z+1)=0$

展开： $2x+3y+4z-4=0$

三、平面的一般式方程

定理任何平面都可以用一个三元一次方程表示：

$Ax+By+Cz+D=0$ （A, B, C不全为零）

反之，任何三元一次方程都表示一个平面。

法向量：方程 $Ax+By+Cz+D=0$ 的法向量为 $\vec n =(A,B,C)$ （直接读取系数）。

截距式方程：当平面与三坐标轴截距分别为a, b, c时：

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} =1$

特殊平面（缺某个变量）：

• $Ax+By+D=0$ 平行于z轴（法向量无z分量）

• $Cz+D=0$ 平行于xOy平面

• $z=0$ 即xOy坐标平面

四、两平面的位置关系

设两平面 $π_{1} {:A}_{1} {x+B}_{1} {y+C}_{1} {z+D}_{1} =0$ ， $π_{2} {:A}_{2} {x+B}_{2} {y+C}_{2} {z+D}_{2} =0$ ，

法向量分别为 $\vec n_{1} {=(A}_{1} {,B}_{1} {,C}_{1})$ ， $\vec n_{2} {=(A}_{2} {,B}_{2} {,C}_{2})$ 。

平行： $\vec n_{1} \parallel \vec n_{2}$ ⇔ $\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}}$

垂直： $\vec n_{1} \perp \vec n_{2}$ ⇔ $A_{1} A_{2} {+B}_{1} B_{2} {+C}_{1} C_{2} =0$

夹角： $\cos θ = \frac{{|A}_{1} A_{2} {+B}_{1} B_{2} {+C}_{1} C_{2} |}{| \vec n_{1} || \vec n_{2} |}$ （取锐角或直角）

例2 判断平面 $2x-y+3z-1=0$ 与 $x+y-z+2=0$ 的关系。

解： $\vec n_{1} =(2,-1,3)$ ， $\vec n_{2} =(1,1,-1)$

$\vec n_{1} ⋅ \vec n_{2} =2 × 1+(-1) × 1+3 × (-1)=2-1-3=-2 ≠ 0$ （不垂直）

比例： $\frac{2}{1} ≠ \frac{-1}{1}$ （不平行），故两平面相交。

夹角： $\cos θ = \frac{|-2|}{\sqrt{14} ⋅ \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{42}}$

从向量到平面方程建立思维桥梁。

点法式方程推导突出向量垂直条件的核心作用。

一般式方程强调法向量直接从系数读取。

两平面关系归结为法向量关系，与前面数量积/叉积判据衔接。

课堂测验

（10 min）

五、点到平面的距离公式

公式：点 $P_{0} {(x}_{0} {,y}_{0} {,z}_{0})$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离为

$d= \frac{{|Ax}_{0} {+By}_{0} {+Cz}_{0} +D|}{\sqrt{A^{2} {+B}^{2} {+C}^{2}}}$

例3 求点 $(1,2,1)$ 到平面 $2x+y-2z+1=0$ 的距离。

解： $d= \frac{|2(1)+1(2)-2(1)+1|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{|2+2-2+1|}{3} = \frac{3}{3} =1$

例4 求过三点 $A(1,0,0)$ 、 $B(0,2,0)$ 、 $C(0,0,3)$ 的平面方程。

解：三个截距分别为 a=1, b=2, c=3，用截距式：

$\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} =1$

化为一般式： $6x+3y+2z-6=0$

距离公式是重要的几何量计算工具。

截距式方程在三点确定平面时很方便。

第二节课

课堂练习（20 min）

练习1 求过点 $(2,-1,3)$ 且平行于平面 $3x-2y+z-5=0$ 的平面方程。

解：平行平面法向量相同： $\vec n =(3,-2,1)$

点法式： $3(x-2)-2(y+1)+1(z-3)=0$

展开： $3x-2y+z-11=0$

练习2 求平面 $x+2y-z+3=0$ 与 $2x-y+3z-1=0$ 的夹角。

解： $\vec n_{1} =(1,2,-1)$ ， $\vec n_{2} =(2,-1,3)$

$\cos θ = \frac{|2-2-3|}{\sqrt{6} ⋅ \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{84}} = \frac{3}{2 \sqrt{21}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$

$θ = \arccos \frac{\sqrt{21}}{14}$

练习3 求原点到平面 $3x-4y+12z-26=0$ 的距离。

解： $d= \frac{|3(0)-4(0)+12(0)-26|}{\sqrt{9+16+144}} = \frac{26}{\sqrt{169}} = \frac{26}{13} =2$

练习1巩固平行平面方程的建立方法。

练习2练习两平面夹角计算。

练习3巩固点到平面距离公式。

课堂测验

（10 min）

补充：两平行平面间的距离

设两平行平面 ${Ax+By+Cz+D}_{1} =0$ 与 ${Ax+By+Cz+D}_{2} =0$ ，它们之间的距离为

$d= \frac{{|D}_{1} {-D}_{2} |}{\sqrt{A^{2} {+B}^{2} {+C}^{2}}}$

方法：在一个平面上取任意一点，代入点到平面距离公式即可。

两平行平面距离公式是点到平面距离的直接推论。

课堂小结

（5 min）

课堂小结

本节课核心知识点：

1. 点法式方程： ${A(x-x}_{0} {)+B(y-y}_{0} {)+C(z-z}_{0})=0$

2. 一般式方程： $Ax+By+Cz+D=0$ ，法向量 $\vec n =(A,B,C)$

3. 两平面关系：平行⇔法向量平行；垂直⇔法向量垂直

4. 距离公式： $d= \frac{{|Ax}_{0} {+By}_{0} {+Cz}_{0} +D|}{\sqrt{A^{2} {+B}^{2} {+C}^{2}}}$

下节预告：空间直线及其方程——利用方向向量和点建立直线方程，研究线与面的关系。

总结图系统梳理平面方程的四大板块。

预告下节课直线方程，完成空间解析几何基本对象。

教学反思

本节课内容丰富，涵盖了平面方程的各种形式和应用。

点法式方程的推导过程体现了向量工具的强大作用，学生接受良好。

特殊平面的识别（缺变量意味着平行于某坐标轴）需反复强调。

距离公式推导可适当简化，重点放在公式应用上。

下节课直线方程将与平面方程形成对照，建议提前回顾法向量概念。