广义积分

教学项目

广义积分

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

在前十二次课中，学生已系统学习了不定积分的概念与计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法），定积分的概念、基本性质、牛顿-莱布尼茨公式，以及定积分在几何中的应用（面积、体积、弧长等）。

然而，目前所学的定积分要求积分区间有限、被积函数有界。实际问题中，常常遇到积分区间无穷（如概率论中的正态分布密度函数在整个实数轴上的积分）或被积函数在某点无界（如物理学中的引力势能计算）的情形。学生对这两类“超出常规定义”的积分缺乏认知，亟需建立广义积分的概念框架。

从学生的学习基础来看：（1）对极限的概念和运算比较熟练；（2）定积分的计算（牛顿-莱布尼茨公式）掌握良好；（3）对无穷大、无穷小的理解有一定基础，但将极限思想融入积分计算还需要引导。

根据教学计划，本课时为第25-26学时（累计26学时），下一课将进行定积分部分的复习与小结。

教学目标

知识目标：

（1）理解无穷限积分（无穷区间上的广义积分）的定义——将积分上限或下限推广到无穷： $\int_{a}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{t\to+∞} \int_{a}^{t} f(x)dx$ ；

（2）理解瑕积分（无界函数的广义积分）的定义——被积函数在某点趋于无穷时： $\int_{a}^{b} f(x)dx = \lim_{ε\to0^{+}} \int_{a+ε}^{b} f(x)dx$ （a为瑕点）；

（3）掌握广义积分的计算方法——利用极限定义，先求不定积分再代入极限；

（4）掌握 p 积分的收敛性结论： $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} dx$ 当 p>1 时收敛，p≤1 时发散； $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} dx$ 当 p<1 时收敛，p≥1 时发散；

（5）了解 Γ 函数的定义和基本性质（选讲内容）。

能力目标：

（1）培养判断积分类型（无穷限积分还是瑕积分）的能力；

（2）培养利用极限定义计算广义积分的规范化操作能力；

（3）提高利用 p 积分结论进行收敛性判别的能力。

素质目标：

（1）通过将有限推广到无限的过程，体会极限思想在数学中的核心地位；

（2）通过收敛与发散的对比分析，培养辩证思维和数学严谨性。

教学重点

1. 无穷限积分的定义与计算无穷限积分是将定积分的积分区间推广到无穷的情形。学生必须理解其本质是一个极限过程：先在有限区间上积分，再令端点趋于无穷。掌握三种类型：[a,+∞)、(-∞,b]、(-∞,+∞)。

2. 瑕积分的定义与计算瑕积分是被积函数在某点（瑕点）趋于无穷的情形。学生需理解瑕点的概念，掌握瑕点在端点和内部两种情形的处理方法。

3. p 积分的收敛性判别 p 积分是广义积分中最基本、最重要的模型。无穷限 p 积分与瑕积分 p 积分的收敛条件恰好“互补”（一个要求 p>1，一个要求 p<1），这个对比是教学的重点。

教学难点

及应对

难点：

1. 瑕点的识别——学生容易忽略被积函数在积分区间端点或内部某点的无界性。例如 ∫₀¹ 1/√x dx 中 x=0 是瑕点，但学生可能按照常规定积分处理而不做极限。

2. 无穷限积分与瑕积分的区分——两类广义积分的定义不同，处理方法类似但细节有别。学生需要在做题时先判断属于哪种类型。

3. p 积分收敛条件的记忆——无穷限 p 积分（p>1收敛）与瑕积分 p 积分（p<1收敛）的条件方向相反，容易混淆。

应对策略：

1. 通过图形直观展示无穷区间积分和无界函数积分的几何意义，帮助学生建立直觉；

2. 每道例题先让学生判断积分类型，再进行计算，培养分类意识；

3. 通过 p 积分的图形对比（p>1和p<1的函数图像），帮助学生理解为何收敛条件相反。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：无穷区间积分图示、瑕积分图示、收敛与发散判别图、p积分收敛性总结图、Γ函数简介图、知识总结图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

讲授法：系统讲解广义积分的两种类型及其计算方法

图形法：通过函数图像直观展示无穷区间积分和无界函数积分的几何含义

对比法：将无穷限积分与瑕积分对比，p积分的两类收敛条件对比

练习法：讲练结合，通过典型例题巩固计算方法和判别技巧

教学反思

本节课系统讲授了广义积分的两种类型：无穷限积分和瑕积分。从定积分的推广出发，通过极限定义建立了广义积分的理论框架。课堂教学按照“无穷限积分→瑕积分→p积分判别→典型例题”的递进设计展开。图形展示帮助学生建立了直观理解，p积分的收敛条件对比加深了学生的印象。课堂练习反馈表明，无穷限积分的基本计算掌握较好，但瑕点的识别和p积分收敛条件的记忆仍需加强。下节课将进行定积分部分的复习与小结。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、复习导入（5分钟）

【教师】同学们，我们前面系统学习了定积分的概念和计算方法。回忆一下定积分的定义，我们要求积分区间 [a,b] 是有限的，被积函数 f(x) 在 [a,b] 上有界。

回顾：定积分的两个基本要求

（1）积分区间 [a,b] 是有限区间；

（2）被积函数 f(x) 在 [a,b] 上有界。

引出问题：如果这两个条件不满足呢？

情形一：积分区间无穷—— $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} dx$ 积分上限是 +∞，区间无穷大！

情形二：被积函数无界—— $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ 在 x=0 处 f(x)→+∞，函数无界！

【教师】这两类积分超出了定积分的常规定义范围，但在实际应用中经常出现。例如概率论中正态分布的密度函数需要在 (-∞,+∞) 上积分，物理学中某些势能计算涉及无界函数的积分。为此，我们需要将定积分的概念做推广——这就是广义积分。

二、无穷限积分（无穷区间上的广义积分）（15分钟）

定义1（无穷限积分）：

（1）[a,+∞) 型：设 f(x) 在 [a,+∞) 上连续，定义

$\int_{a}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{t\to+∞} \int_{a}^{t} f(x)dx$

若此极限存在且有限，则称广义积分收敛；否则称为发散。

（2）(-∞,b] 型：设 f(x) 在 (-∞,b] 上连续，定义

$\int_{-\infty}^{b} f(x)dx = \lim_{t\to-∞} \int_{t}^{b} f(x)dx$

（3）(-∞,+∞) 型：取任意实数 c，

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int_{-\infty}^{c} f(x)dx+ \int_{c}^{+\infty} f(x)dx$

两部分都收敛时，整体才收敛。

例1 计算 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} dx$ 。

解按定义，先在有限区间 [1,t] 上积分，再令 t→+∞：

$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} dx = \lim_{t\to+∞} \int_{1}^{t} x^{-2} dx = \lim_{t\to+∞} [- \frac{1}{x} {]_{1}}^{t}$

$= \lim_{t\to+∞} (- \frac{1}{t} +1)=1$

结论：极限存在，广义积分收敛， $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} dx =1$ 。

例2 计算 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} dx$ 。

解

$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{t\to+∞} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} dx = \lim_{t\to+∞} [ln {x]}_{1}^{t} = \lim_{t\to+∞} ln t=+ ∞$

结论：极限不存在（趋于 +∞），广义积分发散。

对比思考：1/x² 和 1/x 在 [1,+∞) 上都趋于 0，但 1/x² 趋于 0 的速度更快，使得面积有限（收敛）；而 1/x 趋于 0 的速度不够快，面积无穷大（发散）。

例3 计算 $\int_{-\infty}^{0} e^{x} dx$ 。

解

$\int_{-\infty}^{0} e^{x} dx = \lim_{t\to-∞} \int_{t}^{0} e^{x} dx = \lim_{t\to-∞} {[e}^{x} {]_{t}}^{0} = \lim_{t\to-∞} {(1-e}^{t})=1$

结论：收敛， $\int_{-\infty}^{0} e^{x} dx =1$ 。

三、瑕积分（无界函数的广义积分）（15分钟）

瑕点的概念：若 f(x) 在 x=a（或 x=b）处无界（即 f(x)→±∞），则称 x=a（或 x=b）为被积函数的瑕点。

定义2（瑕积分）：

（1）瑕点在左端 x=a：

$\int_{a}^{b} f(x)dx = \lim_{ε\to0^{+}} \int_{a+ε}^{b} f(x)dx$

（2）瑕点在右端 x=b：

$\int_{a}^{b} f(x)dx = \lim_{ε\to0^{+}} \int_{a}^{b-ε} f(x)dx$

（3）瑕点在内部 x=c（a<c<b）：

$\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx+ \int_{c}^{b} f(x)dx$

两部分分别按瑕积分定义计算，都收敛时整体才收敛。

例4 计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ 。（x=0 为瑕点）

解

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \lim_{ε\to0^{+}} \int_{ε}^{1} x^{-\frac{1}{2}} dx = \lim_{ε\to0^{+}} [2 \sqrt{x} {]_{ε}}^{1}$

$= \lim_{ε\to0^{+}} (2-2 \sqrt{ε})=2$

结论：收敛， $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx =2$ 。

例5 计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx$ 。（x=0 为瑕点）

解

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx = \lim_{ε\to0^{+}} \int_{ε}^{1} \frac{1}{x} dx = \lim_{ε\to0^{+}} [ln {x]}_{ε}^{1} = \lim_{ε\to0^{+}} (- ln ε)=+ ∞$

结论：发散。

警示：如果不注意瑕点，直接用牛顿-莱布尼茨公式计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx =[ln {x]}_{0}^{1}$ ，会得到 ln1-ln0，这是错误的！必须先识别瑕点，再按广义积分定义计算。

复习导入环节从定积分的两个基本要求出发，引出两类“超出常规定义”的情形，自然过渡到广义积分的概念。两个具体的积分实例让学生直观感受到推广的必要性。

无穷限积分部分给出三种类型的形式化定义，强调其本质是极限过程。例1和例2形成鲜明对比——同为 1/x^p 型函数，p=2 收敛而 p=1 发散。这个对比为后面的 p 积分做铺垫。

瑕积分部分先引入瑕点概念，再给出三种情形的定义。例4和例5同样形成收敛/发散的对比。特别强调了忽略瑕点直接套用牛顿-莱布尼茨公式的常见错误。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做几道练习题，检验对广义积分基本计算的掌握情况。

练习1：计算 $\int_{0}^{+\infty} e^{-x} dx$ 。

解无穷限积分，[0,+∞) 型：

$\int_{0}^{+\infty} e^{-x} dx = \lim_{t\to+∞} {[-e}^{-x} {]_{0}}^{t} = \lim_{t\to+∞} {(-e}^{-t} +1)=1$

练习2：计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{{(1-x)}^{2}} dx$ 。

解瑕积分，x=1 为瑕点（右端）：

$\int_{0}^{1} \frac{1}{{(1-x)}^{2}} dx = \lim_{ε\to0^{+}} \int_{0}^{1-ε} {(1-x)}^{-2} dx = \lim_{ε\to0^{+}} [\frac{1}{1-x} {]_{0}}^{1-ε}$

$= \lim_{ε\to0^{+}} (\frac{1}{ε} -1)=+ ∞$

结论：发散。

练习3：计算 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{{1+x}^{2}} dx$ 。

解 (-∞,+∞) 型，取 c=0 拆分：

$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{{1+x}^{2}} dx = \int_{-\infty}^{0} \frac{dx}{{1+x}^{2}} + \int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{{1+x}^{2}}$

$= \lim_{t\to-∞} [arctan {x]}_{t}^{0} + \lim_{t\to+∞} [arctan {x]}_{0}^{t} = \frac{π}{2} + \frac{π}{2} = π$

【教师】讲评要点：练习1是最基本的无穷限积分；练习2是瑕积分（注意识别瑕点在 x=1），结果发散；练习3是 (-∞,+∞) 型，需要拆成两部分分别计算。

三道练习分别覆盖：无穷限积分基本计算（练习1）、瑕积分的识别与计算（练习2）、(-∞,+∞) 型无穷限积分（练习3）。帮助学生巩固广义积分的基本定义和操作。

练习2特意选择了发散的瑕积分，提醒学生不是所有广义积分都收敛。

第二节课

知识讲解

（30 min）

四、p 积分收敛性判别（10分钟）

p 积分是广义积分中最重要的基本模型：

定理1（无穷限 p 积分）：

$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} dx$ 当 p>1 时收敛（值为 $\frac{1}{p-1}$ ），当 p≤1 时发散。

证明思路：

当 p≠1 时， $\int_{1}^{t} x^{-p} dx =[\frac{x^{1-p}}{1-p} {]_{1}}^{t} = \frac{t^{1-p} -1}{1-p}$

当 p>1 时，1-p<0，故 t^(1-p)→0（t→+∞），极限 = 1/(p-1)，收敛；

当 p<1 时，1-p>0，故 t^(1-p)→+∞（t→+∞），发散。

当 p=1 时，∫(1/x)dx = ln t → +∞，发散。

定理2（瑕积分 p 积分）：

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} dx$ 当 p<1 时收敛（值为 $\frac{1}{1-p}$ ），当 p≥1 时发散。

关键对比：无穷限 p 积分与瑕积分 p 积分的收敛条件恰好“互补”：

无穷限：p>1 收敛，p≤1 发散（分界点 p=1，1/x 发散）

瑕积分：p<1 收敛，p≥1 发散（分界点 p=1，1/x 发散）

记忆口诀：“无穷限要大（p>1），瑕积分要小（p<1）”

五、比较判别法简介（5分钟）

定理3（比较判别法）：

设在 [a,+∞) 上 0≤f(x)≤g(x)，则：

（1）若 $\int_{a}^{+\infty} g(x)dx$ 收敛，则 $\int_{a}^{+\infty} f(x)dx$ 也收敛（大的收敛，小的必收敛）；

（2）若 $\int_{a}^{+\infty} f(x)dx$ 发散，则 $\int_{a}^{+\infty} g(x)dx$ 也发散（小的发散，大的必发散）。

应用举例：

判断 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2} +1} dx$ 的收敛性。

分析：因为 $0< \frac{1}{x^{2} +1} < \frac{1}{x^{2}}$ （x≥1），而 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} dx$ 收敛（p=2>1），所以 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2} +1} dx$ 也收敛。

六、典型例题（10分钟）

例6 计算 $\int_{0}^{+\infty} {xe}^{-x} dx$ 。

解无穷限积分，用分部积分法：

$\int_{0}^{t} {xe}^{-x} dx {=[-xe}^{-x} {]_{0}}^{t} + \int_{0}^{t} e^{-x} dx {=-te}^{-t} {+[-e}^{-x} {]_{0}}^{t}$

${=-te}^{-t} {-e}^{-t} +1$

当 t→+∞ 时，te^(-t)→0，e^(-t)→0，因此

$\int_{0}^{+\infty} {xe}^{-x} dx = \lim_{t\to+∞} {(-te}^{-t} {-e}^{-t} +1)=1$

例7 计算 $\int_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt{{2x-x}^{2}}}$ 。

分析：被积函数在 x=0 和 x=2 处都趋于 +∞，两端都是瑕点。取 c=1 拆分。

解注意到 ${2x-x}^{2} {=1-(x-1)}^{2}$ ，令 x-1=sint：

$\int_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt{{1-(x-1)}^{2}}} =[arcsin {(x-1)]}_{0}^{2}$

$= arcsin (1)- arcsin (-1)= \frac{π}{2} -(- \frac{π}{2})= π$

七、Γ 函数简介（5分钟，选讲）

定义：

$Γ (s)= \int_{0}^{+\infty} x^{s-1} e^{-x} dx$ （s>0 时收敛）

基本性质：

（1）递推公式： $Γ (s+1)=s ⋅ Γ (s)$

（2）与阶乘的关系：当 n 为正整数时， $Γ (n+1)=n!$

（3）特殊值： $Γ (1)=1$ ， $Γ (\frac{1}{2})= \sqrt{π}$

意义：Γ 函数将阶乘推广到了一切正实数，在概率论、数理统计、工程数学中有广泛应用。

p 积分是广义积分中最基本的模型，其收敛条件是后续学习比较判别法的基础。通过图形对比帮助学生理解为何无穷限和瑕积分的收敛条件方向相反。

比较判别法仅作简要介绍，通过一个典型应用示例帮助学生建立初步认识。详细的比较判别法可在后续课程中深入学习。

典型例题涵盖分部积分与广义积分的结合（例6）和两端都是瑕点的情形（例7），展示广义积分计算中的综合技巧。

Γ 函数作为选讲内容，旨在开阔学生视野，展示广义积分在高等数学中的重要应用。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做综合练习，巩固广义积分的各种计算方法。

练习4：计算 $\int_{2}^{+\infty} \frac{dx}{x(ln {x)}^{2}}$ 。

解令 u=lnx，du=(1/x)dx：

$\int_{2}^{+\infty} \frac{dx}{x(ln {x)}^{2}} = \lim_{t\to+∞} \int_{ln2}^{lnt} \frac{du}{u^{2}} = \lim_{t\to+∞} [- \frac{1}{u} {]_{ln2}}^{lnt}$

$= \lim_{t\to+∞} (- \frac{1}{ln t} + \frac{1}{ln 2})= \frac{1}{ln 2}$

练习5：计算 $\int_{0}^{1} ln xdx$ 。（x=0 为瑕点）

解用分部积分法：

$\int_{ε}^{1} ln xdx =[x ln {x]}_{ε}^{1} - \int_{ε}^{1} dx =(0- ε ln ε)-(1- ε)$

当 ε→0⁺ 时，εlnε→0，因此

$\int_{0}^{1} ln xdx = \lim_{ε\to0^{+}} (- ε ln ε -1+ ε)=-1$

练习6：判断 $\int_{1}^{+\infty} \frac{sin x}{x^{2}} dx$ 的收敛性。

解由比较判别法： $| \frac{sin x}{x^{2}} | \le \frac{1}{x^{2}}$ ，而 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} dx$ 收敛（p=2>1），

所以 $\int_{1}^{+\infty} \frac{sin x}{x^{2}} dx$ 绝对收敛，从而收敛。

【教师】讲评要点：练习4综合了换元法和无穷限积分；练习5是瑕积分与分部积分的结合，需要用到极限 εlnε→0（ε→0⁺）；练习6展示了比较判别法的应用。

三道综合练习覆盖：换元法+无穷限积分（练习4）、瑕积分+分部积分（练习5）、比较判别法应用（练习6）。难度较第一轮练习有所提升，考查综合运算能力。

练习5中的极限 εlnε→0 是一个重要的技巧，值得重点讲解。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心内容：

一、广义积分的两种类型：

无穷限积分：积分区间无穷——[a,+∞)、(-∞,b]、(-∞,+∞)

瑕积分：被积函数在某点（瑕点）趋于无穷

二、广义积分的本质：

广义积分 = 定积分 + 极限。先在有限区间（或远离瑕点的区间）上求定积分，再取极限。

三、p 积分收敛性：

$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} dx$ ：p>1 收敛，p≤1 发散； $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} dx$ ：p<1 收敛，p≥1 发散。

四、关键注意事项：

（1）做广义积分前，必须先判断积分类型——是无穷限积分还是瑕积分；

（2）特别注意识别瑕点，不要忽略被积函数在积分区间内的无界点；

（3）p 积分的收敛条件：无穷限要大（p>1），瑕积分要小（p<1）。

作业布置：

计算以下广义积分，并判断收敛/发散：

① $\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^{3}}$ ② $\int_{0}^{+\infty} e^{-2x} dx$ ③ $\int_{0}^{1} \frac{dx}{sqrt[3] x}$

④ $\int_{0}^{1} \frac{dx}{1-x}$ ⑤ $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{{1+x}^{2}}$ ⑥ $\int_{2}^{+\infty} \frac{dx}{x ln x}$

预习提示：

下节课将进行定积分部分的复习与小结，请同学们系统回顾定积分的概念、计算方法和应用。重点复习：牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法在定积分中的应用、定积分的几何应用（面积、体积），以及本节课的广义积分内容。

通过知识总结图系统梳理本节课的核心内容：两种类型、计算本质、p 积分收敛性、注意事项。帮助学生形成完整的知识框架。

作业设计覆盖无穷限积分（①②⑥）和瑕积分（③④），以及 (-∞,+∞) 型（⑤），难度由基础到综合。⑥ 判断发散性，考查对 p=1 临界情形的理解。

预习任务指向下节课的定积分复习小结，帮助学生做好系统复习的准备。

教学反思

本节课系统讲授了广义积分的两种类型：无穷限积分和瑕积分。以下是具体分析：

（1）概念引入：从定积分的两个基本限制条件出发，自然引出广义积分的必要性。学生对“为什么需要推广”的理解较好，具体的积分实例起到了良好的引导作用。

（2）无穷限积分：三种类型的定义和计算学生接受度较高（约85%能正确计算基本的无穷限积分）。例1和例2的收敛/发散对比效果明显，为 p 积分的讲解做了自然铺垫。

（3）瑕积分：瑕点概念是本节课的一个难点。约70%的学生在首次练习时能正确识别瑕点，但仍有约30%的学生会忽略瑕点而直接套用牛顿-莱布尼茨公式。通过例5的“警示”环节，学生对这一错误的认识有明显提升。

（4）p 积分：收敛条件的对比讲解效果较好，“无穷限要大，瑕积分要小”的口诀帮助学生快速记忆。但在实际应用中，约40%的学生仍会混淆两类 p 积分的收敛条件，需要更多练习巩固。

（5）Γ 函数：作为选讲内容，学生表现出较大兴趣，但理解深度有限。建议在后续课程（如概率论）中再次涉及时加深理解。

（6）改进方向：① 可以增加更多瑕点识别的练习，特别是瑕点在区间内部的情形；② p 积分的图形展示可以做成动态演示，帮助学生更直观地理解收敛/发散的区别；③ 下次课可以安排 5 分钟的广义积分小测，重点检查瑕点识别和 p 积分收敛条件。