微分中值定理

教学项目

微分中值定理（第14课时）

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过前13课的学习，学生已完成函数、极限、导数与微分的全部内容，并通过两次习题课巩固了相关知识。学生具备了求导的基本技能，但对导数“如何用于研究函数性质”尚缺乏系统认识。

本课引入微分中值定理，它是连接导数与函数整体行为的桥梁，也是后续洛必达法则、泰勒公式的理论基础。定理本身条件简洁但证明思路精妙，学生需要建立“构造辅助函数”的思维方式。

根据教学计划，本课时为第27-28学时。

教学目标

知识目标：

（1）理解并掌握罗尔定理的条件和结论；

（2）理解并掌握拉格朗日中值定理及其几何意义；

（3）了解柯西中值定理的条件和结论；

（4）掌握三大中值定理之间的逻辑关系。

能力目标：

（1）能用拉格朗日中值定理证明简单的等式和不等式；

（2）初步掌握构造辅助函数的方法。

素质目标：

（1）通过定理的逐步推广，培养从特殊到一般的数学思维；

（2）通过几何直观与严格推理的结合，体会数形结合思想。

教学重点

1. 罗尔定理的三个条件和结论（费马引理的铺垫）；

2. 拉格朗日中值定理的证明思路与几何意义；

3. 中值定理在证明等式和不等式中的应用。

教学难点

及应对

1. 辅助函数的构造方法（如何将拉格朗日定理转化为罗尔定理）；

2. 利用中值定理证明不等式时的“卡ξ”技巧；

3. 柯西中值定理的理解与三定理关系的把握。

教学资源

教材《高等数学》；多媒体课件；可视化图形

教学方法

启发式教学 + 几何直观 + 逻辑推理 + 课堂练习

教学反思

本课是导数应用的理论基础。采用“几何直观引入→严格定理陈述→证明思路分析→应用示例”的教学流程，重在让学生理解定理的“为什么”而非仅仅“是什么”。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

新课讲授（40 min）

一、引入与罗尔定理（15 min）

【问题引入】

导数描述的是函数在某一点的局部变化率。那么，导数与函数在一个区间上的整体变化有什么关系？

例如：一辆车从A到B行驶100公里，用了2小时，平均速度50公里/时。那么途中是否存在某一时刻瞬时速度恰好等于50公里/时？

【费马引理（铺垫）】

若 f(x) 在 x₀ 处取得极值且可导，则 $f^{′} {(x}_{0})=0$ 。

直观理解：极值点处曲线“转向”，切线必为水平线。

【罗尔定理】

定理条件（三缺一不可）：

（1）f(x) 在 [a, b] 上连续；

（2）f(x) 在 (a, b) 内可导；

（3）f(a) = f(b)。

结论： $∃ ξ ∈ (a,b)$ ，使得 $f^{′} (ξ)=0$ 。

几何意义：

两端等高的连续曲线，中间必有水平切线。

证明思路：

由闭区间上连续函数的最大值最小值定理，f(x) 在 [a,b] 上取到最大值 M 和最小值 m。

若 M = m，则 f(x) 为常数，f′(ξ) = 0 显然成立。

若 M ≠ m，由 f(a) = f(b)，M 和 m 中至少有一个在开区间 (a,b) 内取到，由费马引理即得该点导数为零。

二、拉格朗日中值定理（15 min）

【问题】

如果去掉 f(a) = f(b) 的条件，还能得出什么结论？

定理陈述：

若 f(x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，则

$∃ ξ ∈ (a,b)$ ，使得 ${f(b)-f(a)=f}^{′} (ξ)(b-a)$ 。

等价形式：

$f^{′} (ξ)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

几何意义：

曲线上必存在一点，其切线斜率等于弦 AB 的斜率——即切线平行于弦。

证明思路（构造辅助函数）：

令 $F(x)=f(x)-f(a)- \frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a)$ ，

则 F(a) = F(b) = 0，对 F(x) 应用罗尔定理即得结论。

推论：

若 f′(x) ≡ 0（x ∈ (a,b)），则 f(x) 在 [a,b] 上为常数。

三、柯西中值定理（10 min）

定理陈述：

若 f(x), g(x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且 g′(x) ≠ 0，则

$∃ ξ ∈ (a,b)$ ，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f^{′} (ξ)}{g^{′} (ξ)}$ 。

特殊情况：

当 g(x) = x 时，g(b) - g(a) = b - a，g′(ξ) = 1，柯西中值定理退化为拉格朗日中值定理。

三大定理的逻辑关系：

从直觉到严格定理

构造辅助函数是核心方法

逐步推广加深理解

课堂测验

（10 min）

四、中值定理的应用（15 min）

应用一：证明等式

例1

设 f(x) 在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1) 内可导，且 f(0) = f(1) = 0。证明：

$∃ ξ ∈ (0,1)$ ，使得 $f^{′} (ξ)=2 ξ f(ξ)$ 。

解题思路：

目标式 f′(ξ) - 2ξ f(ξ) = 0，形如 [F(x)]′ = 0 的形式。

令 $F(x)=f(x) ⋅ e^{{-x}^{2}}$ ，则：

$F^{′} {(x)=[f}^{′} {(x)-2xf(x)]e}^{{-x}^{2}}$

又 F(0) = f(0) = 0，F(1) = f(1)·e⁻¹ = 0，

由罗尔定理，存在 ξ ∈ (0,1)，使 F′(ξ) = 0，

即 $f^{′} (ξ)-2 ξ f(ξ)=0$ 。

应用二：证明不等式

例2

证明：当 x > 0 时， $\frac{x}{1+x} < ln (1+x)<x$ 。

证明：

对 f(t) = ln t 在 [1, 1+x] 上应用拉格朗日中值定理：

$ln (1+x)- ln 1= \frac{1}{ξ} ⋅ x$ ，其中 $ξ ∈ (1,1+x)$ 。

由 $1< ξ <1+x$ ，得 $\frac{1}{1+x} < \frac{1}{ξ} <1$ ，

两边乘以 x > 0： $\frac{x}{1+x} < ln (1+x)<x$ 。证毕。

例3

证明：当 a ≠ b 时， $| sin a- sin b| ≤ |a-b|$ 。

证明：

对 f(x) = sin x 在 [a, b] 上用拉格朗日中值定理：

$sin b- sin a= cos ξ ⋅ (b-a)$

取绝对值： $| sin b- sin a|=| cos ξ | ⋅ |b-a| ≤ |b-a|$ 。

两类典型应用

构造辅助函数 + 罗尔定理

拉格朗日 + 导数估计

第二节课

课堂练习与总结（10 min）

五、课堂练习（5 min）

1. 验证罗尔定理的条件：f(x) = x² - 4x + 3，[1, 3]。求满足定理的 ξ。

2. 用拉格朗日中值定理证明：当 x > 0 时， $e^{x} >1+x$ 。

参考答案：

1. f(1) = 0, f(3) = 0, 条件满足。f′(x) = 2x - 4 = 0，解得 ξ = 2 ∈ (1,3)。

2. 对 f(t) = eᵗ 在 [0, x] 上： $e^{x} {-1=e}^{ξ} ⋅ x$ （ $0< ξ <x$ ），由 eᵍ > 1 得 eˣ - 1 > x。

巩固定理应用

课堂测验

（10 min）

课堂测验（3 min）

判断题（对/错）：

（1）若 f(x) 在 (a,b) 内可导且 f(a) = f(b)，则必存在 ξ ∈ (a,b) 使 f′(ξ) = 0。

（2）拉格朗日中值定理中的 ξ 是唯一的。

答案：

（1）错。还需要 f(x) 在 [a,b] 上连续这一条件。

（2）错。ξ 不一定唯一，可能有多个满足条件的点。

辨析定理条件

课堂小结

（5 min）

课堂小结

本课核心内容：

1. 罗尔定理：f(a)=f(b) → f′(ξ)=0（水平切线）；

2. 拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)（切线平行于弦）；

3. 柯西中值定理：[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f′(ξ)/g′(ξ)（参数形式推广）；

4. 三大定理逐步推广：罗尔 → 拉格朗日 → 柯西。

关键方法：

• 构造辅助函数 + 罗尔定理 → 证明等式；

• 拉格朗日中值定理 + 估计导数范围 → 证明不等式。

下节课预告：洛必达法则——利用导数求未定式的极限。

三大定理要点

预告洛必达法则

教学反思

本课是导数应用的理论核心，教学效果整体较好。

教学效果分析：

1. 罗尔定理的几何直观学生容易接受，条件理解较好（约85%）；

2. 拉格朗日中值定理是重点，“切线平行于弦”的图示帮助很大；

3. 辅助函数的构造是最大难点，约50%的学生能理解证明思路；

4. 柯西中值定理因课时限制只作了解要求，后续学洛必达时再强化。

改进方向：

1. 增加辅助函数构造的“反推法”训练（从结论反推应设什么F(x)）；

2. 补充更多不等式证明的练习题；

3. 制作三大定理对比表发给学生复习。