教学项目

总复习——不定积分、定积分与常微分方程

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过19次课的系统学习，学生已经完成了本学期高等数学的全部教学内容，包括不定积分（第1-7课）、定积分及其应用（第8-14课）和常微分方程（第15-19课）三大模块。

从历次课堂测验和课后作业的完成情况来看：（1）不定积分模块：约85%的学生掌握了基本积分公式和第一类换元法，约70%掌握了第二类换元法和分部积分法；（2）定积分模块：约80%的学生能正确运用牛顿-莱布尼茨公式，约65%能完成面积和旋转体体积的计算；（3）微分方程模块：约75%的学生掌握了一阶微分方程的求解，约60%能正确求解二阶常系数线性方程。

本节课为期末考试前的最后一次课，通过系统回顾三大模块的核心知识、梳理解题方法、讲解综合例题，帮助学生构建完整的知识体系，提高综合解题能力，做好期末考试的准备。

根据教学计划，本课时为第39-40学时（学期最后两学时）。

教学目标

知识目标：

（1）系统回顾不定积分的概念、性质和三大计算方法；

（2）系统回顾定积分的概念、微积分基本定理和几何应用；

（3）系统回顾常微分方程的基本概念和各类方程的求解方法；

（4）理清三大模块之间的内在联系，构建完整知识体系。

能力目标：

（1）提高快速识别题目类型、选择合适方法的判断能力；

（2）提高综合运用多种方法求解复杂问题的计算能力；

（3）提高规范作答、减少运算失误的应试能力。

素质目标：

（1）通过知识体系梳理，培养系统思维和归纳总结能力；

（2）通过综合例题训练，增强学生的学习自信心和成就感。

教学重点

1. 三大模块核心知识的系统梳理；

2. 综合题的分析思路和求解策略；

3. 常见易错点的归纳和防范。

教学难点

及应对

1. 知识体系的融会贯通，跨模块综合题的解题策略；

2. 积分方法的灵活选择与综合运用；

3. 考试中的时间分配和答题规范。

教学资源

教材《高等数学》第8-10章；多媒体课件；知识框架图

教学方法

讲授法 + 启发式教学 + 师生互动 + 归纳总结法

教学反思

本节课作为总复习课，需要在有限时间内帮助学生构建完整的知识体系。通过知识框架图的方式呈现各模块的内容结构，有助于学生建立全局视角。综合例题的选取应兼顾典型性和综合性，覆盖常考题型。课堂上要注意调动学生的参与度，避免教师单方面讲授。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、课程总论（5 min）

本学期高等数学（下）共学习了三大模块：

（1）不定积分（第8章，7课时）：研究求原函数的方法；

（2）定积分及其应用（第9章，7课时）：研究“求和”问题，建立微积分基本定理；

（3）常微分方程（第10章，5课时）：研究含导数的方程，求未知函数。

三大模块的核心联系：

不定积分提供计算工具 → 牛顿-莱布尼茨公式连接 → 定积分解决实际问题

积分方法 → 微分方程求解的基础

二、不定积分复习（15 min）

2.1 核心概念

原函数：若 ${''F''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''(x)=f(x)''$，则F(x)是f(x)的一个原函数。

不定积分：$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''f(x)dx''''=F(x)+C''$ （C为任意常数）

基本性质：$''(''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''f(x)dx)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=f(x)''$；$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''F''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''(x)dx''''=F(x)+C''$

2.2 三大计算方法

方法一：第一类换元法（凑微分）

核心思想：$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''f(g(x))g''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''(x)dx''''=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''f(u)du''$，其中u=g(x)。

常见凑微分类型：

$''x\; dx=''\frac{''1''}{''2''}{''d(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}'')''$；$''cos''''x\; dx=d(''''sin''''x)''$；${''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''dx=d(e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}'')''$；$\frac{''dx''}{''x''}''=d(''''ln''''x)''$

方法二：第二类换元法

适用于含根式或特殊结构的被积函数：

含 $\sqrt{{''a''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$：令 x=a sin t

含 $\sqrt{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+a''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$：令 x=a tan t

含 $\sqrt{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''-a''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$：令 x=a sec t

方法三：分部积分法

公式：$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''u\; dv''''=uv-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''v\; du''$

LIATE法则选u（越靠前越优先选作u）：

L-对数函数，I-反三角函数，A-代数函数，T-三角函数，E-指数函数。

2.3 综合例题

例1

求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''x''}{\sqrt{{''1-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}}''dx''$

解：凑微分法。令 ${''u=1-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$，$''du=-2x\; dx''$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''x''}{\sqrt{{''1-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}}''dx''''=-''\frac{''1''}{''2''}\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''u''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1/2</ms>}}''du''''=-''\frac{''1''}{''2''}''\cdot ''{''2u''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1/2</ms>}}''+C=-''\sqrt{{''1-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''+C''$

例2

求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''$

解：分部积分法，u=${''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$，dv=${''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''{''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''-2''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''{''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''-2(xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''-e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}'')+C''$

${''=(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''-2x+2)e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''+C''$

三、定积分复习（15 min）

3.1 核心定理

微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）：

若F(x)是f(x)的一个原函数，则 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{{}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">a</ms>}}}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">b</ms>}}''f(x)dx''''=F(b)-F(a)''$

积分上限函数：$''\Phi ''''(x)=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{{}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">a</ms>}}}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''f(t)dt''$，则 ${''\Phi ''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''(x)=f(x)''$

3.2 定积分的计算

换元法要点：换元必换限！设x=g(t)，则

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{{}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">a</ms>}}}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">b</ms>}}''f(x)dx''''=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{{}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\alpha </ms>}}}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\beta </ms>}}{''f(g(t))g''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''(t)dt''$

常用性质：

奇函数在对称区间：$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{{}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-a</ms>}}}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">a</ms>}}''f(x)dx''''=0''$（f为奇函数）

偶函数在对称区间：$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{{}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-a</ms>}}}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">a</ms>}}''f(x)dx''''=2''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{{}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">a</ms>}}''f(x)dx''$（f为偶函数）

3.3 几何应用

面积：$''S=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{{}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">a</ms>}}}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">b</ms>}}''|f(x)-g(x)|dx''$

绕x轴旋转体体积：${''V''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''=''''\pi ''''''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{{}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">a</ms>}}}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">b</ms>}}{''f''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''(x)dx''$

绕y轴旋转体体积（柱壳法）：${''V''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">y</ms>}}''=2''''\pi ''''''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{{}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">a</ms>}}}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">b</ms>}}''x|f(x)|dx''$

3.4 广义积分

无穷区间：$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{{}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">a</ms>}}}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">+</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\infty </ms>}}''f(x)dx''''=''{''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">b</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; +</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\infty </ms>}}\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{{}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">a</ms>}}}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">b</ms>}}''f(x)dx''$

瑕积分：被积函数在某点趋于无穷，取极限判断收敛性。

3.5 综合例题

例3

求由 ${''y=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$ 与 $''y=x''$ 围成的平面图形的面积。

解：交点为x=0和x=1。

$''S=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{{}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}{''(x-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}'')dx''''=(''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}''-''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}{''3''}{{'')|''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}''=''\frac{''1''}{''2''}''-''\frac{''1''}{''3''}''=''\frac{''1''}{''6''}$

例4

求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{{}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}{''xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}''dx''$

解：分部积分。

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{{}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}{''xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}''dx''{''=(-xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}{{'')|''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}''+''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{{}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}''dx''{''=-e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{''+(-e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}{{'')|''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}{''=-e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{''+1-e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{''=1-2e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}$

总论帮助建立全局视角

不定积分复习突出方法分类

例题覆盖常考类型

定积分复习强调基本定理

几何应用是考试重点

课堂测验

（10 min）

四、微分方程复习（15 min）

4.1 方程类型识别与求解方法

一阶方程：

(1) 可分离变量方程 $''g(y)dy=f(x)dx''$ → 两边直接积分

(2) 齐次方程 $\frac{''dy''}{''dx''}''=''''\varphi ''''(''\frac{''y''}{''x''}'')''$ → 令v=y/x，化为可分离变量

(3) 一阶线性方程 ${''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''+P(x)y=Q(x)''$ → 通解公式

通解：

(4) 伯努利方程 ${''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''+P(x)y=Q(x)y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">n</ms>}}$ → 令${''z=y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1-n</ms>}}$化为线性方程

二阶常系数线性方程：

齐次方程 ${''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime \prime </ms>}}{''+py''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''+qy=0''$ → 特征方程 ${''r''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+pr+q=0''$

两个不等实根：

重根：

${''y=(C''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}{''+C''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''x)e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">rx</ms>}}$

共轭复根：

${''y=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\alpha </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; x</ms>}}{''(C''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}''cos''''''''\beta ''{''x+C''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''sin''''''''\beta ''''x)''$

非齐次方程 ${''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime \prime </ms>}}{''+py''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''+qy=f(x)''$ → 待定系数法求特解

4.2 综合例题

例5

求方程 ${''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime \prime </ms>}}{''+4y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''+4y=0''$ 的通解。

解：特征方程 ${''r''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+4r+4=0''$，即 ${''(r+2)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=0''$，重根r=-2。

通解：${''y=(C''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}{''+C''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''x)e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-2x</ms>}}$

例6

求方程 ${''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime \prime </ms>}}{''-3y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''+2y=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3x</ms>}}$ 的通解。

解：特征方程 ${''r''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''-3r+2=0''$，${''r''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}''=1''$，${''r''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=2''$

齐次通解：${''Y=C''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''+C''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2x</ms>}}$

特解形式：${''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">*</ms>}}{''=ae''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3x</ms>}}$（3不是特征根，k=0）

代入：${''9ae''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3x</ms>}}{''-9ae''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3x</ms>}}{''+2ae''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3x</ms>}}{''=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3x</ms>}}$，得2a=1，a=1/2。

通解：${''y=C''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''+C''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2x</ms>}}''+''\frac{''1''}{''2''}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3x</ms>}}$

例7（综合题）

求方程 ${''xy''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''-y=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''sin''''x''$ 满足 $''y(''''\pi '''')=0''$ 的特解。

解：化为标准形式：${''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''-''\frac{''1''}{''x''}''y=x''''sin''''x''$

P(x)=-1/x，$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''P\; dx''''=-''''ln''''x''$，

通解：

$''y=x(''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''sin''''x''''\cdot ''''''\frac{''1''}{''x''}''dx+C)''''=x(''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''sin''''x\; dx+C)''''=x(-''''cos''''x+C)''$

$''=-x''''cos''''x+Cx''$

代入y($''\pi ''$) = 0：$''0=-''''\pi ''''''''cos''''''''\pi ''''+C''''\pi ''''=''''\pi ''''+C''''\pi ''$，C=-1。

特解：$''y=-x''''cos''''x-x=x(-''''cos''''x-1)''$

微分方程复习强调类型识别

表格式总结方便对比记忆

例题覆盖特征方程三种情况

综合题融合线性方程与初值问题

第二节课

综合训练（20 min）

五、常见题型与应试技巧（10 min）

5.1 计算题解题规范

1. 不定积分：写出中间步骤，最后不忘+C；

2. 定积分：换元必换限，上下限不能漏；

3. 面积/体积：先画草图确定积分区域和上下限；

4. 微分方程：先判断类型 → 写出标准形式 → 套用方法 → 验证（有时间时）。

5.2 常见易错点

1. 不定积分忘记+C；

2. 定积分换元后忘记换积分限；

3. 面积公式中忘记取绝对值 $''|f(x)-g(x)|''$；

4. 微分方程未化为标准形式就直接套公式；

5. 二阶方程的待定系数法中，当f(x)中的指数与特征根相同时忘记乘x。

六、三大模块之间的联系（5 min）

不定积分是定积分计算的基础（通过牛顿-莱布尼茨公式连接）；

积分运算是微分方程求解的核心工具；

微分方程的几何应用问题常涉及定积分。

例如：求曲线y=f(x)，使得该曲线上任一点的切线斜率等于该点横坐标的两倍，且曲线过点(1,1)。

建立微分方程：${''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=2x''$

积分得：${''y=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+C''$

代入(1,1)：C=0，故 ${''y=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$

七、综合练习（5 min）

请同学们快速完成以下题目：

1. 求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''ln''''x''}{''x''}''dx''$

2. 求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{{}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}\frac{''x''}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''dx''$

3. 求方程 ${''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime \prime </ms>}}''+y=0''$ 的通解

4. 求由 $''y=''\sqrt{''x''}$ 和 ${''y=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$ 围成图形绕x轴旋转的体积

参考答案：

1. $\frac{''1''}{''2''}''(''''ln''{''x)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+C''$

2. $\frac{''1''}{''2''}''ln''''2''$

3. ${''y=C''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}''cos''{''x+C''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''sin''''x''$（特征根r=$''\pm ''''i''$）

4. $''V=''''\pi ''''''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{{}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}{''(x-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">4</ms>}}'')dx''''=''''\pi ''''(''\frac{''1''}{''2''}''-''\frac{''1''}{''5''}'')=''\frac{''3''''\pi ''}{''10''}$

应试技巧帮助提高考试成绩

易错点总结防范常见失误

模块联系帮助构建知识体系

综合练习检验复习效果

课堂测验

（10 min）

期末考试注意事项

1. 考试形式

闭卷笔试，120分钟，满分100分。

2. 题型分布（参考）

填空题：约20分（10小题）

选择题：约20分（10小题）

计算题：约50分（5-6大题）

综合应用题：约10分（1-2题）

3. 答题建议

（1）先做会做的题，保证基础分；

（2）计算题要写清楚过程，分步骤得分；

（3）注意积分常数C、换元换限、标准形式等易错环节；

（4）做完后利用剩余时间检查计算过程；

（5）应用题先画图，建立数学模型再计算。

4. 复习建议

（1）以教材例题和习题为主，重做不会的题目；

（2）整理错题本，分析错误原因；

（3）按知识模块分类复习，查缺补漏；

（4）做1-2套模拟题，适应考试节奏。

考试信息帮助学生做好准备

答题建议提高应试效率

复习建议指导课后自主学习

课堂小结

（5 min）

课堂小结

一、本学期核心内容回顾

第8章 不定积分：

概念（原函数、不定积分） → 方法（直接积分、换元、分部） → 技巧（凑微分、LIATE）

第9章 定积分及应用：

概念（黎曼和、性质） → 定理（牛顿-莱布尼茨） → 计算 → 应用（面积、体积、广义积分）

第10章 常微分方程：

概念 → 一阶方程（分离变量、齐次、线性、伯努利） → 二阶常系数（特征方程、待定系数）

二、三条主线

1. 积分计算能力：贯穿三大模块的核心技能；

2. 方程求解思想：从代数方程到微分方程的递进；

3. 数学建模思维：从抽象公式到实际应用。

三、寄语

本学期的学习是高等数学学习的重要阶段。同学们通过系统的学习和训练，已经具备了积分计算和微分方程求解的基本能力。希望大家在考前认真复习，查缺补漏，以饱满的信心迎接期末考试。祝大家取得好成绩！

总结帮助学生形成完整知识框架

三条主线帮助理解课程脉络

结束语鼓励学生自信迎考

教学反思

本节课作为总复习课，在90分钟内系统回顾了不定积分、定积分和微分方程三大模块的核心内容。

教学效果分析：

1. 知识框架图的展示效果较好，学生通过可视化的方式能够快速回忆和梳理各模块的知识点，建立模块之间的联系。

2. 综合例题的选择基本覆盖了常考题型，但由于时间限制，每道例题的讲解不够深入，建议下学期增加一次习题课用于综合训练。

3. 课堂练习环节学生参与度较高，大多数学生能在规定时间内完成基础题目，但综合应用题仍有部分学生感到困难。

4. 应试技巧和易错点总结受到学生欢迎，建议今后在每个模块的复习课中都加入类似的总结环节。

本学期教学反思：

1. 积分部分的课时安排总体合理，但第二类换元法可以适当增加练习时间；

2. 微分方程部分的内容较多，二阶方程的待定系数法部分学生掌握不够扎实，建议下学期适当调整课时分配；

3. 应用题的训练应贯穿整个教学过程，而非集中在复习阶段；

4. 可以考虑引入更多的数学软件辅助教学，帮助学生直观理解积分和微分方程的几何意义。