教学项目

总复习（上）（第20课时）

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

本学期共完成三个单元的教学：第一单元（函数、极限与连续，第1-8课）、第二单元（导数与微分，第9-13课）、第三单元（导数的应用，第14-19课）。

学生已完成19课的学习和两次单元习题课，基本掌握了高等数学（上）的核心知识。但从整体来看，各单元之间的逻辑联系尚需强化，部分学生对某些知识点的理解停留在孤立层面，未能建立“函数→极限→导数→应用”的完整知识链。

本节总复习课旨在帮助学生建立全景视图，梳理核心公式和方法，辨析易混知识点。

根据教学计划，本课时为第37-38学时。

教学目标

知识目标：

（1）建立高等数学（上）完整知识框架：函数→极限→导数→应用；

（2）系统回顾极限的核心公式（两个重要极限、等价无穷小）；

（3）系统回顾导数的公式、法则和应用方法。

能力目标：

（1）能根据题目类型快速选择正确的解题策略；

（2）能独立完成综合性较强的期末复习题。

素质目标：

（1）通过全景梳理，建立系统化的数学思维；

（2）通过错误辨析，养成考试审题的严谨习惯。

教学重点

1. 三个单元知识的逻辑联系和体系构建；

2. 极限、导数核心公式的系统复习；

3. 典型题型的解题策略。

教学难点

及应对

1. 易混知识点的辨析（连续vs可导、极值vs最值等）；

2. 综合题中多种方法的灵活选择；

3. 中值定理应用题的辅助函数构造。

教学资源

教材《高等数学》全册；多媒体课件；复习提纲

教学方法

全景梳理 + 公式回顾 + 错误辨析 + 综合练习

教学反思

本课是全学期的总复习课。采用“全景图引领→公式系统回顾→易混辨析→综合练习”的策略，帮助学生在考前建立完整的知识结构。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识体系梳理与公式回顾（35 min）

一、全学期知识全景（5 min）

知识逻辑链：

函数（研究对象）→ 极限（核心工具）→ 导数/微分（局部变化率）→ 导数应用（函数性态分析）。

每一步都建立在前一步的基础上：导数的定义需要极限，极限的研究对象是函数。

二、极限核心公式回顾（10 min）

重点回顾：

1. 两个重要极限（必须熟记，不需推导）；

2. 八个常用等价无穷小（x→0 时）；

3. 求极限的四大方法：直接代入、等价替换、洛必达、夹逼准则。

快速练习：

(1) ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''tan''''x-''''sin''''x''}{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}$ = ?

答：tan x - sin x = sin x(1/cos x - 1) = sin x · (1-cos x)/cos x

~ x · x²/2 / 1 = x³/2，故原式 = 1/2。

三、导数公式与方法回顾（10 min）

要点：

1. 12个基本求导公式（必须熟记）；

2. 六种求导方法：公式法、链式法则、隐函数、参数方程、对数求导、高阶导数；

3. 导数的四大应用：中值定理、洛必达法则、函数分析、最优化。

四、易混知识点辨析（10 min）

核心辨析：

（1）连续 vs 可导：可导必连续，连续不一定可导（如 |x|）；

（2）极值 vs 最值：极值是局部概念，最值是全局概念；

（3）驻点 vs 极值点：驻点不一定是极值点（如 x³ 在 x=0）；

（4）f″ > 0 是凹（碗口朝上），f″ < 0 是凸（碗口朝下）；

（5）等价无穷小替换只在乘除中有效，加减中不能直接替换。

全景图建立宏观视野

核心公式系统回顾

易混辨析防止丢分

课堂测验

（10 min）

五、典型题型策略（5 min）

做题策略总结：

1. 求极限：先代入判断类型 → 选方法（直接/等价/洛必达/夹逼）；

2. 求导数：先判断函数类型 → 选方法（公式/链式/隐/参/对数）；

3. 证明题：从结论反推 → 构造辅助函数 → 用中值定理；

4. 函数分析：六步法（定义域→对称性→f′→f″→渐近线→作图）。

题型策略指导

第二节课

综合练习与总结（15 min）

六、综合练习（10 min）

1. 求 ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''-e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}''-2x''}{''x-''''sin''''x''}$。

2. 设 ${''y=(1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">arctan</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; x</ms>}}$，求 y′。

3. 求 $''f(x)=''\frac{''ln''''x''}{''x''}$ 的极值。

参考答案：

1. 0/0 型，洛必达三次：

$''lim''''''\frac{{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''+e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}''-2''}{''1-''''cos''''x''}''=''''lim''''''\frac{{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''-e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}}{''sin''''x''}''=''''lim''''''\frac{{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''+e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}}{''cos''''x''}''=''\frac{''2''}{''1''}''=2''$

2. 对数求导：ln y = arctan x · ln(1+x²)，

y′ = (1+x²)^(arctan x) · [$\frac{''ln''{''(1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}'')''}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''+''\frac{''2x''''\cdot ''''''''arctan''''x''}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$]。

3. ${''f''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''(x)=''\frac{''1-''''ln''''x''}{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''=0''$，得 x = e。f′(x) 在 x=e 由正变负，极大值 f(e) = 1/e。

综合练习涵盖三个单元

课堂测验

（10 min）

课堂测验（3 min）

判断正误：

（1）若 f(x) 在 x₀ 处连续，则 f(x) 在 x₀ 处可导。

（2）若 f′(x₀) = 0，则 f(x₀) 是极值。

（3）${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''x-''''sin''''x''}{''x''}''=0''$。

答案：

（1）错。连续不一定可导（反例：|x| 在 x=0）。

（2）错。驻点不一定是极值点（反例：x³ 在 x=0）。

（3）对。(x-sin x)/x = 1 - sin x/x → 1 - 1 = 0。

核心概念辨析

课堂小结

（5 min）

学期总结

全学期核心要点：

1. 函数是研究对象：定义域、值域、基本性质、复合与反函数；

2. 极限是核心工具：ε-δ 定义、运算法则、两个重要极限、等价无穷小；

3. 导数是核心概念：定义（差商极限）、公式、六种求导方法；

4. 导数应用是最终目标：中值定理、洛必达、函数分析、最优化。

考试建议：

• 公式必须熟记（求导公式、等价无穷小、两个重要极限）；

• 解题先判断类型，再选方法，不要盲目计算；

• 注意条件验证（洛必达使用条件、定理的适用条件）；

• 做完检查：结果是否合理、符号是否正确、条件是否满足。

四大板块总结

考试建议

教学反思

本节是全学期的总复习课，信息量较大。

教学效果分析：

1. 全景图帮助学生看到了知识之间的逻辑联系，反馈较好；

2. 公式回顾环节发现部分学生对等价无穷小公式记忆不牢，需加强；

3. 易混辨析最受欢迎，学生表示“终于分清楚了”；

4. 综合练习环节时间略紧，建议课后布置更多综合题。

期末复习建议：

1. 将本课的知识全景图打印发给学生作为复习导图；

2. 整理“核心公式手册”（A4纸一页），方便学生快速查阅；

3. 出一份模拟试题，涵盖三个单元的主要题型；

4. 安排课后答疑时间，重点辅导中值定理证明和综合分析题。