教学项目

曲线的凹凸性与拐点（第18课时）

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

上节课学习了函数的单调性、极值与最值（第16课），学生已掌握用一阶导数分析函数的增减性和极值。本课进一步利用二阶导数研究曲线的弯曲方向（凹凸性）和拐点，并综合一、二阶导数信息完成函数图形的描绘。

学生对二阶导数已有概念基础（第11课高阶导数），但“二阶导数与图形形状的关系”尚需建立直观认识。渐近线的概念学生在高中有初步接触（水平和垂直），斜渐近线是新内容。

根据教学计划，本课时为第33-34学时。

教学目标

知识目标：

（1）理解曲线凹凸性的定义，掌握用二阶导数判定凹凸性；

（2）理解拐点的定义，掌握求拐点的方法；

（3）掌握三种渐近线的求法；

（4）能综合运用导数信息描绘函数图形。

能力目标：

（1）能独立完成函数的完整分析（单调、极值、凹凸、拐点、渐近线）；

（2）能画出函数的大致图形。

素质目标：

（1）通过图形描绘，培养数形结合的思维习惯；

（2）通过系统化的分析步骤，培养有条理的思维方式。

教学重点

1. 凹凸性的判定：f″(x) > 0 凹，f″(x) < 0 凸；

2. 拐点的求法（f″(x) = 0 且前后变号）；

3. 函数图形描绘的完整步骤（六步法）。

教学难点

及应对

1. 凹凸性的直观理解（弧与弦的位置关系）；

2. 斜渐近线的求法（k 和 b 的极限公式）；

3. 综合分析与作图的熟练度。

教学资源

教材《高等数学》；多媒体课件；可视化图形

教学方法

图形演示 + 对比分析 + 综合示例 + 课堂练习

教学反思

本课将一阶导数（单调极值）和二阶导数（凹凸拐点）信息综合起来，完成函数图形的完整描绘。教学上采用“逐步叠加信息”的方式，让学生体会导数工具的系统性和强大性。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

新课讲授（35 min）

一、曲线的凹凸性（10 min）

定义：

设 f(x) 在区间 I 上连续，

若对 I 上任意两点 x₁, x₂，恒有

则称 f(x) 在 I 上的图形是凹的；反之为凸的。

直观理解：

• 凹曲线：弧在弦的下方（“碗口朝上”）；

• 凸曲线：弧在弦的上方（“碗口朝下”）。

判定定理：

设 f(x) 在 (a,b) 内二阶可导，则：

（1）f″(x) > 0 → 曲线在 (a,b) 内是凹的；

（2）f″(x) < 0 → 曲线在 (a,b) 内是凸的。

二、拐点（10 min）

定义：

连续曲线上凹凸性改变的点称为拐点。

求拐点的步骤：

（1）求 f″(x)，令 f″(x) = 0 或找 f″(x) 不存在的点；

（2）检验这些点两侧 f″(x) 是否变号；

（3）变号则为拐点，不变号则不是。

例1

求 y = x³ − 3x 的拐点。

解：${''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime \prime </ms>}}''=6x''$，令 y″ = 0 得 x = 0。

x < 0 时 y″ < 0（凸），x > 0 时 y″ > 0（凹），变号。

拐点为 (0, 0)。

三、渐近线（8 min）

三种渐近线：

（1）水平渐近线：${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\pm </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\infty </ms>}}''f(x)=c''$ → y = c。

（2）垂直渐近线：${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; a</ms>}}''f(x)=''''\infty ''$ → x = a。

（3）斜渐近线：$''k=''{''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\infty </ms>}}\frac{''f(x)''}{''x''}$，$''b=''{''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\infty </ms>}}''[f(x)-kx]''$ → y = kx + b。

四、函数图形描绘（7 min）

六步法：

定义域 → 对称性 → 一阶导数（单调极值） → 二阶导数（凹凸拐点） → 渐近线 → 描点连线。

凹凸性直观引入

拐点：变号判定

三类渐近线 + 六步法

课堂测验

（10 min）

五、综合作图示例（10 min）

例2

描绘 ${''y=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}{''-3x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+1''$ 的图形。

分析：

1. 定义域：(−∞, +∞)，无对称性。

2. ${''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''=3x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''-6x=3x(x-2)''$，驻点 x = 0, x = 2。

x ∈ (−∞,0)：y′>0 递增；x ∈ (0,2)：y′<0 递减；x ∈ (2,+∞)：y′>0 递增。

极大值 f(0) = 1，极小值 f(2) = −3。

3. ${''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime \prime </ms>}}''=6x-6=6(x-1)''$，令 y″=0 得 x=1。

x < 1 时 y″<0（凸），x > 1 时 y″>0（凹）。

拐点 (1, −1)。

4. 无渐近线。

六步法完整示范

第二节课

课堂练习与总结（15 min）

六、课堂练习（8 min）

1. 求 ${''y=xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}$ 的凹凸区间和拐点。

2. 求 $''y=''\frac{''x''}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$ 的水平渐近线。

参考答案：

1. y′=(1−x)e⁻ˣ, y″=(x−2)e⁻ˣ。令 y″=0 得 x=2。x<2 凸，x>2 凹。拐点 (2, 2e⁻²)。

2. lim(x→±∞) x/(1+x²) = 0，水平渐近线 y = 0。

凹凸拐点+渐近线练习

课堂测验

（10 min）

课堂测验（2 min）

判断：y = x⁴ 在 x = 0 处是否为拐点？

答案：

y″ = 12x²，y″(0) = 0。但 x < 0 时 y″ > 0，x > 0 时 y″ > 0，二阶导数不变号，故 x = 0 不是拐点。

辨析拐点条件

课堂小结

（5 min）

课堂小结

本课核心内容：

1. 凹凸性：f″(x) > 0 凹（碗口朝上），f″(x) < 0 凸（碗口朝下）；

2. 拐点：f″(x) = 0 且前后变号的点；

3. 渐近线：水平（x→∞）、垂直（f→∞）、斜（k, b 公式）；

4. 函数作图六步法：定义域→对称性→f′→f″→渐近线→描点。

下节课预告：第三单元习题课——导数应用的系统复习（中值定理、洛必达、单调极值、凹凸拐点）。

四条要点

预告习题课

教学反思

本课内容较多（凹凸性+拐点+渐近线+作图），节奏需要控制。

教学效果分析：

1. 凹凸性的“碗口”比喻学生接受良好（约85%理解）；

2. 拐点的变号判定与极值的变号判定类似，学生迁移较好；

3. 斜渐近线的求法是新难点，k 和 b 的极限公式需要多练习；

4. 综合作图六步法学生能理解流程，但独立完成需要更多练习。

改进方向：

1. 可考虑将渐近线和作图分成两节课，减少单课内容量；

2. 增加更多综合作图的练习题（有渐近线的函数）；

3. 制作“函数分析列表模板”发给学生。