教学项目

曲面与空间曲线

授课地点

教学楼多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

学生已掌握平面方程和空间直线方程，对空间解析几何的基本方法有了初步认识。本节课将推广到更一般的空间几何对象——曲面和空间曲线。学生需要理解“曲面方程”和“空间曲线方程”的含义，并认识常见的二次曲面。旋转曲面的生成方法需要较强的空间想象力。

教学目标

1. 知识目标

理解曲面方程和空间曲线方程的概念，掌握球面、柱面方程。

2. 能力目标

能识别常见二次曲面，能求旋转曲面方程和空间曲线的参数方程。

3. 素养目标

培养空间想象能力，体会代数方程与几何图形的对应关系。

教学重点

1. 球面方程和柱面方程；

2. 旋转曲面方程的建立方法；

3. 空间曲线的一般式和参数式方程。

教学难点

及应对

1. 二次曲面的分类与识别；

2. 旋转曲面方程的推导思路；

3. 空间曲线参数方程的几何意义。

教学资源

多媒体课件、三维可视化、教案配图

教学方法

讲授法、图示法、三维演示、练习巩固

教学反思

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、曲面方程的概念

空间中满足方程 F(x,y,z)=0 的所有点构成一个曲面。

方程中 x,y,z 的关系完全确定了曲面的形状和位置。

1. 球面方程

圆心$''(a,b,c)''$、半径$''R''$的球面：

${''(x-a)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+(y-b)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+(z-c)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''=R''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$

例1 求圆心(1,2,-1)、半径3的球面方程。

解：${''(x-1)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+(y-2)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+(z+1)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=9''$

2. 柱面

方程中缺少某个变量时，表示一个柱面（母线平行于该变量所在轴）。

例：${''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''=R''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$ 是圆柱面（母线平行于z轴）

例：${''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=2px''$ 是抛物柱面

二、常见二次曲面

椭球面：$\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''a''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''+''\frac{{''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''b''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''+''\frac{{''z''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''c''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''=1''$

单叶双曲面：$\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''a''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''+''\frac{{''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''b''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''-''\frac{{''z''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''c''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''=1''$

双叶双曲面：$\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''a''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''-''\frac{{''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''b''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''-''\frac{{''z''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''c''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''=1''$

椭圆抛物面：$''z=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''a''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''+''\frac{{''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''b''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$

双曲抛物面（马鞍面）：$''z=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''a''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''-''\frac{{''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''b''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$

圆锥面：$\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''a''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''+''\frac{{''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''b''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''=z''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$

三、旋转曲面

一条平面曲线绕该平面内一条直线（旋转轴）旋转一周所生成的曲面。

方法：设xOz平面上曲线$''f(x,z)=0''$绕z轴旋转：

将x替换为$''\pm ''''''\sqrt{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$，得$''f(''''\pm ''''''\sqrt{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}'',z)=0''$

例2 xOz平面上直线$''z=x''$（$''x''''\ge ''''0''$）绕z轴旋转，求旋转曲面方程。

解：将x替换为$\sqrt{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$：$''z=''\sqrt{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$

即${''z''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$（$''z''''\ge ''''0''$），这是上半圆锥面。

球面和柱面方程是最基本的曲面方程。

二次曲面分类通过截面法辅助理解。

旋转曲面的替换法则是重要技巧。

课堂测验

（10 min）

四、空间曲线

1. 一般式方程（两个曲面的交线）：

$''F(x,y,z)=0''$ 且 $''G(x,y,z)=0''$

例3 球面${''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+z''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=4''$与平面$''z=1''$的交线是什么？

解：将$''z=1''$代入球面方程：${''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=3''$

交线是平面$''z=1''$上圆心为(0,0,1)、半径为$\sqrt{''3''}$的圆。

2. 参数式方程

$''x=x(t),\; y=y(t),\; z=z(t)''$ （t为参数）

例4（螺旋线）：

$''x=a''''\backslash cos''''t,\; y=a''''\backslash sin''''t,\; z=bt''$

螺旋线在圆柱面上均匀上升，是空间曲线的典型例子。

空间曲线在坐标面上的投影：

从曲线的联立方程中消去一个变量，得到的方程与被消变量=0（或任意值）构成投影柱面。

两曲面交线和参数方程是空间曲线的两种表示。

螺旋线是参数方程的经典应用。

投影概念为后续多元函数学习做铺垫。

第二节课

课堂练习（20 min）

练习1 求球面${''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+z''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''-2x+4y-6z=0''$的圆心和半径。

解：配方：${''(x-1)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+(y+2)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+(z-3)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=14''$

圆心(1,-2,3)，半径$''R=''\sqrt{''14''}$

练习2 xOz平面上曲线${''z=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$绕z轴旋转，求旋转曲面方程。

解：将x替换为$\sqrt{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$：

${''z=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$（旋转抛物面）

练习3 识别曲面$\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''4''}''+''\frac{{''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''9''}''+''\frac{{''z''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''1''}''=1''$的类型。

解：这是椭球面，三个半轴长分别为 a=2, b=3, c=1。

练习1巩固球面方程的配方化简。

练习2强化旋转曲面的替换法则。

练习3识别二次曲面类型。

课堂测验

（10 min）

补充：截面法识别二次曲面

用平行于坐标面的平面去截二次曲面：

• 截面形状（椭圆/双曲线/抛物线/直线/点）

• 截面大小随截距的变化规律

可以帮助判断曲面类型和想象三维形状。

截面法是理解二次曲面的重要辅助手段。

课堂小结

（5 min）

课堂小结

本节课核心知识点：

1. 球面方程：${''(x-a)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+(y-b)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+(z-c)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''=R''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$

2. 柱面：方程缺某变量 → 母线平行该轴

3. 旋转曲面：替换法则 $''x''''\backslash to''''''''\pm ''''''\sqrt{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$

4. 空间曲线：一般式（两面联立）或参数式

下节预告：第五章习题课——综合运用向量代数和空间解析几何的方法解决问题。

总结曲面方程的各种类型和建立方法。

预告习题课进行综合训练。

教学反思

二次曲面种类多，学生初次接触难以全部记住，建议以图形为主。

旋转曲面的替换法则是重要技巧，需通过多个例子强化。

三维可视化图形对空间想象力的培养帮助很大。

螺旋线参数方程直观有趣，可激发学生兴趣。

下节习题课需重点复习向量积和平面/直线方程的综合应用。