教学项目

矩阵初等变换与线性方程组

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

学生已经学习了矩阵的概念、运算（加法、数乘、乘法）、行列式的计算以及逆矩阵的概念和伴随矩阵法求逆，对矩阵代数的基本理论有了较好的掌握。

从前节课的反馈来看：（1）学生能用伴随矩阵法求二阶方阵的逆矩阵，但三阶方阵计算量较大，需要更高效的方法；（2）学生对解线性方程组的经验仅限于中学阶段的消元法，尚未将其与矩阵联系起来；（3）学生对线性方程组解的存在性缺乏系统认识。

本节课将引入矩阵的初等行变换，建立增广矩阵与线性方程组的联系，讲解高斯消元法的矩阵形式，并介绍初等变换求逆矩阵的方法，这是矩阵理论与实际计算的重要桥梁。

根据教学计划，本课时为第37-38学时。

教学目标

知识目标：

（1）理解矩阵初等行变换的三种类型：交换两行、某行乘以非零常数、某行加上另一行的倍数；

（2）掌握增广矩阵的概念，能将线性方程组 $''Ax=b''$ 转化为增广矩阵 $''(A|b)''$ 的形式；

（3）掌握高斯消元法，能通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形来求解方程组；

（4）掌握初等行变换求逆矩阵的方法：$''(A|E)''''\backslash to''{''(E|A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}'')''$；

（5）了解线性方程组解的三种情况（唯一解、无解、无穷多解）及其判定条件。

能力目标：

（1）能够用初等行变换求解线性方程组；

（2）能够用初等行变换求逆矩阵；

（3）能够判断线性方程组解的情况。

素质目标：

（1）通过高斯消元法的系统步骤，培养算法思维和程序化解题能力；

（2）通过联系中学消元法与矩阵运算，体会数学知识的传承与升华。

教学重点

1. 初等行变换与高斯消元法 掌握三种初等行变换，能将增广矩阵化为行阶梯形，通过回代求解线性方程组。

2. 初等变换求逆矩阵 掌握 (A|E) → (E|A⁻¹) 的方法，能够用初等行变换求二阶和三阶方阵的逆矩阵。

3. 线性方程组解的情况分析 理解秩的概念，掌握唯一解、无解、无穷多解的判定条件。

教学难点

及应对

难点：

1. 初等行变换的步骤选择——学生往往不知道应该先消哪个元素，缺乏系统化的策略；

2. 增广矩阵与原方程组的对应关系——行变换后如何还原为方程组形式；

3. 求逆矩阵时同时对 A 和 E 两部分做变换——学生容易漏做右侧的 E 部分；

4. 解的情况判定——秩的概念较抽象，初次接触理解困难。

应对策略：

1. 从中学消元法引入，建立新旧知识的联系，降低理解难度；

2. 通过完整的步骤演示，建立“列主元→消元→回代”的规范流程；

3. 求逆矩阵时强调“左右同步”，用颜色区分 A 部分和 E 部分；

4. 用具体例子展示三种解的情况，先建立直观再引入理论。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：初等行变换类型图、增广矩阵概念图、初等变换求逆流程图、高斯消元法步骤图、解的情况分析图、知识总结图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

类比引入法：从中学消元法类比引入矩阵初等行变换

步骤演示法：逐步展示高斯消元法和求逆矩阵的完整过程

对比教学法：伴随矩阵法与初等变换法求逆的对比

讲练结合：每讲完一个知识点立即配套练习巩固

教学反思

本节课引入了矩阵初等行变换这一重要工具。通过从中学消元法引入，学生对初等行变换的理解较为顺畅。高斯消元法的步骤化教学效果良好，大部分学生能掌握规范流程。初等变换求逆矩阵比伴随矩阵法更高效，学生反响积极。解的情况分析部分较抽象，需在后续课程中继续强化。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、复习导入（3分钟）

【教师】上节课我们学习了逆矩阵，掌握了伴随矩阵法求逆公式 ${''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''=''\frac{''1''}{''|A|''}{''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">*</ms>}}$。但当矩阵阶数较高时，计算量很大。今天我们学习一种更高效的方法——初等行变换。

同时，回顾中学解方程组的消元法，它的本质就是对方程组进行等价变换。今天我们将把这种操作用矩阵语言重新表达。

二、初等行变换（10分钟）

定义 矩阵的初等行变换有三种类型：

类型一：交换两行 交换第 i 行与第 j 行，记作 ${''r''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">i</ms>}}''\leftrightarrow ''{''r''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">j</ms>}}$。

类型二：数乘某行 第 i 行乘以非零常数 k，记作 ${''kr''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">i</ms>}}$。

类型三：倍加 第 i 行加上第 j 行的 k 倍，记作 ${''r''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">i</ms>}}{''+kr''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">j</ms>}}$。

注意：初等行变换是可逆的，每种变换都有对应的逆变换。这保证了变换前后方程组同解。

三、增广矩阵（7分钟）

定义 对于线性方程组 $''Ax=b''$，将系数矩阵 A 与常数列 b 拼在一起，得到增广矩阵

$''\backslash bar''''A''''=(A|b)''$

例如，方程组：

对方程组做等价变换，就等价于对增广矩阵做初等行变换。这样就把解方程组的问题转化为矩阵变换问题。

四、高斯消元法（15分钟）

基本思路：

将增广矩阵通过初等行变换化为行阶梯形矩阵，再通过回代求解。

行阶梯形矩阵的特征：

（1）非零行在零行上方；

（2）每行的首个非零元素（主元）所在列位于上一行主元的右侧。

例1 用高斯消元法解线性方程组：

解

写出增广矩阵，对其做初等行变换：

回代求解：从最后一行开始，逐步向上代入，得到方程组的解。

步骤总结：① 写增广矩阵 → ② 初等行变换化为行阶梯形 → ③ 回代求解。

从伴随矩阵法的局限性引入，激发学习新方法的动力。

初等行变换是本节课的基础工具，必须讲清楚三种类型及其记号。

增广矩阵是连接线性方程组与矩阵变换的桥梁。

高斯消元法通过完整的例题演示，建立规范化的解题流程。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做练习，检验初等行变换和高斯消元法的掌握情况。

练习1：指出下列各步分别用了哪种初等行变换：

(1) ${''r''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}''\leftrightarrow ''{''r''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$ —— 交换两行

(2) ${''r''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+(-3)r''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}$ —— 倍加（第2行加上第1行的-3倍）

(3) $\frac{''1''}{''2''}{''r''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}$ —— 数乘某行（第3行乘以 1/2）

练习2：用高斯消元法解方程组：

${''x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}{''+2x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=5''$

${''3x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}{''+4x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=11''$

解

写增广矩阵，做初等行变换：

${''r''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+(-3)r''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}$，得到 ${''-2x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=-4''$，解得 ${''x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=2''$。

回代得 ${''x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}''=5-2''''\times ''''2=1''$。解为 ${''x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}{''=1,x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=2''$。

【教师】讲评要点：高斯消元法的关键是从上到下逐列消元，最后从下到上回代求解。每步变换都要标明操作内容。

练习1巩固三种初等行变换的识别。

练习2训练高斯消元法的完整流程，从简单的二元方程组开始。

第二节课

知识讲解

（30 min）

五、用初等变换求逆矩阵（15分钟）

方法 将 A 和单位矩阵 E 拼成分块矩阵 (A|E)，对其做初等行变换，若能将左半部分化为 E，则右半部分就是 ${''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}$：

$''(A|E)''''\backslash to''{''(E|A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}'')''$

例2 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：

解

构造分块矩阵 (A|E)，做初等行变换：

继续变换：

得到最终结果：

故 ${''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}$ 为右半部分对应的矩阵。

与伴随矩阵法的对比：

伴随矩阵法需要计算行列式和所有代数余子式，计算量随阶数增大而急剧增长；

初等变换法操作简单、步骤清晰，是实际计算中更常用的方法。

六、线性方程组解的情况（10分钟）

秩的概念：

矩阵经过初等行变换化为行阶梯形后，非零行的行数称为矩阵的秩，记作 $''r(A)''$。

定理（解的判定）

设 n 元线性方程组 $''Ax=b''$，增广矩阵为 $''\backslash bar''''A''''=(A|b)''$，则：

① 无解：（出现 “0 = 非零” 的矛盾行）；

② 唯一解：$''r(A)=r(''''\backslash bar''''A'''')=n''$（方程个数等于未知数个数）；

③ 无穷多解：（自由未知数 = n - r(A) > 0）。

七、综合例题（5分钟）

例3 判断下列方程组解的情况，并求解（若有解）：

解

写增广矩阵，做初等行变换化为行阶梯形：

分析行阶梯形矩阵，判断解的情况并回代求解。

初等变换求逆是伴随矩阵法的重要补充，实用性更强。

通过对比两种求逆方法，加深学生对初等变换法优势的认识。

解的情况分析是线性代数的核心内容，秩的概念是关键。

综合例题将前面的知识点串联起来，培养综合分析能力。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做练习，综合检验初等变换求逆和解的情况分析的掌握。

练习3：用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：

A = (2, 1; 5, 3)

解

构造 (A|E)，做初等行变换：

${''r''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+(-''\frac{''5''}{''2''}{'')r''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}$，然后 ${''2r''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$，最后 ${''r''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}{''+(-1)r''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$，

得 ${''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}$ = (3, -1; -5, 2)。

验算：$''|A|=2''''\times ''''3-1''''\times ''''5=1''''\ne ''''0''$ ✔

练习4：判断下列方程组解的情况：

${''x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}{''+x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}''=1''$

${''2x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}{''+2x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+2x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}''=3''$

解

第二个方程是第一个的2倍，但右端不满足该关系（$''2''''\times ''''1''''\ne ''''3''$）。

做初等行变换 ${''r''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+(-2)r''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}$ 后出现“0 = 1”的矛盾行，故方程组无解。

【教师】讲评要点：求逆矩阵时注意左右两部分同步变换；判断解的情况时，先化为行阶梯形，再分析秩的关系。

练习3训练初等变换求逆的完整流程。

练习4训练解的情况判断，培养分析矛盾行的意识。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心内容：

一、初等行变换：

三种类型：${''r''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">i</ms>}}''\leftrightarrow ''{''r''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">j</ms>}}$，${''kr''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">i</ms>}}$，${''r''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">i</ms>}}{''+kr''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">j</ms>}}$。

二、高斯消元法：

增广矩阵 → 行阶梯形 → 回代求解。

三、初等变换求逆：

$''(A|E)''''\backslash to''{''(E|A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}'')''$

四、解的情况：

无解：；唯一解：$''r(A)=r(''''\backslash bar''''A'''')=n''$；无穷多解：。

五、作业布置：

（1）用高斯消元法解给定的三元线性方程组；

（2）用初等行变换求给定三阶方阵的逆矩阵；

（3）判断给定方程组解的情况。

六、预习：

下节课进行第七章习题课与总复习。

以知识总结图系统归纳初等变换、高斯消元法、求逆方法和解的情况。

强调三种初等行变换和解的三种情况是本节课的核心。

作业涵盖求解方程组、求逆矩阵和解的判定三个层次。

教学反思

本节课引入了矩阵初等行变换这一重要工具。教学效果分析如下：

（1）复习导入环节：从伴随矩阵法的局限性引入初等变换，学生能理解学习新方法的必要性。从中学消元法过渡到矩阵行变换，新旧知识衔接自然。

（2）初等行变换环节：三种类型的记号和含义学生掌握较好，约90%的学生能正确识别和使用三种变换。但在实际操作中，部分学生对变换步骤的选择缺乏策略性。

（3）高斯消元法环节：步骤化教学效果良好，“写增广矩阵→行阶梯形→回代”的流程学生接受度高。约80%的学生能独立完成二元方程组的求解。

（4）初等变换求逆环节：学生对 (A|E) → (E|A⁻¹) 的方法反响积极，认为比伴随矩阵法更简洁。但约20%的学生在操作时容易忽略右侧 E 部分的同步变换。

（5）解的情况分析环节：秩的概念较抽象，约60%的学生初步理解，需要在后续习题课中继续强化。无解的判断（出现矛盾行）学生理解较好，但无穷多解和唯一解的区分还需练习。

（6）整体反思：本节课内容量较大，涵盖了初等变换、高斯消元法、求逆矩阵和解的情况四个知识点。时间分配合理，但解的情况部分可以在下节习题课中进一步展开。