矩阵的运算

教学项目

矩阵的运算

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

学生已在上节课学习了矩阵的概念、特殊矩阵和矩阵相等的条件，对矩阵作为一个整体数学对象有了初步认识。

从前节课的反馈来看：（1）学生对矩阵的定义和基本术语掌握较好，能正确使用双下标记法；（2）对特殊矩阵（零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵）的识别能力较强；（3）矩阵与行列式的区别已基本厘清。

本节课将系统介绍矩阵的三种基本运算：加法、数乘和乘法。其中矩阵乘法是核心难点，特别是乘法不满足交换律这一性质与学生此前学习的数的运算截然不同，需要通过大量实例加以说明。

根据教学计划，本课时为第33-34学时。

教学目标

知识目标：

（1）掌握矩阵加法的定义和运算法则：同型矩阵对应元素相加；

（2）掌握数乘矩阵的定义：数 k 乘以矩阵的每个元素；

（3）掌握矩阵乘法的定义： $A_{m×n} ⋅ B_{n×p} {=C}_{m×p}$ ， $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}$ ；

（4）理解矩阵乘法不满足交换律的事实；

（5）掌握矩阵运算的基本性质（结合律、分配律等）。

能力目标：

（1）能够熟练进行矩阵加法、数乘和乘法运算；

（2）能够判断两个矩阵能否相乘及确定乘积矩阵的型；

（3）能够运用矩阵运算性质简化计算。

素质目标：

（1）通过矩阵乘法不满足交换律的学习，培养质疑和批判性思维；

（2）通过矩阵运算的系统学习，体会代数结构的抽象美。

教学重点

1. 矩阵乘法的定义与计算矩阵乘法是本节课的核心内容。掌握“左行乘右列，逐项求和”的计算法则，明确相乘条件（A 的列数等于 B 的行数）及结果矩阵的型。

2. 矩阵乘法不满足交换律这是矩阵运算与数的运算最本质的区别。通过具体实例说明 AB ≠ BA 的三种情形：两者都有意义但不等、一个有意义另一个无意义、AB=O 但 A≠0 且 B≠0。

3. 矩阵运算性质加法的交换律和结合律、数乘的分配律、乘法的结合律和分配律（但无交换律和消去律）。

教学难点

及应对

难点：

1. 矩阵乘法的定义理解和计算——行列对应乘积求和的规则不直观，学生容易出错，特别是在确定结果矩阵各元素时；

2. 矩阵乘法不满足交换律——这颠覆了学生长期形成的“乘法交换律”直觉；

3. 矩阵乘法不满足消去律——AB=AC 不能推出 B=C，AB=O 不能推出 A=O 或 B=O。

应对策略：

1. 先用 2×2 小矩阵演示乘法规则，再逐步扩展到一般情形；

2. 用具体数字例子对比 AB 和 BA 的结果，让学生亲自计算体会；

3. 总结矩阵运算中“成立的”和“不成立的”性质，建立对比表。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：矩阵运算概览图、矩阵加法与数乘图、矩阵乘法图解、矩阵乘法不满足交换律图、运算性质总结图、知识总结图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

讲授法：系统讲解三种矩阵运算的定义和法则

对比法：将矩阵运算与数的运算进行对比，突出异同

实例演示法：用具体数字矩阵逐步演算，帮助学生建立直觉

讲练结合：每讲完一种运算立即配套练习巩固

教学反思

本节课是矩阵代数的核心内容之一。矩阵加法和数乘较为简单，学生接受度好。矩阵乘法的教学需要更多时间和练习，特别是乘法不满足交换律这一性质，需要反复用实例说明。课堂练习环节学生参与积极，但计算速度有待提高。下节课将学习逆矩阵。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、复习导入（3分钟）

【教师】上节课我们学习了矩阵的概念和几种特殊矩阵。矩阵是一个整体的数学对象，那么矩阵之间能否进行运算呢？今天我们来学习矩阵的三种基本运算：加法、数乘和乘法。

二、矩阵加法（7分钟）

定义设 ${A=(a}_{ij})_{m×n}$ ， ${B=(b}_{ij})_{m×n}$ 为同型矩阵，则它们的和 A + B 定义为

${A+B=(a}_{ij} {+b}_{ij})_{m×n}$

即对应位置的元素相加，结果仍为 m×n 矩阵。

注意：只有同型矩阵才能相加！不同型的矩阵不能做加法运算。

例1 设

求 A + B。

解

三、数乘矩阵（5分钟）

定义数 k 与矩阵 A 的乘积 kA 定义为

${kA=(ka}_{ij})_{m×n}$

即每个元素都乘以 k。

例设 A 如例1，求 3A。

解

加法与数乘合称为矩阵的线性运算。

四、矩阵乘法（20分钟）

定义设 ${A=(a}_{ij})_{m×n}$ ， ${B=(b}_{ij})_{n×p}$ ，则 A 与 B 的乘积 C = AB 是一个 $m × p$ 矩阵，其中

$c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj} {=a}_{i1} b_{1j} {+a}_{i2} b_{2j} + ⋯ {+a}_{in} b_{nj}$

口诀：“左行乘右列，逐项求和”——取 A 的第 i 行和 B 的第 j 列，对应元素相乘后求和，得到 C 的第 (i,j) 位置元素。

相乘条件：A 的列数必须等于 B 的行数（均为 n），否则不能相乘。

例2 设

求 AB 和 BA。

解

AB：

$c_{11} =1 × 5+2 × 7=19$

$c_{12} =1 × 6+2 × 8=22$

$c_{21} =3 × 5+4 × 7=43$

$c_{22} =3 × 6+4 × 8=50$

BA：

$c_{11} =5 × 1+6 × 3=23$

$c_{12} =5 × 2+6 × 4=34$

$c_{21} =7 × 1+8 × 3=31$

$c_{22} =7 × 2+8 × 4=46$

结论：AB ≠ BA！矩阵乘法不满足交换律。

例3 设

求 AB。（A 是 2×3，B 是 3×2，结果为 2×2）

解

$c_{11} =1 × 3+0 × 2+2 × 1=5$

$c_{12} =1 × 1+0 × 1+2 × 0=1$

$c_{21} =(-1) × 3+3 × 2+1 × 1=4$

$c_{22} =(-1) × 1+3 × 1+1 × 0=2$

从复习矩阵概念自然过渡到运算，建立知识连接。

加法和数乘定义简单，与向量运算类比帮助理解。

矩阵乘法是核心难点，通过逐步演算建立学生的运算直觉。

用同一对矩阵计算 AB 和 BA 对比结果，直观展示非交换性。

例3演示不同型矩阵的乘法，强化相乘条件和结果型的判断。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做练习，检验对矩阵运算的掌握情况。

练习1：判断正误：

（1）任意两个矩阵都可以相加。—— 错误（必须同型）

（2）任意两个矩阵都可以相乘。—— 错误（A 的列数须等于 B 的行数）

（3）矩阵乘法满足交换律。—— 错误

（4）矩阵乘法满足结合律。—— 正确

（5） $AE=EA=A$ 。—— 正确（E 为单位矩阵）

练习2：设

求 C + D，CD，DC。

解

CD：

$c_{11} =2 × 1+(-1) × (-2)=4$

$c_{12} =2 × 4+(-1) × 5=3$

$c_{21} =0 × 1+3 × (-2)=-6$

$c_{22} =0 × 4+3 × 5=15$

DC：

$c_{11} =1 × 2+4 × 0=2$

$c_{12} =1 × (-1)+4 × 3=11$

$c_{21} =(-2) × 2+5 × 0=-4$

$c_{22} =(-2) × (-1)+5 × 3=17$

验证：CD ≠ DC！

【教师】讲评要点：每做一次矩阵乘法，先检查维度是否匹配，再确定结果矩阵的型，然后逐个计算元素。

判断题帮助学生澄清常见误区。

练习2让学生亲手计算并体验 CD ≠ DC，加深对非交换性的印象。

第二节课

知识讲解

（30 min）

五、矩阵运算性质（15分钟）

加法性质：

(1) 交换律： $A+B=B+A$

(2) 结合律： $(A+B)+C=A+(B+C)$

(3) $A+O=A$

(4) $A+(-A)=O$ ，其中 -A 表示 A 的负矩阵

数乘性质：

(1) $k(A+B)=kA+kB$

(2) $(k+l)A=kA+lA$

(3) $k(lA)=(kl)A$

(4) $1 ⋅ A=A$ ， $0 ⋅ A=O$

乘法性质：

(1) 结合律： $(AB)C=A(BC)$

(2) 左分配律： $A(B+C)=AB+AC$

(3) 右分配律： $(A+B)C=AC+BC$

(4) $k(AB)=(kA)B=A(kB)$

(5) $AE=EA=A$ （E 为单位矩阵）

(6) 转置性质： ${(AB)}^{T} {=B}^{T} A^{T}$ （注意顺序颠倒！）

不成立的性质：

(1) 交换律不成立：AB ≠ BA（一般情况）

(2) 消去律不成立：AB = AC 不能推出 B = C

(3) 零因子存在：AB = O 不能推出 A = O 或 B = O

六、综合例题（10分钟）

例4 设

求 AB（行向量乘列向量）。

解 A 是 1×3，B 是 3×1，结果为 1×1 矩阵：

$AB=1 × 4+2 × 5+3 × 6=32$

即结果是一个 1×1 矩阵（一个数）。这正是向量的内积！

例5 验证单位矩阵的性质：设

验证 CE = EC = C。

解

CE：

$c_{11} =2 × 1+(-1) × 0=2$

$c_{12} =2 × 0+(-1) × 1=-1$

$c_{21} =0 × 1+3 × 0=0$

$c_{22} =0 × 0+3 × 1=3$

CE = C ✔。同理可验 EC = C ✔。

七、方阵的幂（5分钟）

定义：设 A 为 n 阶方阵， $A^{k} =A ⋅ A ⋅ ⋯ ⋅ A$ （k 个 A 相乘）。

性质：

(1) $A^{k} ⋅ A^{l} {=A}^{k+l}$

(2) ${(A}^{k})^{l} {=A}^{kl}$

注意： ${(AB)}^{k} ≠ A^{k} B^{k}$ （因为 AB ≠ BA！）

系统总结矩阵运算的各项性质，与数的运算对比，突出异同。

特别强调三个不成立的性质，这是矩阵代数最容易出错的地方。

行向量乘列向量的例子建立向量内积与矩阵乘法的联系。

单位矩阵验证例子巩固 AE=EA=A 这一重要性质。

方阵的幂为后续学习矩阵多项式和逆矩阵做准备。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做练习，综合检验矩阵运算的掌握。

练习3：判断以下矩阵乘法是否有意义，若有意义，说明结果矩阵的型：

(1) $A_{2×3} ⋅ B_{3×4}$ —— 有意义，结果为 2×4 矩阵

(2) $A_{3×2} ⋅ B_{3×4}$ —— 无意义（2 ≠ 3）

(3) $A_{4×4} ⋅ B_{4×1}$ —— 有意义，结果为 4×1 矩阵（列向量）

(4) $A_{1×3} ⋅ B_{3×1}$ —— 有意义，结果为 1×1 矩阵（一个数）

练习4：设 A，B 均为 2 阶方阵，判断正误：

(1) ${(A+B)}^{2} {=A}^{2} {+2AB+B}^{2}$ —— 错误

正确展开： ${(A+B)}^{2} {=A}^{2} {+AB+BA+B}^{2}$ 。因为 AB ≠ BA，所以不能合并为 2AB。

(2) ${(A+B)(A-B)=A}^{2} {-B}^{2}$ —— 错误

正确展开： ${(A+B)(A-B)=A}^{2} {-AB+BA-B}^{2}$ 。因为 AB ≠ BA，-AB+BA ≠ 0。

【教师】讲评要点：凡是涉及矩阵乘法的展开公式，都不能随意使用“乘法交换律”！这是矩阵代数与数的代数最本质的区别。

练习3训练对矩阵乘法维度条件的判断能力。

练习4是本节课最精华的练习，通过平方公式和差公式的错误展开，让学生深刻体会交换律不成立的后果。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心内容：

一、矩阵加法：

同型矩阵对应元素相加。满足交换律和结合律。

二、数乘矩阵：

数 k 乘以每个元素。满足分配律。

三、矩阵乘法：

左行乘右列，逐项求和。条件：A 的列数 = B 的行数。

四、核心注意：

矩阵乘法不满足交换律！

AB ≠ BA，因此展开公式不能直接套用数的代数恒等式。

五、作业布置：

（1）计算给定矩阵的和、数乘和乘积；

（2）验证给定矩阵对 AB 和 BA 的结果是否相等；

（3）判断矩阵等式的正确性。

六、预习：

下节课学习逆矩阵——什么矩阵有逆？如何求逆矩阵？

以知识总结图系统归纳三种运算及其性质。

重点强调乘法不满足交换律这一核心要点。

作业涵盖三种运算的计算和性质判断两个层次。

预习提示引导学生思考逆矩阵的概念。

教学反思

本节课系统介绍了矩阵的三种基本运算。教学效果分析如下：

（1）加法和数乘环节：学生掌握较快，与向量运算类比帮助理解。约95%的学生能正确完成加法和数乘运算。

（2）矩阵乘法环节：这是本节课的重点和难点。通过 2×2 矩阵的详细演算，大部分学生理解了“左行乘右列”的规则。但在不同型矩阵相乘时，约30%的学生在确定结果矩阵的型上出现困难，需要更多练习。

（3）非交换性环节：通过 AB 和 BA 的对比计算，学生直观感受到了结果的差异。但在练习4的展开公式中，仍有约40%的学生犯了使用交换律的错误，说明这一概念需要在后续课程中反复强化。

（4）整体反思：矩阵乘法的计算量较大，建议在课后增加更多计算练习。展开公式的错误分析是很好的教学切入点，下节课可以继续利用。下节课将学习逆矩阵，需要用到行列式的知识，建议课前安排复习。