教学项目

空间向量概念及线性运算

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

本课程为高等数学（下册）第二部分的起始课，学生在上学期已学习了平面向量的初步知识，对向量的概念有一定认识，但主要局限于二维平面。

从学情调查来看：（1）约90%的学生知道向量有大小和方向两个要素；（2）约75%的学生记得平面向量的加法三角形法则；（3）主要困难在于：从平面到空间的思维跨越，以及对向量共面等空间概念的理解。

本节课从物理量（力、速度）引入向量概念，帮助学生建立空间向量的完整概念体系，掌握向量的线性运算（加法、减法、数乘），为后续坐标表示和内积运算奠定基础。

根据教学计划，本课时为第1-2学时。

教学目标

知识目标：

（1）理解向量的概念：有向线段表示、自由向量、模、单位向量、零向量；

（2）理解向量平行（共线）和共面的概念及几何意义；

（3）掌握向量的加法运算：三角形法则、平行四边形法则，运算律 $''a+b=b+a''$；

（4）掌握向量的减法运算及其几何意义；

（5）掌握向量与数的乘法运算及运算律：$''\lambda ''''(''''\mu ''''a)=(''''\lambda ''''''''\mu '''')a''$，$''\lambda ''''(a+b)=''''\lambda ''''a+''''\lambda ''''b''$；

（6）理解向量平行的充要条件：$''b=''''\lambda ''''a''$（a$''\ne ''$0）。

能力目标：

（1）培养空间想象能力，能正确画出向量的加减法图示；

（2）培养运用向量线性运算解决几何问题的能力。

素质目标：

（1）通过向量从平面到空间的推广，体会数学的抽象与推广思想；

（2）通过向量在力学中的应用，感受数学与物理的联系。

教学重点

1. 向量的基本概念（模、单位向量、零向量、平行、共面）；

2. 向量的加法（三角形法则、平行四边形法则）和减法；

3. 向量与数的乘法及其运算律。

教学难点

及应对

1. 空间向量共面概念的理解；

2. 向量减法的几何意义（指向被减向量）；

3. 用向量线性运算表示平行四边形对角线。

教学资源

教材《高等数学》第5章 §5.1；多媒体课件；板书

教学方法

讲授法 + 板书演示 + 几何直观 + 课堂互动

教学反思

本节课是空间解析几何的起始课，需要帮助学生从平面向量过渡到空间向量。通过力、速度等物理实例引入，有助于学生理解向量的实际意义。向量运算的几何意义是教学重点，需要大量板书图示辅助。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、课程引入（5 min）

1. 标量与向量

在研究力学、物理学以及其他应用科学时，常会遇到两类不同的量：

（1）标量：只有大小，没有方向。如质量、温度、时间、面积等。

（2）向量：既有大小，又有方向。如力、速度、位移、加速度等。

例如：一个物体受到F=10N的力，仅知道大小不够，还必须知道方向才能确定这个力。

2. 从平面到空间

上学期我们学习了平面向量，本学期要将向量推广到三维空间。空间向量的运算规则与平面向量完全一致，但应用范围更广。

二、空间向量的基本概念（15 min）

定义1（向量）

既有大小又有方向的量叫做向量（矢量）。

在数学上，用一条有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。

向量的表示：

以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作$''vec''''AB''$，也可用粗体字母或加箭头的字母表示，如$''a,\; r,\; v,\; F''$。

定义2（自由向量）

由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量，简称向量。

如果向量a和b的大小相等，且方向相同，则说向量a与b是相等的，记为$''a=b''$。

定义3（向量的模）

向量的大小叫做向量的模。向量a的模记为$''|a|''$，有向线段$''vec''''AB''$的模记为$''|vec''''AB''''|''$。

定义4（单位向量）

模等于1的向量叫做单位向量。与a同方向的单位向量记为${''a''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}$，有${''a=|a|a''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">0</ms>}}$。

定义5（零向量）

模等于0的向量叫做零向量，记作0。零向量的方向是任意的。

定义6（向量的平行/共线）

两个非零向量，如果它们的方向相同或相反，就称这两个向量平行。向量a与b平行记作$''a\; //\; b''$。规定零向量与任何向量都平行。

当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共的起点在一条直线上，因此两向量平行又称两向量共线。

定义7（向量的共面）

设有k(k$''\ge ''$3)个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果k个终点和公共起点在一个平面上，就称这k个向量共面。

三、向量的线性运算（15 min）

3.1 向量的加法

三角形法则：

设有两个向量a与b，平移向量使b的起点与a的终点重合，则从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和，记作$''c=a+b''$。

平行四边形法则：

当向量a与b不平行时，平移向量使a与b的起点重合，以a、b为邻边作一平行四边形，从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b。

向量加法的运算律：

（1）交换律：$''a+b=b+a''$

（2）结合律：$''(a+b)+c=a+(b+c)''$

3.2 向量的减法

负向量：

设a为一向量，与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量，记为-a。

向量的减法定义：

$''b-a=b+(-a)''$

几何意义：若把向量a与b移到同一起点，则从a的终点到b的终点所引的向量就是b-a。

即 $''vec''''AB''''=vec''''OB''''-vec''''OA''$（O为公共起点）。

三角不等式：

$''|a+b|''''\le ''''|a|+|b|''$，$''|a-b|''''\le ''''|a|+|b|''$

等号在b与a同向或反向时成立。

从物理实例引入，建立直观认识

系统给出向量的基本概念，为后续学习打基础

加法的两种法则是核心，需要板书演示

减法的几何意义是难点

课堂测验

（10 min）

3.3 向量与数的乘法

定义8

向量a与实数$''\lambda ''$的乘积记作$''\lambda ''''a''$，规定：

（1）$''|''''\lambda ''''a|=|''''\lambda ''''||a|''$；

（2）当$''\lambda ''''>0''$时，$''\lambda ''''a''$与a同方向；当时，$''\lambda ''''a''$与a反方向；

（3）当$''\lambda ''''=0''$时，$''\lambda ''''a=0''$（零向量）。

特别地：

$''1''''\cdot ''''a=a''$，$''(-1)''''\cdot ''''a=-a''$

数乘运算律：

（1）结合律：$''\lambda ''''(''''\mu ''''a)=(''''\lambda ''''''''\mu '''')a''$

（2）分配律：$''(''''\lambda ''''+''''\mu '''')a=''''\lambda ''''a+''''\mu ''''a''$，$''\lambda ''''(a+b)=''''\lambda ''''a+''''\lambda ''''b''$

定理5-1（向量平行的充要条件）

设向量a$''\ne ''$0，那么向量b平行于a的充分必要条件是存在唯一的实数$''\lambda ''$，使$''b=''''\lambda ''''a''$。

四、典型例题

例1（教材例1）

在平行四边形ABCD中，设$''vec''''AB''''=a''$，$''vec''''AD''''=b''$，M是平行四边形对角线的交点。试用a和b表示向量$''vec''''MA'''',\; vec''''MB'''',\; vec''''MC'''',\; vec''''MD''$。

解：由于平行四边形的对角线互相平分，所以

$''a+b=vec''''AC''''=2vec''''AM''$，即$''-(a+b)=2vec''''MA''$

于是 $''vec''''MA''''=-''\frac{''1''}{''2''}''(a+b)''$

因为$''vec''''MC''''=-vec''''MA''$，所以$''vec''''MC''''=''\frac{''1''}{''2''}''(a+b)''$

又因$''-a+b=vec''''BD''''=2vec''''MD''$，所以$''vec''''MD''''=''\frac{''1''}{''2''}''(b-a)''$

由$''vec''''MB''''=-vec''''MD''$，得$''vec''''MB''''=''\frac{''1''}{''2''}''(a-b)''$

例2

设$''vec''''OA''''=a''$，$''vec''''OB''''=b''$，M是线段AB的中点，求$''vec''''OM''$。

解：$''vec''''OM''''=vec''''OA''''+vec''''AM''''=a+''\frac{''1''}{''2''}''vec''''AB''''=a+''\frac{''1''}{''2''}''(b-a)=''\frac{''1''}{''2''}''(a+b)''$

即线段中点的向量等于两端点向量之和的一半。

例3

设$''\backslash triangle''$ABC中，M为BC的中点，N为CA的中点，P为AB的中点。用$''a=vec''''BC'''',\; b=vec''''CA'''',\; c=vec''''AB''$表示$''vec''''AM'''',\; vec''''BN'''',\; vec''''CP''$。

解：$''vec''''AM''''=vec''''AB''''+vec''''BM''''=c+''\frac{''1''}{''2''}''a''$

$''vec''''BN''''=vec''''BC''''+vec''''CN''''=a+''\frac{''1''}{''2''}''b''$

$''vec''''CP''''=vec''''CA''''+vec''''AP''''=b+''\frac{''1''}{''2''}''c''$

验证：$''vec''''AM''''+vec''''BN''''+vec''''CP''''=(a+b+c)+''\frac{''1''}{''2''}''(a+b+c)=''\frac{''3''}{''2''}''(a+b+c)''$

而$''a+b+c=vec''''BC''''+vec''''CA''''+vec''''AB''''=0''$，所以三条中线的向量和为零向量。

例4

已知向量a$''\ne ''$0，b$''\ne ''$0，且a与b不平行。证明：若$''\lambda ''''a+''''\mu ''''b=0''$，则$''\lambda ''''=''''\mu ''''=0''$。

证明：反证法。若$''\lambda ''''''''\ne ''''0''$，则$''a=-''\frac{''\mu ''}{''\lambda ''}''b''$，

这说明a与b平行，与已知矛盾。故$''\lambda ''''=0''$，类似可得$''\mu ''''=0''$。

数乘运算完善线性运算体系

向量平行充要条件是重要结论

例1来自教材，平行四边形问题经典

中点向量公式是常用结论

例4训练证明能力

第二节课

课堂练习（20 min）

五、课堂练习

请同学们完成以下练习：

1. 设$''\backslash triangle''$ABC中，M为BC的中点，用$''vec''''AB''$和$''vec''''AC''$表示$''vec''''AM''$。

2. 非零向量a, b应具有什么特点才能满足下列关系式：

(1) $''|a+b|=|a-b|''$； (2) $''|a+b|=|a|+|b|''$

3. 在空间直角坐标系中，指出下列各点的位置：

A(-1,3,2) B(2,0,0) C(0,3,4) D(1,2,1)

4. 求点M(a,b,c)关于各坐标面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标。

参考答案：

1. $''vec''''AM''''=''\frac{''1''}{''2''}''(vec''''AB''''+vec''''AC'''')''$

2. (1) a与b互相垂直；(2) a与b同方向（平行且同向）

3. 需画出空间直角坐标系标注各点位置

4. 关于xOy面对称：(a,b,-c)；关于x轴对称：(a,-b,-c)；关于原点对称：(-a,-b,-c)等

课堂练习巩固基本概念

习题来自教材习题5-1

对称点问题预热坐标系内容

课堂测验

（10 min）

课堂测验

1. 判断：零向量与任何向量平行。（ ）

2. 在平行四边形ABCD中，$''vec''''AB''''+vec''''AD''$等于（ ）

A. $''vec''''AC''$ B. $''vec''''BD''$ C. $''vec''''BC''$ D. $''vec''''DC''$

3. 设a, b, c为三个向量，且a+b+c=0，|a|=3, |b|=5, |c|=7，求a与b的夹角。

参考答案：

1. 正确（零向量与任何向量都平行是规定）

2. A（平行四边形法则）

3. 由c=-(a+b)，${''|c|''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''=|a|''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+2a''''\cdot ''{''b+|b|''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$，

49=9+2a\cdot b+25，$''a''''\cdot ''''b=''\frac{''15''}{''2''}$，

$''cos''''''''\theta ''''=''\frac{''a''''\cdot ''''b''}{''|a||b|''}''=''\frac{''15/2''}{''15''}''=''\frac{''1''}{''2''}$，$''\theta ''''=''\frac{''\pi ''}{''3''}$

测验检验学习效果

覆盖概念判断和计算

课堂小结

（5 min）

课堂小结

一、向量的基本概念

向量：有大小和方向的量，用有向线段表示。

关键概念：模、单位向量、零向量、相等向量、平行（共线）、共面。

二、向量的线性运算

1. 加法：三角形法则（首尾相接）、平行四边形法则（同起点）

2. 减法：b-a = b+(-a)，几何意义为从a终点指向b终点

3. 数乘：$''\lambda ''''a''$改变模和方向

三、重要结论

向量平行充要条件：b=$''\lambda ''''a''$（a$''\ne ''$0）

中点向量公式：$''vec''''OM''''=''\frac{''1''}{''2''}''(vec''''OA''''+vec''''OB'''')''$

下节课预告：空间直角坐标系与向量的坐标表示。

总结核心概念和运算

强调重要结论

预告下节课内容

教学反思

本节课作为空间解析几何的起始课，主要完成了向量基本概念和线性运算两部分内容的教学。

教学效果分析：

1. 向量的基本概念部分，由于学生有平面向量的基础，接受较快。零向量的方向是任意的这一规定需要反复强调。

2. 向量加法的三角形法则和平行四边形法则，通过板书画图演示效果较好，学生基本能理解。

3. 向量减法的几何意义是教学难点，约30%的学生容易搞混方向（误以为从b指向a），需要多举例强化。

4. 数乘运算部分相对简单，但向量平行的充要条件定理需要在后续课程中反复应用来巩固。

改进方向：

1. 可以增加更多物理应用实例（如力的合成与分解），增强直观理解；

2. 共面概念可用实物模型演示（如三支笔代表三个向量）；

3. 课堂练习可适当增加几道判断题，检验概念理解。