空间直线及其方程

教学项目

空间直线及其方程

授课地点

教学楼多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

学生已掌握平面方程及法向量概念，能判断两平面的位置关系。本节课引入空间直线方程，直线由一个点和一个方向向量确定，与平面方程的“点+法向量”思路形成对照。学生需注意直线方向向量与平面法向量在位置关系判断中的不同角色。

教学目标

1. 知识目标

掌握直线的对称式（点向式）、参数式和一般式方程。

2. 能力目标

能建立直线方程，判断线线、线面位置关系，计算相关角度。

3. 素养目标

对比平面与直线方程的建立方法，体会解析几何的统一思想。

教学重点

1. 直线的对称式方程和参数式方程；

2. 两直线的位置关系与夹角计算；

3. 直线与平面的位置关系判定。

教学难点

及应对

1. 一般式方程（两面式）到对称式的转化；

2. 直线与平面夹角公式的推导理解；

3. 点到直线距离公式的应用。

教学资源

多媒体课件、三维模型、教案配图

教学方法

讲授法、对比教学法、图示法、练习巩固

教学反思

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、空间直线的方程

回顾：平面由一个点+法向量确定。类比地，直线由一个点+方向向量确定。

1. 对称式（点向式）方程

设直线L过点 $M_{0} {(x}_{0} {,y}_{0} {,z}_{0})$ ，方向向量为 $\vec s =(m,n,p)$ ，则

$\frac{{x-x}_{0}}{m} = \frac{{y-y}_{0}}{n} = \frac{{z-z}_{0}}{p}$

注意：若某个方向分量为0，如 $p=0$ ，则写成 $\frac{{x-x}_{0}}{m} = \frac{{y-y}_{0}}{n}$ ， ${z=z}_{0}$ 。

2. 参数式方程

设 $\frac{{x-x}_{0}}{m} = \frac{{y-y}_{0}}{n} = \frac{{z-z}_{0}}{p} =t$ ，则

${x=x}_{0} {+mt, y=y}_{0} {+nt, z=z}_{0} +pt$

3. 一般式（两面式）方程

直线可看作两个平面的交线：

$A_{1} {x+B}_{1} {y+C}_{1} {z+D}_{1} =0$ 且 $A_{2} {x+B}_{2} {y+C}_{2} {z+D}_{2} =0$

方向向量： $\vec s = \vec n_{1} × \vec n_{2}$ （两法向量的叉积）

例1 写出过点 $(1,2,3)$ 、方向向量 $\vec s =(2,1,-1)$ 的直线方程。

解：对称式： $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{-1}$

参数式： $x=1+2t, y=2+t, z=3-t$

例2 将直线 $x+y+z=1$ ， $x-y+z=0$ 化为对称式。

解：法向量 $\vec n_{1} =(1,1,1)$ ， $\vec n_{2} =(1,-1,1)$

方向向量 $\vec s = \vec n_{1} × \vec n_{2} =(1 ⋅ 1-1 ⋅ (-1),1 ⋅ 1-1 ⋅ 1,1 ⋅ (-1)-1 ⋅ 1)=(2,0,-2)$

简化： $\vec s =(1,0,-1)$

求特解点：令 $z=0$ ，解得 $x= \frac{1}{2},y= \frac{1}{2}$

对称式： $\frac{x- \frac{1}{2}}{1} = \frac{z}{-1}$ ， $y= \frac{1}{2}$

二、两直线的位置关系

夹角公式：设方向向量分别为 $\vec s_{1}$ 和 $\vec s_{2}$ ，则

$\cos θ = \frac{| \vec s_{1} ⋅ \vec s_{2} |}{| \vec s_{1} || \vec s_{2} |}$

三、直线与平面的位置关系

设直线方向向量 $\vec s$ ，平面法向量 $\vec n$ ：

线面角： $\sin ϕ = \frac{| \vec s ⋅ \vec n |}{| \vec s || \vec n |}$

注意线面角用sin公式（线面角是直线与其在平面上投影的夹角）。

三种方程形式各有适用场景，需灵活转化。

一般式到对称式的转化是重要技能。

线线、线面关系与向量的点积/叉积紧密联系。

线面角的sin公式需特别注意（不是cos）。

课堂测验

（10 min）

例3 求直线 $\frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{1}$ 与平面 $x+y+z=6$ 的交点。

解：参数化： $x=1+t, y=2t, z=-1+t$

代入平面方程： $(1+t)+2t+(-1+t)=6$

$4t=6$ ， $t= \frac{3}{2}$

交点： $(\frac{5}{2},3, \frac{1}{2})$

例4 求过点 $(1,0,-1)$ 且垂直于平面 $2x-y+3z-5=0$ 的直线方程。

解：垂直于平面 ⇒ 方向向量 = 法向量： $\vec s = \vec n =(2,-1,3)$

对称式： $\frac{x-1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z+1}{3}$

例5 求直线 $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$ 与平面 $x+y+z=3$ 的夹角。

解： $\vec s =(1,1,1)$ ， $\vec n =(1,1,1)$

$\sin ϕ = \frac{|1+1+1|}{\sqrt{3} ⋅ \sqrt{3}} = \frac{3}{3} =1$

故 $ϕ = \frac{π}{2}$ ，直线垂直于平面。

例3展示直线与平面交点的计算方法。

例4体现直线垂直平面时方向向量等于法向量。

例5强化线面角公式的应用。

第二节课

课堂练习（20 min）

练习1 写出过两点 $A(1,0,2)$ 和 $B(3,1,0)$ 的直线方程。

解： $\vec s = \overrightarrow AB =(2,1,-2)$

对称式： $\frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z-2}{-2}$

练习2 判断直线 $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$ 是否平行于平面 $2x+y-z+1=0$ 。

解： $\vec s ⋅ \vec n =1 × 2+2 × 1+3 × (-1)=2+2-3=1 ≠ 0$

不平行（实际上直线与平面相交）。

练习3 求过点 $(1,1,1)$ 且平行于直线 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{1}$ 的直线方程。

解：平行直线方向向量相同： $\vec s =(2,3,1)$

$\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{3} = \frac{z-1}{1}$

练习1巩固两点确定直线的方法。

练习2使用点积判断线面平行。

练习3平行直线方向向量相同。

课堂测验

（10 min）

补充：对比表

平面：一个点 + 法向量 $\vec n$ → ${A(x-x}_{0} {)+B(y-y}_{0} {)+C(z-z}_{0})=0$

直线：一个点 + 方向向量 $\vec s$ → $\frac{{x-x}_{0}}{m} = \frac{{y-y}_{0}}{n} = \frac{{z-z}_{0}}{p}$

两平面关系看法向量关系；两直线关系看方向向量关系。

线面关系需同时考虑方向向量与法向量的关系。

对比平面与直线方程的建立思路，强化解析几何统一框架。

课堂小结

（5 min）

课堂小结

本节课核心知识点：

1. 对称式： $\frac{{x-x}_{0}}{m} = \frac{{y-y}_{0}}{n} = \frac{{z-z}_{0}}{p}$

2. 两直线夹角： $\cos θ = \frac{| \vec s_{1} ⋅ \vec s_{2} |}{| \vec s_{1} || \vec s_{2} |}$

3. 线面角： $\sin ϕ = \frac{| \vec s ⋅ \vec n |}{| \vec s || \vec n |}$

下节预告：曲面与空间曲线——从平面和直线推广到更一般的空间几何对象。

总结直线方程和位置关系的核心公式。

预告曲面与空间曲线，完成空间解析几何对象体系。

教学反思

直线方程三种形式的对比教学效果良好。

一般式到对称式的转化是学生的薄弱环节，需多布置相关练习。

线面角用sin公式而非cos公式，学生易混淆，需反复提醒。

与平面方程的对比有助于学生建立系统的解析几何框架。

下节课曲面方程需要更多的空间想象力支撑。