空间直角坐标系与向量坐标表示

教学项目

空间直角坐标系与向量坐标表示

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过第1课的学习，学生已掌握空间向量的基本概念和线性运算（加减法、数乘），理解了向量平行的充要条件。

从课堂测验反馈来看：约90%的学生掌握了三角形法则和平行四边形法则，约80%能用向量表示平行四边形对角线。

本节课引入空间直角坐标系，将向量的几何运算转化为坐标的代数运算，使向量问题变为计算问题。这是本章最关键的“从几何到代数”的桥梁。

根据教学计划，本课时为第3-4学时。

教学目标

知识目标：

（1）理解空间直角坐标系的建立，掌握坐标面、卦限的概念；

（2）掌握向量的坐标表示： $r=xi+yj+zk=(x,y,z)$ ；

（3）掌握向量加减法、数乘的坐标运算公式；

（4）掌握向量模的坐标公式： $|a|= \sqrt{{a_{x}}^{2} {+a}_{y}^{2} {+a}_{z}^{2}}$ ；

（5）掌握空间两点间的距离公式；

（6）掌握定比分点公式与中点坐标公式；

（7）理解方向余弦的概念，掌握公式 $cos α = \frac{x}{|a|}$ 等及单位向量的表示。

能力目标：

（1）培养将几何问题坐标化的能力；

（2）培养运用距离公式和方向余弦解决空间几何问题的计算能力。

素质目标：

（1）通过坐标化方法体会数形结合思想；

（2）通过公式推导培养严谨的数学思维。

教学重点

1. 向量的坐标表示与坐标运算公式；

2. 向量的模与空间两点间距离公式；

3. 方向余弦与单位向量。

教学难点

及应对

1. 空间直角坐标系中卦限的理解；

2. 定比分点公式的推导；

3. 方向余弦的几何意义。

教学资源

教材《高等数学》第5章 §5.1-§5.2；多媒体课件；板书

教学方法

讲授法 + 板书演示 + 几何直观 + 课堂练习

教学反思

坐标化是向量代数的核心。本节内容公式较多，需要帮助学生理解公式的几何意义，避免死记硬背。距离公式和方向余弦是后续内容的基础。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、空间直角坐标系（10 min）

1.1 坐标系的建立

在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i, j, k，就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴，依次记为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称为坐标轴，它们构成一个空间直角坐标系，称为Oxyz坐标系。

注意：数轴的正向通常符合右手规则（右手四指从x轴正向转向y轴正向时，大拇指指向z轴正向）。

1.2 坐标面和卦限

任意两个坐标轴可以确定一个平面，称为坐标面：

xOy面（z=0）、yOz面（x=0）、zOx面（y=0）。

三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做一个卦限。含三个正半轴的卦限叫做第一卦限，按逆时针方向依次为第二、三、四卦限（xOy面上方），与之对应的下方为第五、六、七、八卦限。

二、向量的坐标表示（10 min）

对于空间任一向量r，把r的起点平移到原点O，设终点为M(x,y,z)，则

$r=vec OM =xi+yj+zk$

上式称为向量r的坐标表示式。x, y, z称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量。

简记为 $r=(x,y,z)$

向量的坐标运算公式：

设 ${a=(a}_{x} {,a}_{y} {,a}_{z})$ ， ${b=(b}_{x} {,b}_{y} {,b}_{z})$ ，则：

加法： ${a+b=(a}_{x} {+b}_{x} {,a}_{y} {+b}_{y} {,a}_{z} {+b}_{z})$

减法： ${a-b=(a}_{x} {-b}_{x} {,a}_{y} {-b}_{y} {,a}_{z} {-b}_{z})$

数乘： $λ a=(λ a_{x}, λ a_{y}, λ a_{z})$

向量平行的坐标条件： $a // b$ 当且仅当 $\frac{b_{x}}{a_{x}} = \frac{b_{y}}{a_{y}} = \frac{b_{z}}{a_{z}}$

三、向量的模与两点距离公式（15 min）

3.1 向量模的坐标公式

设 $r=(x,y,z)$ ，由勾股定理可得：

$|r|= \sqrt{x^{2} {+y}^{2} {+z}^{2}}$ （公式5-1）

3.2 两点间距离公式

设两点 ${A(x}_{1} {,y}_{1} {,z}_{1})$ ， ${B(x}_{2} {,y}_{2} {,z}_{2})$ ，则

$vec AB {=(x}_{2} {-x}_{1} {,y}_{2} {-y}_{1} {,z}_{2} {-z}_{1})$

$|AB|= \sqrt{{(x}_{2} {-x}_{1})^{2} {+(y}_{2} {-y}_{1})^{2} {+(z}_{2} {-z}_{1})^{2}}$ （公式5-2）

3.3 定比分点公式与中点公式

设M分有向线段AB使 $vec AM = λ vec MB$ （ $λ ≠ -1$ ），则M的坐标为：

$x= \frac{x_{1} + λ x_{2}}{1+ λ}$ ， $y= \frac{y_{1} + λ y_{2}}{1+ λ}$ ， $z= \frac{z_{1} + λ z_{2}}{1+ λ}$

当 $λ =1$ 时为中点公式： $x= \frac{x_{1} {+x}_{2}}{2}$ ， $y= \frac{y_{1} {+y}_{2}}{2}$ ， $z= \frac{z_{1} {+z}_{2}}{2}$

坐标系是后续所有内容的基础

坐标运算将几何问题代数化

距离公式和中点公式是常用工具

课堂测验

（10 min）

四、方向余弦与单位向量（10 min）

向量a=(x,y,z)与Ox、Oy、Oz轴正向的夹角 $α, β, γ$ 称为向量a的方向角。

方向角的余弦称为方向余弦：

$cos α = \frac{x}{|a|} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} {+y}^{2} {+z}^{2}}}$ （公式5-3）

同理： $cos β = \frac{y}{|a|}$ ， $cos γ = \frac{z}{|a|}$

重要性质：

${cos}^{2} α + {cos}^{2} β + {cos}^{2} γ =1$

单位向量（公式5-4）：

$a^{0} = \frac{a}{|a|} =(cos α, cos β, cos γ)$

五、典型例题

例1（教材例1）

求解以向量为未知元的线性方程组 5x-3y=a, 3x-2y=b，其中a=(2,1,2), b=(-1,1,-2)。

解：解方程组得 x=2a-3b, y=3a-5b。

x=2(2,1,2)-3(-1,1,-2)=(4,2,4)-(-3,3,-6)=(7,-1,10)

y=3(2,1,2)-5(-1,1,-2)=(6,3,6)-(−5,5,−10)=(11,−2,16)

例2（教材例2, 定比分点）

已知A( $x_{1} {,y}_{1} {,z}_{1}$ )和B( $x_{2} {,y}_{2} {,z}_{2}$ )以及 $λ ≠ -1$ ，在直线AB上求一点M使 $vec AM = λ vec MB$ 。

解：设M(x,y,z)，由定比分点公式直接得到坐标（如前述公式）。

例3（教材例3, 距离公式）

求证以 $M_{1} {(4,3,1), M}_{2} {(7,1,2), M}_{3} (5,2,3)$ 为顶点的三角形是等腰三角形。

解： ${|M}_{1} M_{2} |^{2} {=(7-4)}^{2} {+(1-3)}^{2} {+(2-1)}^{2} =9+4+1=14$

${|M}_{2} M_{3} |^{2} {=(5-7)}^{2} {+(2-1)}^{2} {+(3-2)}^{2} =4+1+1=6$

${|M}_{1} M_{3} |^{2} {=(5-4)}^{2} {+(2-3)}^{2} {+(3-1)}^{2} =1+1+4=6$

因为 ${|M}_{2} M_{3} {|=|M}_{1} M_{3} |= \sqrt{6}$ ，所以是等腰三角形。

例4（教材例4）

在z轴上求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点。

解：设所求点M(0,0,z)，由|MA|=|MB|得

${16+1+(z-7)}^{2} {=9+25+(z+2)}^{2}$

展开化简：17+z^2-14z+49 = 34+z^2+4z+4

解得 $z= \frac{14}{9}$ ，即M(0,0,14/9)。

例5（教材例5, 单位向量）

已知A(4,0,5)和B(7,1,3)，求与 $vec AB$ 方向相同的单位向量e。

$vec AB =(3,1,-2)$ ， $|vec AB |= \sqrt{9+1+4} = \sqrt{14}$

$e= \frac{vec AB}{|vec AB |} = \frac{1}{\sqrt{14}} (3,1,-2)$

例6（教材例6, 方向余弦）

求向量a=i+j-k的长度及方向余弦，并求 $a^{0}$ 。

$|a|= \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$

$cos α = \frac{1}{\sqrt{3}}, cos β = \frac{1}{\sqrt{3}}, cos γ = \frac{-1}{\sqrt{3}}$

$a^{0} = \frac{1}{\sqrt{3}} (1,1,-1)= \frac{1}{\sqrt{3}} (i+j-k)$

方向余弦将方向数值化

例题紧扣教材，覆盖核心公式

由易到难，循序渐进

第二节课

课堂练习（20 min）

六、课堂练习（习题5-2）

1. 已知a=2i-j+k，求：(1) |a|; (2) a的方向余弦; (3) $a^{0}$ 。

2. 已知两向量a=(2,1,2), b=(-1,1,-2)，求下列各向量的坐标：

(1) 2a; (2) a-2b; (3) 2a+b; (4) 3a-2b

3. 已知三角形三个顶点A(2,-1,3), B(3,1,6), C(1,2,4)，求三角形的三边长。

4. 已知点M(1,sqrt{2},1)，求向量OM与坐标轴之间的夹角。

参考答案：

1. (1) $|a|= \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$

(2) $cos α = \frac{2}{\sqrt{6}}, cos β = \frac{-1}{\sqrt{6}}, cos γ = \frac{1}{\sqrt{6}}$

(3) $a^{0} = \frac{1}{\sqrt{6}} (2,-1,1)$

2. (1)(4,2,4); (2)(4,-1,6); (3)(3,3,2); (4)(8,1,10)

3. |AB|= $\sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$ ，|BC|= $\sqrt{4+1+4} =3$ ，|AC|= $\sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$

4. |OM|=2， $α = \frac{π}{3}, β = \frac{π}{4}, γ = \frac{π}{3}$

练习覆盖模、方向余弦、距离公式

习题来自教材习题5-2

课堂测验

（10 min）

课堂测验

1. 已知A(1,2,3), B(4,0,5)，求线段AB的中点坐标和|AB|。

2. 向量a=(3,4,0)的方向余弦是多少？

参考答案：

1. 中点(5/2, 1, 4)，|AB|=sqrt{9+4+4}=sqrt{17}

2. |a|=5, $cos α = \frac{3}{5}, cos β = \frac{4}{5}, cos γ =0$

快速测验检验学习效果

课堂小结

（5 min）

课堂小结

一、空间直角坐标系

O为原点，i/j/k为基本单位向量，三个坐标面分出八个卦限。

二、核心公式

1. 坐标表示： $r=xi+yj+zk=(x,y,z)$

2. 模： $|a|= \sqrt{{a_{x}}^{2} {+a}_{y}^{2} {+a}_{z}^{2}}$

3. 距离： $|AB|= \sqrt{{(x}_{2} {-x}_{1})^{2} {+(y}_{2} {-y}_{1})^{2} {+(z}_{2} {-z}_{1})^{2}}$

4. 方向余弦： $cos α = \frac{x}{|a|}$ ，且 ${cos}^{2} α + {cos}^{2} β + {cos}^{2} γ =1$

5. 单位向量： $a^{0} = \frac{a}{|a|} =(cos α, cos β, cos γ)$

下节课预告：向量的模、方向余弦、单位向量的深入应用。

总结核心公式，形成知识框架

教学反思

本节课内容以公式为主，学生需要在理解几何意义的基础上记忆和运用公式。

1. 空间直角坐标系的建立学生接受较快，但卦限的划分约有20%的学生仍然混淆，建议用实物模型（如教室的三面墙交汇处）帮助理解。

2. 坐标运算公式学生掌握较好，因为与平面情况类似。

3. 距离公式和方向余弦是本节重点，大部分学生能正确运用。部分学生在计算方向余弦时忘记先求模，需要强调步骤。

4. 定比分点公式较为抽象，可在后续课程中通过更多例题来巩固。