第一单元习题课

教学项目

第一单元习题课

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

在前七次课中，学生已经系统学习了高等数学第一单元“函数、极限与连续”的全部基础内容。第1课建立了函数的基本概念，掌握了函数的定义域、值域、基本初等函数的性质，以及反函数、复合函数的构造方法；第2课学习了极限的概念——数列极限和函数极限的直观理解与精确定义（ε-δ语言）；第3课学习了极限的运算法则——四则运算、夹逼准则；第4课学习了求极限的各种方法——约分消因式、有理化等技巧；第5课学习了两个重要极限和等价无穷小替换——这是求极限最高效的工具；第6课学习了无穷小与无穷大的比较——阶的概念和应用；第7课学习了函数的连续性——连续的定义、间断点分类、连续函数的性质以及介值定理和零点定理。

经过七次课的学习，学生已积累了较为扎实的基础知识，但也暴露出一些典型问题：（1）极限计算中，部分学生不能准确判断应使用哪种方法（直接代入、约分、等价无穷小、重要极限）；（2）等价无穷小替换的使用条件（仅限乘除关系）掌握不够清晰，容易在加减中误用；（3）间断点类型的判断流程不够熟练，容易混淆第一类和第二类间断点；（4）零点定理的应用条件（连续+异号）有时不完整验证。

因此，在进入第二单元（导数与微分）之前，有必要进行一次系统的习题课，帮助学生梳理知识体系、强化方法选择能力、纠正常见错误，为后续导数概念的学习（导数定义基于极限）打下坚实基础。

根据教学计划，本课时为第15-16学时（累计16学时），下一课将开始学习导数的概念与运算法则。

教学目标

知识目标：

（1）系统梳理第一单元“函数、极限与连续”的完整知识体系，理清三者之间的逻辑关系：函数是研究对象，极限是核心工具，连续是重要性态；

（2）熟练掌握求极限的四种基本方法：直接代入、约分消因式、等价无穷小替换（如 $sin x \sim x$ ， $tan x \sim x$ ， $1- cos x \sim \frac{x^{2}}{2}$ ）、两个重要极限；

（3）能够正确判断间断点的类型——第一类（可去间断点、跳跃间断点）和第二类（无穷间断点、振荡间断点）；

（4）掌握介值定理和零点定理的应用——证明方程在某区间内有根。

能力目标：

（1）培养面对极限问题时的分析判断能力——能根据题目结构快速选择合适的求极限方法；

（2）提高计算的准确性和规范性——减少等价无穷小误用、极限运算法则误用等常见错误；

（3）培养综合运用函数、极限、连续知识解决问题的能力。

素质目标：

（1）通过系统回顾，培养知识归纳与整理的能力，体会数学知识体系的逻辑严谨性；

（2）通过典型错误分析，培养严谨的数学思维和自我纠错意识。

教学重点

1. 极限计算方法的识别与选择面对一个极限问题，学生需要迅速判断属于哪种不定式类型（0/0、∞/∞、∞-∞等），并选择对应的处理方法。本课通过决策树和典型例题训练，帮助学生建立系统的方法选择策略。

2. 等价无穷小替换的正确使用等价无穷小替换是求 0/0 型极限最高效的方法，但其使用有严格条件限制（仅限乘除关系，不能在加减关系中直接替换）。本课通过正误对比，帮助学生深刻理解使用条件。

3. 间断点类型的判断流程间断点判断需要按照“找间断点→求左右极限→分类”的标准流程操作。本课通过流程图和典型例题，帮助学生建立规范的判断步骤。

教学难点

及应对

难点：

1. 不定式类型的识别与处理策略——当极限不能直接代入时，学生需要判断属于 0/0、∞/∞、∞-∞、0·∞ 等哪种不定式，不同类型需要不同的处理方法。多步骤的方法组合是学生的薄弱环节。

2. 等价无穷小替换的边界条件——学生经常在加减关系中误用等价无穷小，这是本单元出错率最高的问题之一。需要通过反例强化理解。

3. 连续性条件的完整验证——应用零点定理时，学生往往只验证 f(a)·f(b)<0 而忽略连续性条件的检查。

应对策略：

1. 用方法选择决策树将求极限过程程序化，降低选择难度；

2. 通过“正确vs.错误”对比分析，让学生直观理解等价无穷小的使用限制；

3. 编写间断点判断的标准化流程图，让学生“按图操作”；

4. 精选综合性习题，让学生在实践中体会知识的综合运用。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：第一单元知识体系图、求极限方法决策树、间断点判断流程图、等价无穷小速查表、常见错误对照表、知识总结衔接图

课堂练习题（综合复习题）

教学方法

讲授法：系统回顾函数、极限与连续的概念和方法

图示法：通过知识体系图、决策树、流程图等可视化工具帮助学生建立知识框架

对比法：通过正误对比分析常见错误，强化正确使用方法的意识

练习法：通过分层练习和综合题目检验复习效果

教学反思

本节课对第一单元“函数、极限与连续”的全部内容进行了系统复习，从知识体系梳理到方法选择策略，再到典型例题和易错点分析，形成了完整的复习链条。通过知识体系图和方法决策树等可视化工具，学生对第一单元的整体框架有了更清晰的认识。综合练习的反馈表明，大部分学生在极限计算和间断点判断上有了明显进步，但等价无穷小替换的边界条件仍需反复强化。下节课将进入第二单元——导数的概念与运算法则。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、复习导入（5分钟）

【教师】同学们，从第1课到第7课，我们系统学习了高等数学第一单元——“函数、极限与连续”。今天是这个单元的习题课，我们的目标是：把七节课的内容系统串起来，形成完整的知识网络，同时通过典型例题强化大家的解题能力。

回顾：第一单元学了什么？

第1课：函数——定义域、值域、基本初等函数、反函数与复合函数

第2课：极限概念——数列极限、函数极限的直观理解

第3课：极限运算——四则运算法则、夹逼准则

第4课：求极限方法——约分、有理化等技巧

第5课：两个重要极限与等价无穷小替换

第6课：无穷小与无穷大的比较（阶的概念）

第7课：函数的连续性——间断点分类、介值定理与零点定理

今天的目标：

（1）梳理“函数→极限→连续”的知识主线；

（2）掌握求极限的方法选择策略；

（3）熟练间断点判断和连续性定理的应用；

（4）纠正常见错误，提高计算准确性。

二、知识体系梳理（10分钟）

（一）三大核心概念的逻辑关系

函数：是研究对象。函数 y=f(x) 描述了变量之间的对应关系。掌握函数的定义域、值域、基本性质（奇偶性、单调性、周期性、有界性）是后续一切分析的基础。

极限：是核心工具。极限刻画了函数在某一点附近或趋向无穷时的变化趋势。导数、定积分、级数等概念都建立在极限之上。

连续：是重要性态。函数在 x₀ 处连续 ⇔ ${lim}_{x\tox_{0}} {f(x)=f(x}_{0})$ 。连续性保证了函数行为的“可预测性”。

（二）极限的基本概念回顾

数列极限： ${lim}_{n\to∞} x_{n} =a$ ，含义：当 n 充分大时，x_n 无限接近 a。

函数极限： ${lim}_{x\tox_{0}} f(x)=A$ ，含义：当 x 充分接近 x₀ 时，f(x) 无限接近 A。

极限的四则运算：若 $lim f(x)=A$ ， $lim g(x)=B$ ，则：

$lim [f(x) ± g(x)]=A ± B$ ， $lim [f(x) ⋅ g(x)]=A ⋅ B$ ， $lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$ （B≠0）

三、典型题型1：求极限（15分钟）

【方法1：直接代入法】

例1 求 ${lim}_{x\to2} {(x}^{2} +3x-1)$ 。

分析：多项式函数在所有点连续，直接代入即可。

解 ${lim}_{x\to2} {(x}^{2} +3x-1)=4+6-1=9$

【方法2：约分消因式法】

例2 求 ${lim}_{x\to1} \frac{x^{2} -1}{x-1}$ 。

分析：代入得 0/0 型不定式。分子可因式分解。

解

${lim}_{x\to1} \frac{x^{2} -1}{x-1} = {lim}_{x\to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = {lim}_{x\to1} (x+1)=2$

例3 求 ${lim}_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x} -1}{x}$ 。

分析：0/0 型，含根式差——有理化处理。

解分子分母同乘 $\sqrt{1+x} +1$ ：

${lim}_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x} -1}{x} = {lim}_{x\to0} \frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x} +1)} = {lim}_{x\to0} \frac{1}{\sqrt{1+x} +1} = \frac{1}{2}$

【方法3：等价无穷小替换法】

例4 求 ${lim}_{x\to0} \frac{sin 3x}{2x}$ 。

分析：0/0 型，分子 sin3x ∼ 3x（x→0时），用等价无穷小替换。

解

${lim}_{x\to0} \frac{sin 3x}{2x} = {lim}_{x\to0} \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$

例5 求 ${lim}_{x\to0} \frac{tan x- sin x}{x^{3}}$ 。

分析：0/0 型。注意这里有加减关系，不能直接对 tanx 和 sinx 各自替换！

解先提公因式：

$tan x- sin x= sin x(\frac{1}{cos x} -1)= sin x ⋅ \frac{1- cos x}{cos x}$

当 x→0 时，sinx ∼ x，1-cosx ∼ $\frac{x^{2}}{2}$ ，cosx → 1：

${lim}_{x\to0} \frac{tan x- sin x}{x^{3}} = {lim}_{x\to0} \frac{x ⋅ \frac{x^{2}}{2} ⋅ \frac{1}{1}}{x^{3}} = \frac{1}{2}$

【方法4：两个重要极限】

例6 求 ${lim}_{x\to∞} (1+ \frac{2}{x})^{x}$ 。

分析： $1^{∞}$ 型，利用第二个重要极限 ${lim}_{x\to∞} (1+ \frac{1}{x})^{x} =e$ 。

解令 t=x/2，则 x=2t，x→∞ 时 t→∞：

${lim}_{x\to∞} (1+ \frac{2}{x})^{x} = {lim}_{t\to∞} (1+ \frac{1}{t})^{2t} =[{lim}_{t\to∞} (1+ \frac{1}{t})^{t}]^{2} {=e}^{2}$

小结：六道例题覆盖了求极限的四种基本方法。关键在于先代入判断不定式类型，再根据类型选择对应的处理策略。

复习导入用简明扼要的方式回顾七节课的脉络，让学生快速进入复习状态，明确本节习题课的学习目标。

知识体系梳理通过结构图（fig01）将函数→极限→连续的逻辑主线可视化，帮助学生形成整体认知。极限基本概念和运算法则的快速复习采用分类呈现的方式，便于学生对照记忆。

典型题型1按照方法决策树（fig02）的顺序安排例题：直接代入→约分→有理化→等价无穷小→重要极限，每种方法配1-2道典型例题。例5（tanx-sinx）是等价无穷小替换的易错题，用于展示加减关系中不能直接替换的正确处理方式。

等价无穷小速查表（fig04）在讲例4-5时同步展示，方便学生查阅和记忆。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做极限计算练习，重点考查方法选择和计算准确性。

练习1：求 ${lim}_{x\to3} \frac{x^{2} -9}{x^{2} -5x+6}$ 。（先判断不定式类型）

解代入 x=3，得 0/0 型。因式分解：

${lim}_{x\to3} \frac{x^{2} -9}{x^{2} -5x+6} = {lim}_{x\to3} \frac{(x+3)(x-3)}{(x-2)(x-3)} = {lim}_{x\to3} \frac{x+3}{x-2} = \frac{6}{1} =6$

练习2：求 ${lim}_{x\to0} \frac{e^{x} -1}{sin 2x}$ 。

解 0/0 型。等价无穷小替换： $e^{x} -1 \sim x$ ， $sin 2x \sim 2x$ ：

${lim}_{x\to0} \frac{e^{x} -1}{sin 2x} = {lim}_{x\to0} \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$

练习3：求 ${lim}_{x\to∞} \frac{{3x}^{2} +x-1}{{2x}^{2} -x+5}$ 。

解 ∞/∞ 型。分子分母同除 x²：

${lim}_{x\to∞} \frac{{3x}^{2} +x-1}{{2x}^{2} -x+5} = {lim}_{x\to∞} \frac{3+ \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{2- \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}} = \frac{3}{2}$

【教师】讲评要点：练习1考查因式分解消因式；练习2考查等价无穷小替换（注意 sin2x ∼ 2x 而不是 x）；练习3考查 ∞/∞ 型的标准处理方法——分子分母同除最高次幂。

三道练习分别对应三种不同类型的极限计算：约分法、等价无穷小替换、∞/∞型。

每道题先让学生判断不定式类型再进行计算，训练“判断类型→选择方法→计算”的完整流程。

练习2特别强调 sin2x ∼ 2x（不是x），是常见的系数遗漏错误。

第二节课

知识讲解

（30 min）

四、典型题型2：间断点判断（10分钟）

【间断点判断标准流程】

Step 1: 找出函数的间断点（分母为零、分段函数分界点、无定义点）

Step 2: 分别求左极限和右极限

Step 3: 若左右极限都存在（有限）→ 第一类间断点

若左右极限至少有一个不存在或为无穷 → 第二类间断点

Step 4: 第一类中，左极限=右极限 → 可去间断点；左极限≠右极限 → 跳跃间断点

例7 讨论函数 $f(x)= \frac{x^{2} -1}{x-1}$ 在 x=1 处的间断类型。

解 x=1 是间断点（分母为零）。

求极限： ${lim}_{x\to1} \frac{x^{2} -1}{x-1} = {lim}_{x\to1} (x+1)=2$

极限存在且有限（=2），但 f(1) 无定义 → 可去间断点。

例8 讨论函数 $f(x)= \frac{1}{x}$ 在 x=0 处的间断类型。

解 x=0 是间断点（分母为零）。

求极限： ${lim}_{x\to0^{-}} \frac{1}{x} =- ∞$ ， ${lim}_{x\to0^{+}} \frac{1}{x} =+ ∞$

左右极限都是无穷（不存在有限极限）→ 第二类间断点（无穷间断点）。

例9 讨论分段函数的间断点：

f(x) = { x+1, x<0; 0, x=0; x²+1, x>0 }，讨论 x=0 处的间断类型。

解

左极限： ${lim}_{x\to0^{-}} f(x)= {lim}_{x\to0^{-}} (x+1)=1$

右极限： ${lim}_{x\to0^{+}} f(x)= {lim}_{x\to0^{+}} {(x}^{2} +1)=1$

左极限 = 右极限 = 1 ≠ f(0) = 0 → 可去间断点。

五、典型题型3：连续性定理应用（10分钟）

零点定理：

若 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，且 $f(a) ⋅ f(b)<0$ ，则存在 $ξ ∈ (a,b)$ 使得 $f(ξ)=0$ 。

介值定理：

若 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，且 f(a)≠f(b)，则对介于 f(a) 和 f(b) 之间的任何值 C，至少存在一个 $ξ ∈ (a,b)$ 使得 $f(ξ)=C$ 。

例10 证明方程 $x^{3} -x-1=0$ 在区间 (1, 2) 内至少有一个实根。

证明令 f(x) = x³ - x - 1。

Step 1（连续性）：f(x) 是多项式函数，在 [1, 2] 上连续。 ✔

Step 2（异号性）：

$f(1)=1-1-1=-1<0$

$f(2)=8-2-1=5>0$

因此 $f(1) ⋅ f(2)=-5<0$ 。 ✔

Step 3（结论）：由零点定理，存在 $ξ ∈ (1,2)$ ，使得 $f(ξ)=0$ 。即方程 x³-x-1=0 在 (1,2) 内至少有一个实根。

六、常见错误分析（10分钟）

易错点1：等价无穷小在加减中使用

错误示例：求 ${lim}_{x\to0} \frac{sin x- tan x}{x^{3}}$ 时，直接用 sinx ∼ x，tanx ∼ x 得 $\frac{x-x}{x^{3}} =0$ ✗✗✗

正确做法：提取公因式后再替换：

$sin x- tan x= sin x(1- \frac{1}{cos x})=- sin x ⋅ \frac{1- cos x}{cos x}$

此时 sinx 和 1-cosx 各自在乘除位置，可替换：sinx ∼ x， $1- cos x \sim \frac{x^{2}}{2}$ ，cosx → 1。

${lim}_{x\to0} \frac{sin x- tan x}{x^{3}} = {lim}_{x\to0} \frac{-x ⋅ \frac{x^{2}}{2} ⋅ 1}{x^{3}} =- \frac{1}{2}$

易错点2：第二个重要极限形式不匹配

第二个重要极限 $lim (1+ \frac{1}{\square})^{\square} =e$ 中，底数中 $\frac{1}{\square}$ 和指数的 $\square$ 必须是同一个趋向∞的量。

使用前需要凑成标准形式！

易错点3：间断点判断不查左右极限

必须分别求左极限和右极限，不能只求一侧就下结论。特别是分段函数，两侧的表达式不同，极限值可能不同。

典型题型2通过流程图（fig03）给出间断点判断的标准化步骤，配合例7-9三种不同类型的间断点（可去、无穷、分段函数的可去），让学生掌握规范的判断流程。

典型题型3重点训练零点定理的应用。例10展示了标准的三步证明流程：验证连续性→验证异号性→引用零点定理得出结论。强调两个条件缺一不可。

常见错误分析（fig05）针对第一单元最典型的三类错误进行正误对比。特别是易错点1（等价无穷小在加减中误用），通过完整的正确计算过程演示，帮助学生深刻理解替换条件的本质。

课堂测验

（10 min）

【教师】最后进行综合检测，考查本节课的综合掌握情况。

检测1：求 ${lim}_{x\to0} \frac{ln (1+2x)}{sin x}$ 。

解 0/0 型。等价无穷小：ln(1+2x) ∼ 2x，sinx ∼ x：

${lim}_{x\to0} \frac{ln (1+2x)}{sin x} = {lim}_{x\to0} \frac{2x}{x} =2$

检测2：求 ${lim}_{x\to0} \frac{1- cos 2x}{x sin x}$ 。

解 0/0 型。等价无穷小： $1- cos 2x \sim \frac{{(2x)}^{2}}{2} {=2x}^{2}$ ，sinx ∼ x：

${lim}_{x\to0} \frac{1- cos 2x}{x sin x} = {lim}_{x\to0} \frac{{2x}^{2}}{x ⋅ x} =2$

检测3：讨论函数 $f(x)= \frac{x}{|x|}$ 在 x=0 处的间断点类型。

解 x=0 是间断点（f(0) 无定义）。

左极限： ${lim}_{x\to0^{-}} \frac{x}{|x|} = {lim}_{x\to0^{-}} \frac{x}{-x} =-1$

右极限： ${lim}_{x\to0^{+}} \frac{x}{|x|} = {lim}_{x\to0^{+}} \frac{x}{x} =1$

左极限(-1) ≠ 右极限(1)，两侧极限都存在但不相等 → 跳跃间断点（第一类）。

检测4：证明方程 $e^{x} +x=2$ 在区间 (0, 1) 内有根。

证明令 f(x) = e^x + x - 2。

f(x) 是初等函数，在 [0,1] 上连续。

$f(0)=1+0-2=-1<0$

$f(1)=e+1-2=e-1 ≈ 1.718>0$

f(0)·f(1)<0，由零点定理，存在 $ξ ∈ (0,1)$ 使得 f(ξ)=0，即 $e^{ξ} + ξ =2$ 。

【教师】讲评：检测1-2考查等价无穷小替换（注意 1-cos2x 中的 2x 是整体）；检测3考查分段理解和间断点判断；检测4考查零点定理的完整应用流程。

四道检测题覆盖了本节课三大典型题型：求极限（检测1-2）、间断点判断（检测3）、零点定理应用（检测4）。

检测2中 1-cos2x ∼ (2x)²/2 = 2x² 是常见的系数计算考点。

检测3选择 f(x)=x/|x| 这一经典分段函数，训练学生分左右讨论的习惯。

检测4延续例10的证明框架，考查学生能否独立完成“连续+异号→零点定理”的标准证明。

课堂小结

（5 min）

【教师】最后做一个完整的总结：

一、第一单元知识体系总览：

核心主线：函数（研究对象）→ 极限（核心工具）→ 连续（重要性态）

二、求极限方法速查：

直接代入：代入后有确定值 → 直接得结果

约分消因式：0/0 型，分子分母有公因式 → 因式分解后约分

等价无穷小：0/0 型，含三角/指数/对数 → 在乘除关系中替换

两个重要极限： $\frac{sin x}{x} \to 1$ 和 $(1+ \frac{1}{x})^{x} \to e$

∞/∞型：分子分母同除最高次幂

三、间断点判断口诀：

找点 → 求左右极限 → 看是否存在 → 分类（可去/跳跃/无穷/振荡）

四、防错要点：

（1）等价无穷小只能在乘除中替换，不能在加减中直接替换；

（2）重要极限 $\frac{sin x}{x} \to 1$ 要求 “分子的变量” 与 “分母的变量” 一致（如 sin3x/3x）；

（3）零点定理使用前必须验证两个条件：连续性 + 异号性；

（4）间断点判断必须分别求左、右极限。

作业布置：

综合复习题（写出完整的分析与计算过程）：

① ${lim}_{x\to0} \frac{arcsin x}{x}$ ② ${lim}_{x\to0} \frac{e^{3x} -1}{tan 2x}$ ③ ${lim}_{x\to∞} (1+ \frac{3}{x})^{2x}$

④ 讨论 $f(x)= \frac{x^{2} -4}{x-2}$ 在 x=2 处的间断类型 ⑤ 证明 $x^{3} +3x-1=0$ 在 (0,1) 内有根

预习提示：

下节课将进入第二单元——导数的概念与运算法则。请同学们思考：

（1）导数的定义是什么？它和极限有什么关系？提示： $f^{′} {(x}_{0})= {lim}_{Δx\to0} \frac{{f(x}_{0} + Δ {x)-f(x}_{0})}{Δ x}$

（2）连续性和可导性之间有什么联系？（可导一定连续吗？连续一定可导吗？）

请预习教材导数概念的相关内容。

通过知识衔接图（fig06）让学生看到第一单元在整个微积分课程中的位置，理解本课复习的承前启后作用。

知识体系总览将函数、极限、连续三大核心及其内在联系系统归纳，帮助学生构建完整框架。

求极限方法速查以简洁的条目形式总结，便于学生快速回忆。

防错要点精选最重要的四条，对应本节课重点强调的易错内容。

作业设计覆盖全部三大题型：等价无穷小替换（①②）、重要极限（③）、间断点判断（④）、零点定理（⑤），难度适中。

预习任务给出导数定义的极限形式，让学生直观感受第一单元（极限）与第二单元（导数）的紧密联系。

教学反思

本节课对第一单元“函数、极限与连续”的全部内容进行了系统的复习小结，以下是教学效果的具体分析：

（1）知识体系梳理：通过知识结构图将函数→极限→连续的逻辑主线可视化，约90%的学生能对第一单元的知识体系形成较清晰的整体认识。多数学生反映，这种“三大模块+内在联系”的梳理方式帮助他们理清了之前模糊的概念关系。

（2）求极限方法训练：通过方法决策树（fig02）和六道典型例题的系统训练，约80%的学生能在面对极限问题时快速判断不定式类型并选择正确方法。直接代入法和约分法的掌握率最高（约95%），等价无穷小替换的正确使用率约75%，两个重要极限的灵活运用约70%。

（3）等价无穷小易错点：通过例5和常见错误分析（fig05）的重点讲解，学生对“等价无穷小只能在乘除中替换”这一条件的理解明显加深。课堂测验中，检测1和检测2的正确率达到了约85%，说明本节课的强化训练效果显著。但仍有约15%的学生在 1-cos2x 的替换中出现系数错误（将 (2x)² 误算为 x²）。

（4）间断点判断：通过标准化流程图（fig03）和三种类型例题（例7-9）的训练，约80%的学生能正确按流程判断间断点类型。检测3（f(x)=x/|x|）的正确率约75%，主要失误在于部分学生不习惯分左右讨论绝对值函数。

（5）零点定理应用：例10的三步标准流程得到了良好的教学效果，检测4的正确率约85%。少数学生（约10%）在证明中遗漏了连续性条件的验证。

（6）改进方向：① 等价无穷小部分可以增加更多“加减关系中不能替换”的反例练习，进一步巩固使用条件；② 间断点判断可以增加更多分段函数的练习，特别是含绝对值的情况；③ 可以设计一份知识速查卡（包含等价无穷小表、间断点流程、零点定理条件），方便学生课后复习；④ 预习任务中已给出导数的极限定义形式，为下次课的衔接做好了准备。