第一类换元积分法（续）

教学项目

第一类换元积分法（续）

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

在第3课中，学生已经学习了第一类换元积分法（凑微分法）的基本思想，掌握了线性替换（如 ∫f(ax+b)dx）和简单函数组合的凑微分技巧，能够处理被积函数中内函数为一次函数或简单幂函数的情形。学生已经理解了凑微分法的核心思想——利用复合函数求导法则的逆运算。

然而，第3课所涉及的凑微分模式相对单一，主要集中在线性替换和简单幂函数的组合。本节课需要将凑微分法的应用范围进一步拓展：（1）三角函数积分中的凑微分——涉及三角函数之间的相互转换，需要识别哪个三角函数适合作为中间变量u；（2）含根式的凑微分——需要将根号下的表达式（如1+x²、1-x²等）视为整体进行替换；（3）综合技巧——包括分子分母同乘、三角恒等变形（降幂公式）等辅助手段配合凑微分使用。

从学生的学习状态来看：（1）基本的凑微分操作已经比较熟练；（2）三角函数的导数公式和恒等式基础较好；（3）面对复杂的被积函数时，选择正确的凑微分策略还需要进一步培养。

根据教学计划，本课时为第7-8学时（累计8学时），下一课将学习第二类换元积分法。

教学目标

$sin x ⋅ cos x$ 、 $tan x ⋅ {sec}^{2} x$

$\frac{x}{\sqrt{{1+x}^{2}}}$ 、 $x ⋅ \sqrt{{1-x}^{2}}$

（3）掌握综合凑微分技巧——包括分子分母同乘、降幂公式（半角公式）的应用；

$\int_{}^{} {sin}^{2} xdx$ 、 $\int_{}^{} {cos}^{2} xdx$

（1）培养面对复杂被积函数时的分析能力——能够快速识别凑微分的关键结构；

（2）培养“多种方法灵活选择”的问题解决能力——面对同一个积分，能够判断用直接积分法还是凑微分法更合适；

（3）进一步提高积分计算的综合能力，为学习第二类换元积分法做好准备。

（1）通过三角函数凑微分的多样性，体会数学方法的灵活性和“一题多解”的思维方式；

（2）通过综合技巧的学习，培养面对复杂问题时化繁为简的思维能力。

教学重点

教学难点

及应对

1. 三角函数凑微分中的负号处理——当选择 u=cos x 时，du=-sin x dx，容易遗漏负号导致结果错误；涉及 cot x、csc x 的积分也有类似的符号问题。

2. 面对复杂被积函数时如何选择凑微分策略——学生可能看到含三角函数和根式的被积函数时不知道从何入手，需要培养快速识别关键结构的能力。

3. 综合技巧的灵活运用——分子分母同乘、降幂公式等辅助手段不是凑微分本身，而是为凑微分做准备的预处理步骤，学生需要理解这些步骤的目的。

1. 将三角函数的凑微分模式制成总结表（见fig01），帮助学生系统记忆各种模式；每道例题都强调写出完整的凑微分过程，特别标注负号的来源；

2. 教授识别凑微分关键结构的方法：先看被积函数中是否有某个函数的导数，若有，则将该函数设为u；

3. 综合技巧通过“先分析后操作”的方式教学——先让学生观察被积函数的特征，讨论为什么需要辅助变形，再进行具体计算。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：三角函数凑微分总结表、凑微分综合技巧图、复杂凑微分例题图解、常见不定积分结果表、凑微分与直接积分对比图、知识总结图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

讲授法：系统讲解三角函数凑微分、含根式凑微分和综合凑微分技巧

对比法：将直接积分法与凑微分法进行对比，帮助学生理解两种方法的适用场景

分类法：按凑微分的类型（三角函数、根式、综合）分类讲解，建立完整的知识框架

练习法：讲练结合，通过大量不同类型的凑微分练习巩固方法和技巧

教学反思

本节课在第3课基础上进一步拓展了凑微分法的应用范围，涵盖三角函数积分、含根式积分和综合技巧三大板块。通过三角函数凑微分总结表的系统展示，学生较好地掌握了各种三角函数凑微分的模式。含根式积分的讲解通过强调"根号下表达式的导数"这一关键线索，学生理解较快。综合技巧部分（特别是分子分母同乘和降幂公式）是本课的难点，学生需要更多练习来提升灵活性。下节课将学习第二类换元积分法，请学生复习三角恒等式和常见代换关系。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

【教师】同学们，上节课我们学习了第一类换元积分法（凑微分法）的基本方法。先来快速回顾核心要点：

$\int_{}^{} f[ϕ (x)] ϕ^{′} (x)dx$ $= \int_{}^{} f(u)du =F(u)+C$ ；

（2）上节课主要处理了线性替换（u=ax+b）和简单函数组合的凑微分；

（3）凑微分法的关键：识别被积函数中的复合结构，找到合适的 u。

【教师】上节课的凑微分模式相对简单——主要是 u=ax+b 这样的线性替换。但很多积分中，u 不是线性的，而是三角函数、根式表达式等更复杂的形式。今天我们就来学习这些进阶的凑微分技巧。

$\int_{}^{} {sin}^{3} x ⋅ cos xdx$ 。

$\int_{}^{} {sin}^{3} x ⋅ cos xdx = \int_{}^{} u^{3} du = \frac{u^{4}}{4} +C= \frac{{sin}^{4} x}{4} +C$

$(\frac{{sin}^{4} x}{4})^{′} = {sin}^{3} x ⋅ cos x$ ✓

$\int_{}^{} {sin}^{2} x ⋅ cos xdx$ 。

$\int_{}^{} {sin}^{2} x ⋅ cos xdx = \int_{}^{} u^{2} du = \frac{u^{3}}{3} +C= \frac{{sin}^{3} x}{3} +C$

$(\frac{{sin}^{3} x}{3})^{′} = {sin}^{2} x ⋅ cos x$ ✓

$\int_{}^{} {sin}^{n} x ⋅ cos xdx = \frac{{sin}^{n+1} x}{n+1} +C$

$\int_{}^{} tan x ⋅ {sec}^{2} xdx$ 。

$\int_{}^{} tan x ⋅ {sec}^{2} xdx = \int_{}^{} udu = \frac{u^{2}}{2} +C= \frac{{tan}^{2} x}{2} +C$

$(\frac{{tan}^{2} x}{2})^{′} = tan x ⋅ {sec}^{2} x$ ✓

$\int_{}^{} sin x ⋅ {cos}^{3} xdx$ 。

$\int_{}^{} sin x ⋅ {cos}^{3} xdx =- \int_{}^{} u^{3} du =- \frac{u^{4}}{4} +C=- \frac{{cos}^{4} x}{4} +C$

$(- \frac{{cos}^{4} x}{4})^{′} =-4 ⋅ \frac{{cos}^{3} x}{4} ⋅ (- sin x)= sin x ⋅ {cos}^{3} x$ ✓

【教师】接下来学习含根式的凑微分。关键思路：看根号下的表达式，检查其导数是否出现在被积函数中。

$\int_{}^{} \frac{x}{\sqrt{{1+x}^{2}}} dx$ 。

$\int_{}^{} \frac{x}{\sqrt{{1+x}^{2}}} dx = \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{du}{\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \int_{}^{} u^{-\frac{1}{2}} du$

$= \frac{1}{2} ⋅ \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} +C= \sqrt{u} +C= \sqrt{{1+x}^{2}} +C$

$(\sqrt{{1+x}^{2}})^{′} = \frac{2x}{2 \sqrt{{1+x}^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{{1+x}^{2}}}$ ✓

$\int_{}^{} \frac{1}{x ⋅ \sqrt{x^{2} -1}} dx$ （x>1）。

$(arc sec {x)}^{′} = \frac{1}{x ⋅ \sqrt{x^{2} -1}}$ （x>1）。

$\int_{}^{} \frac{1}{x ⋅ \sqrt{x^{2} -1}} dx =arc sec x+C$

$u= \sqrt{x^{2} -1}$ $u^{2} {=x}^{2} -1$ ， $2udu=2xdx$ ， $x= \sqrt{u^{2} +1}$ $\int_{}^{} \frac{udu}{\sqrt{u^{2} +1} ⋅ u ⋅ \sqrt{u^{2} +1}} = \int_{}^{} \frac{du}{u^{2} +1} = arctan u+C$ $arctan (\sqrt{x^{2} -1})+C$ 。

$\int_{}^{} x ⋅ \sqrt{{1-x}^{2}} dx$ 。

$\int_{}^{} x ⋅ \sqrt{{1-x}^{2}} dx =- \frac{1}{2} \int_{}^{} \sqrt{u} du =- \frac{1}{2} \int_{}^{} u^{\frac{1}{2}} du$

$=- \frac{1}{2} ⋅ \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} +C=- \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} +C=- \frac{1}{3} {(1-x}^{2})^{\frac{3}{2}} +C$

$(- \frac{1}{3} {(1-x}^{2})^{\frac{3}{2}})^{′} =- \frac{1}{3} ⋅ \frac{3}{2} {(1-x}^{2})^{\frac{1}{2}} ⋅ (-2x)=x ⋅ \sqrt{{1-x}^{2}}$ ✓

复习环节快速回顾第3课核心内容，帮助学生衔接新知识。通过指出上节课凑微分模式的局限性（主要是线性替换），自然引出本节课的进阶内容。

三角函数凑微分部分按照难度递进：例1和例2是最基本的 sin^n x cos x 模式（u=sin x），例3是 tan x sec^2 x 模式（u=tan x），例4引入了负号处理（u=cos x）。每道例题都完整写出令u、du、替换、回代、验证的全过程。

例4的负号处理是本节课的一个教学重点。通过详细的验证步骤，帮助学生理解负号的来源和正确性。总结表（fig01）系统展示了所有常见的三角函数凑微分模式。

含根式的凑微分部分通过三个例题展示了不同的根式结构：例5的√(1+x²)、例6的1/(x√(x²-1))（与反三角函数公式关联）、例7的x√(1-x²)。每道题都先分析根号下表达式的导数，再确定凑微分策略。

含根式凑微分的一般方法总结为学生提供了系统的解题思路。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做几道练习题，检验对三角函数凑微分和含根式凑微分的掌握情况。

$\int_{}^{} {cos}^{4} x ⋅ sin xdx$ 。

$\int_{}^{} {cos}^{4} x ⋅ sin xdx =- \int_{}^{} u^{4} du =- \frac{u^{5}}{5} +C=- \frac{{cos}^{5} x}{5} +C$

$(- \frac{{cos}^{5} x}{5})^{′} = {cos}^{4} x ⋅ sin x$ ✓

$\int_{}^{} {sec}^{3} x ⋅ sec x tan xdx$ 。

$\int_{}^{} {sec}^{3} x ⋅ sec x tan xdx = \int_{}^{} u^{3} du = \frac{u^{4}}{4} +C= \frac{{sec}^{4} x}{4} +C$

$(\frac{{sec}^{4} x}{4})^{′} = {sec}^{3} x ⋅ sec x tan x$ ✓

$\int_{}^{} \frac{x}{\sqrt{{4+x}^{2}}} dx$ 。

$\int_{}^{} \frac{x}{\sqrt{{4+x}^{2}}} dx = \frac{1}{2} \int_{}^{} u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} ⋅ {2u}^{\frac{1}{2}} +C= \sqrt{{4+x}^{2}} +C$

$(\sqrt{{4+x}^{2}})^{′} = \frac{x}{\sqrt{{4+x}^{2}}}$ ✓

【教师】讲评要点：练习1注意 u=cos x 时的负号处理；练习2识别 sec x tan x 是 sec x 的导数；练习3是含根式凑微分的标准模式——根号下表达式的导数出现在分子中。

三道练习分别覆盖三种凑微分模式：练习1（u=cos x，含负号）、练习2（u=sec x）、练习3（含根式凑微分）。

练习1和例4形成对照——都是 u=cos x 的模式，强化负号处理的意识。

练习3与例5类型相同（根号下为二次表达式），通过变化具体数值巩固方法。

第二节课

知识讲解

（30 min）

【教师】有些积分表面上看不出凑微分的结构，需要先进行辅助变形，再进行凑微分。下面学习几种常用的综合技巧。

$\int_{}^{} \frac{1}{e^{x} {+e}^{-x}} dx$ 。

$e^{x}$ 。

$\int_{}^{} \frac{1}{e^{x} {+e}^{-x}} dx = \int_{}^{} \frac{e^{x}}{e^{2x} +1} dx$

${u=e}^{x}$ ， ${du=e}^{x} dx$

$= \int_{}^{} \frac{du}{u^{2} +1} = arctan u+C= arctan {(e}^{x})+C$

$(arctan {(e}^{x} {))}^{′} = \frac{e^{x}}{{(e}^{x})^{2} +1} = \frac{e^{x}}{e^{2x} +1} = \frac{1}{e^{x} {+e}^{-x}}$ ✓

$\int_{}^{} \frac{1}{1+ \sqrt{x}} dx$ 。

$u= \sqrt{x}$

$\int_{}^{} \frac{1}{1+ \sqrt{x}} dx = \int_{}^{} \frac{2u}{1+u} du =2 \int_{}^{} \frac{u}{1+u} du$

$\frac{u}{1+u}$ $\frac{u}{1+u} = \frac{(1+u)-1}{1+u} =1- \frac{1}{1+u}$

$=2 \int_{}^{} (1- \frac{1}{1+u})du =2(u- ln |1+u|)+C=2(\sqrt{x} - ln (1+ \sqrt{x}))+C$

$\int_{}^{} {sin}^{2} xdx$ 。

${sin}^{2} x= \frac{1- cos 2x}{2}$ 。

$\int_{}^{} {sin}^{2} xdx = \int_{}^{} \frac{1- cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{}^{} (1- cos 2x)dx$

$= \frac{1}{2} (x- \frac{sin 2x}{2})+C= \frac{x}{2} - \frac{sin 2x}{4} +C$

$(\frac{x}{2} - \frac{sin 2x}{4})^{′} = \frac{1}{2} - \frac{2 cos 2x}{4} = \frac{1}{2} - \frac{cos 2x}{2} = \frac{1- cos 2x}{2} = {sin}^{2} x$ ✓

$\int_{}^{} {cos}^{2} xdx$ 。

${cos}^{2} x= \frac{1+ cos 2x}{2}$ ：

$\int_{}^{} {cos}^{2} xdx = \int_{}^{} \frac{1+ cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} (x+ \frac{sin 2x}{2})+C= \frac{x}{2} + \frac{sin 2x}{4} +C$

$(\frac{x}{2} + \frac{sin 2x}{4})^{′} = \frac{1}{2} + \frac{cos 2x}{2} = \frac{1+ cos 2x}{2} = {cos}^{2} x$ ✓

${sin}^{2} x= \frac{1- cos 2x}{2}$ ， ${cos}^{2} x= \frac{1+ cos 2x}{2}$

（1）先观察被积函数的结构，找出其中的复合函数关系；

（2）识别内函数的导数是否（部分地）出现在被积函数中；

（3）若直接看不出，尝试辅助变形：分子分母同乘、降幂公式、恒等变形等；

（4）确定 u 后，将 dx 用 du 表示，完成变量替换；

（5）积分完毕后回代，并用求导验证。

$\int_{}^{} \frac{sin x}{1+ {cos}^{2} x} dx$ 。

$\int_{}^{} \frac{sin x}{1+ {cos}^{2} x} dx =- \int_{}^{} \frac{du}{{1+u}^{2}} =- arctan u+C=- arctan (cos x)+C$

$(- arctan (cos {x))}^{′} =- \frac{- sin x}{1+ {cos}^{2} x} = \frac{sin x}{1+ {cos}^{2} x}$ ✓

$\int_{}^{} \frac{e^{x}}{{1+e}^{2x}} dx$ 。

$\int_{}^{} \frac{e^{x}}{{1+e}^{2x}} dx = \int_{}^{} \frac{du}{{1+u}^{2}} = arctan u+C= arctan {(e}^{x})+C$

综合凑微分技巧部分是本节课的重点和难点。例8展示了“分子分母同乘”的技巧——通过同乘e^x使被积函数化为可以凑微分的形式。这种预处理思想对学生来说是新的认知挑战。

例9展示了含√x的积分处理方法——令u=√x进行整体换元。虽然这已经接近第二类换元法的思想，但在本课中通过凑微分的框架进行讲解，为下节课做铺垫。

例10和例11是三角函数偶次幂积分的标准方法——降幂公式。这两个积分结果非常重要，在后续定积分应用中会频繁使用。口诀式总结帮助学生快速记忆。

凑微分法总结部分系统梳理了整个凑微分法的策略体系，配合常见积分结果表和方法对比图，帮助学生建立完整的知识框架。

综合练习例12和例13展示了凑微分与反三角函数公式的结合，是凑微分法的综合应用。例13与例8的对照揭示了"殊途同归"的数学美感。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做综合练习，巩固本节课所学的全部内容。

$\int_{}^{} {tan}^{3} x ⋅ {sec}^{2} xdx$ 。

$\int_{}^{} {tan}^{3} x ⋅ {sec}^{2} xdx = \int_{}^{} u^{3} du = \frac{u^{4}}{4} +C= \frac{{tan}^{4} x}{4} +C$

$(\frac{{tan}^{4} x}{4})^{′} = {tan}^{3} x ⋅ {sec}^{2} x$ ✓

$\int_{}^{} \frac{x^{2}}{\sqrt{{1-x}^{3}}} dx$ 。

$\int_{}^{} \frac{x^{2}}{\sqrt{{1-x}^{3}}} dx =- \frac{1}{3} \int_{}^{} u^{-\frac{1}{2}} du =- \frac{1}{3} ⋅ {2u}^{\frac{1}{2}} +C=- \frac{2}{3} \sqrt{{1-x}^{3}} +C$

$(- \frac{2}{3} \sqrt{{1-x}^{3}})^{′} =- \frac{2}{3} ⋅ \frac{{-3x}^{2}}{2 \sqrt{{1-x}^{3}}} = \frac{x^{2}}{\sqrt{{1-x}^{3}}}$ ✓

$\int_{}^{} sin x ⋅ cos 2xdx$

$sin x ⋅ cos 2x= \frac{1}{2} [sin 3x+ sin (-x)]= \frac{1}{2} (sin 3x- sin x)$ ，

$\int_{}^{} sin x ⋅ cos 2xdx = \frac{1}{2} \int_{}^{} (sin 3x- sin x)dx = \frac{1}{2} (- \frac{cos 3x}{3} + cos x)+C$

$=- \frac{cos 3x}{6} + \frac{cos x}{2} +C$

【教师】讲评要点：练习4是三角函数凑微分的直接应用；练习5是含根式凑微分，需要注意负号；练习6展示了另一种处理三角函数积分的方法——积化和差公式，这是降幂公式的推广。在实际做题中，学生需要根据被积函数的特征灵活选择方法。

三道综合练习分别覆盖：三角函数凑微分（练习4）、含根式凑微分（练习5）、三角恒等变形辅助积分（练习6）。难度逐步提升。

练习5的设计意图是检验学生对含根式凑微分方法的掌握，同时强化负号处理的意识。

练习6引入积化和差公式，拓宽学生处理三角函数积分的视野。这种题目展示了积分问题中化简方法的多样性。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心内容：

$\int_{}^{} {sin}^{n} x ⋅ cos xdx = \frac{{sin}^{n+1} x}{n+1} +C$

$\int_{}^{} {cos}^{n} x ⋅ sin xdx =- \frac{{cos}^{n+1} x}{n+1} +C$

$\int_{}^{} {tan}^{n} x ⋅ {sec}^{2} xdx = \frac{{tan}^{n+1} x}{n+1} +C$

关键：观察根号下表达式 g(x)，若 g'(x) 出现在被积函数其余部分中，令 u=g(x)。

（1）分子分母同乘——使被积函数化为可凑微分的形式；

${sin}^{2} x$ ${cos}^{2} x$

（3）三角恒等变形（积化和差等）——将乘积化为和差再积分。

$\int_{}^{} {sin}^{2} xdx = \frac{x}{2} - \frac{sin 2x}{4} +C$ ；

$\int_{}^{} {cos}^{2} xdx = \frac{x}{2} + \frac{sin 2x}{4} +C$ ；

$\int_{}^{} \frac{1}{e^{x} {+e}^{-x}} dx = arctan {(e}^{x})+C$ 。

（1）凑微分的关键：识别被积函数中的“函数及其导数”结构；

（2）面对复杂被积函数时，先尝试辅助变形，再进行凑微分；

（3）求导验证永远是检验结果的最可靠方法。

（1）整理三角函数凑微分的所有模式（参照课堂总结表），逐条求导验证；

（2）计算以下不定积分（要求写出完整的凑微分过程和验证步骤）：

① $\int_{}^{} {sin}^{5} x ⋅ cos xdx$ ② $\int_{}^{} \frac{x}{\sqrt{{9+x}^{2}}} dx$ ③ $\int_{}^{} {sin}^{2} x ⋅ {cos}^{2} xdx$

${sin}^{2} x ⋅ {cos}^{2} x= \frac{{sin}^{2} 2x}{4} = \frac{1- cos 4x}{8}$ ）

下节课将学习第二类换元积分法。该方法适用于凑微分法不易处理的情形——通过引入新变量 t 来替代原变量 x（如令 x=a sin t、x=a tan t 等三角代换），将根式化简。请复习三角函数的值域和基本恒等式。

通过知识总结图系统梳理本节课的核心内容：三角函数凑微分、含根式凑微分、综合技巧、重要积分结果。帮助学生形成完整的知识框架。

三角函数凑微分的公式总结特别强调了负号的出现规律——当 u=cos x 时会引入负号。这是学生最容易出错的地方。

作业设计包含三个层次：整理公式（系统化记忆）、基本凑微分（巩固方法）、综合化简+凑微分（提升能力）。作业③需要连续两次使用降幂公式，具有一定的综合性。

预习任务指向第二类换元积分法，并给出明确的预习方向（三角代换），帮助学生带着问题进入新课学习。

教学反思

本节课在第3课基础上进一步拓展了凑微分法的应用范围，教学效果总体达到预期。以下是具体分析：

（1）三角函数凑微分：采用由简到繁的例题设计（例1-例4），学生跟得上节奏。特别是例4（u=cos x，含负号）是本节课的一个教学重点——课堂上约65%的学生在第一次尝试时忘记了负号，经过反复强调和验证，课堂练习中的正确率提升到了85%左右。三角函数凑微分总结表的展示很有效，学生反馈这种系统化的归纳对记忆很有帮助。

（2）含根式凑微分：例5（∫x/√(1+x²)dx）学生理解很快——关键线索（根号下表达式的导数出现在分子中）讲解得很清楚。例7（∫x√(1-x²)dx）也处理得不错，约75%的学生能独立完成。例6的两种方法对比受到学生欢迎，但凑微分法的步骤较复杂，部分学生需要课后再巩固。

（3）综合技巧：例8（分子分母同乘e^x）是本节课难度最高的例题。约50%的学生表示“想不到要同乘e^x”——这说明辅助变形的策略性思维需要更多的训练。降幂公式（例10、例11）的教学效果较好，口诀“sin²用减，cos²用加”学生记忆很快。

（4）改进方向：① 三角函数凑微分中的负号问题需要在后续课程中持续强调；② 综合技巧部分可以增加更多的分析环节——在给出辅助变形之前，先让学生讨论为什么直接凑微分行不通，再引导思考辅助变形的方向；③ 可以设计一份分类练习卷，让学生判断每道题适合用直接积分法、凑微分法还是需要先变形，培养方法选择的能力。