教学项目

第七章习题课与总复习

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

学生已经完成了第七章矩阵代数的全部新知识学习，包括矩阵概念（L16）、矩阵运算（L17）、逆矩阵（L18）和矩阵初等变换与线性方程组（L19）。

从前期课程反馈来看：（1）矩阵加法和数乘掌握良好，但矩阵乘法的计算准确率仍需提高；（2）二阶方阵求逆（主对调副变号）掌握率高，三阶方阵用初等变换求逆需更多练习；（3）矩阵乘法不满足交换律这一性质仍有部分学生在展开公式时犯错；（4）线性方程组的高斯消元法步骤基本掌握，但对解的分类讨论不够熟练。

本节课作为第七章的习题课，将系统复习全章知识，通过典型例题强化训练，重点辨析常见易错点。同时作为第三篇的收尾课，对向量代数、多元函数微分、矩阵代数三章内容进行简要串联复习。

根据教学计划，本课时为第39-40学时（第三篇最后一次课）。

教学目标

知识目标：

（1）系统回顾矩阵的概念、运算、逆矩阵和初等变换的核心知识；

（2）通过典型例题训练矩阵乘法、求逆矩阵和解线性方程组的综合能力；

（3）辨析第七章中的常见易错点，纠正错误认识。

能力目标：

（1）培养综合运用矩阵知识解决问题的能力；

（2）培养自查自纠的解题习惯。

素质目标：

（1）通过知识体系的梳理，培养系统化思维；

（2）通过第三篇总复习，建立各章知识之间的联系。

教学重点

1. 矩阵乘法综合计算 包括不同型矩阵的乘法、验证运算性质、含有逆矩阵的表达式化简等综合题型。

2. 逆矩阵的求法与应用 二阶方阵用公式法，三阶方阵用初等变换法；利用逆矩阵求解矩阵方程。

3. 常见易错点辨析 矩阵乘法交换律、消去律、平方公式展开等易错点，通过反例加深印象。

教学难点

及应对

难点：

1. 矩阵运算性质的灵活运用——何时可以化简，何时不能；

2. 含有多个矩阵运算的综合题型——需要综合运用加法、乘法、逆、转置等；

3. 线性方程组解的分类讨论——根据增广矩阵的秩判断解的情况。

应对策略：

1. 每道题先让学生独立思考，再集体讲评，发现共性问题；

2. 对于易错题，先给出错误解法让学生找错，再讲正确方法；

3. 总结解题的一般步骤和检验方法。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：知识体系图、核心公式总结、常见易错点、解题方法图、第三篇总复习串联图、课堂总结图

课堂练习题（综合习题）

教学方法

知识串联法：以知识体系图梳理全章脉络

典型例题法：精选代表性例题覆盖核心知识点

错题辨析法：先展示错误解法，让学生找错、纠错

归纳总结法：总结解题通法和检验方法

教学反思

本节课作为第七章习题课和第三篇总复习，内容丰富，节奏紧凑。通过知识体系梳理和典型例题训练，学生对矩阵代数有了更系统的认识。易错点辨析环节效果好，学生在后续测试中相关错误率明显降低。第三篇总复习帮助学生建立了三章知识之间的联系。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、第七章知识体系梳理（10分钟）

【教师】第七章我们学习了四节内容：矩阵概念（L16）、矩阵运算（L17）、逆矩阵（L18）、初等变换与方程组（L19）。它们构成了矩阵代数的基本框架。

核心知识点回顾：

(1) 矩阵概念：${''A=(a''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">ij</ms>}}{'')''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">m</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\times </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; n</ms>}}$，特殊矩阵（零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵）。

(2) 矩阵运算：加法（同型）、数乘（$''kA''$）、乘法（$''AB''''\ne ''''BA''$）。

(3) 逆矩阵：${''AA''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''=E''$，条件 $''|A|''''\ne ''''0''$，公式 ${''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''=''\frac{''1''}{''|A|''}{''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">*</ms>}}$。

(4) 初等变换：三种行变换、增广矩阵、高斯消元法。

二、核心公式与性质速查（5分钟）

三、典型例题（20分钟）

例1 矩阵乘法计算

设

求 AB 和 BA，验证 AB ≠ BA。

解

AB：

${''c''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">11</ms>}}''=1''''\times ''''2+2''''\times ''''1=4''$

${''c''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">12</ms>}}''=1''''\times ''''1+2''''\times ''''3=7''$

${''c''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">21</ms>}}''=3''''\times ''''2+5''''\times ''''1=11''$

${''c''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">22</ms>}}''=3''''\times ''''1+5''''\times ''''3=18''$

BA：

${''c''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">11</ms>}}''=2''''\times ''''1+1''''\times ''''3=5''$

${''c''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">12</ms>}}''=2''''\times ''''2+1''''\times ''''5=9''$

${''c''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">21</ms>}}''=1''''\times ''''1+3''''\times ''''3=10''$

${''c''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">22</ms>}}''=1''''\times ''''2+3''''\times ''''5=17''$

结论：AB ≠ BA，再次验证矩阵乘法不满足交换律。

例2 求逆矩阵

设

求 A⁻¹。

解

$''|A|=1''''\times ''''5-2''''\times ''''3=-1''''\ne ''''0''$，A 可逆。

主对调，副变号：

以知识体系图开篇，帮助学生建立全章的整体认识。

核心公式速查表便于学生查阅和复习。

例1复习矩阵乘法并再次强调非交换性。

例2复习二阶方阵求逆的速算法。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做练习，检验第七章综合掌握情况。

练习1：判断正误（限时3分钟）：

（1）任意两个矩阵都可以做乘法。—— 错误（需维度匹配）

（2）${''(A+B)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''=A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+2AB+B''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$。—— 错误（因为 AB ≠ BA）

（3）可逆矩阵一定是方阵。—— 正确

（4）对角矩阵一定是对称矩阵。—— 正确

（5）${''(AB)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{''=A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{''B''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}$。—— 错误（应为 ${''B''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}$）

（6）单位矩阵的逆矩阵是零矩阵。—— 错误（E⁻¹=E）

（7）若 $''|A|=0''$，则 A = O。—— 错误

（8）行向量乘以列向量的结果是一个 1×1 矩阵。—— 正确

练习2：求逆矩阵：

解

$''|P|=1''''\times ''''3-1''''\times ''''2=1''''\ne ''''0''$，P 可逆。

主对调，副变号：

【教师】讲评要点：判断题中涉及的知识点覆盖全章，学生最容易出错的是第（2）和第（5）题，需要重点强调。

判断题快速检测全章知识的掌握程度。

求逆练习巩固最基本的计算技能。

第二节课

知识讲解

（30 min）

四、常见易错点辨析（10分钟）

重点辨析：矩阵乘法中的代数恒等式

问题：设 A, B 为同阶方阵，下列等式是否成立？

(1) ${''(A+B)(A-B)=A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''-B''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$ —— 错误

展开：${''(A+B)(A-B)=A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''-AB+BA-B''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$

因为 AB ≠ BA，所以 -AB + BA ≠ 0。

(2) ${''(A+E)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''=A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+2A+E''$ —— 正确！

因为 AE = EA = A，所以 ${''(A+E)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''=A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+AE+EA+E''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''=A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+2A+E''$。

规律：当一个因子是 E 或 kE 时，可以使用通常的代数恒等式，因为 kE 与任何矩阵都可交换！

五、综合例题（10分钟）

例3 矩阵方程

设

解矩阵方程 AX + E = A。

解

AX = A - E

两边左乘 ${''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}$：

${''X=A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{''(A-E)=E-A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}$

由例2知

X = E - A⁻¹：

${''x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">11</ms>}}''=1-(-5)=6''$

${''x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">12</ms>}}''=0-2=-2''$

${''x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">21</ms>}}''=0-3=-3''$

${''x''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">22</ms>}}''=1-(-1)=2''$

例4 解线性方程组

用增广矩阵法解方程组：

$''x+y+z=6''$

$''x+2y-z=2''$

$''2x+3y=8''$

写出增广矩阵并化为阶梯形：

初等行变换（r2-r1, r3-2r1; r3-r2）：

第三行全为 0，说明方程组有无穷多解（2 个方程 3 个未知数）。

设 z = t（自由变量），则 y = -4 + 2t，x = 10 - 3t。

答案：x = 10 - 3t，y = -4 + 2t，z = t（t 为任意实数）。

六、解题方法总结（5分钟）

七、第三篇总复习串联（5分钟）

易错点辨析是习题课的精华，帮助学生纠正常见错误。

特别指出 kE 与任何矩阵可交换这一规律，拓展学生的认知。

矩阵方程综合了逆矩阵和矩阵运算的知识。

线性方程组例题复习增广矩阵和高斯消元法。

第三篇总复习帮助学生建立三章知识之间的联系。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做最后的综合练习。

练习3：设 A 为可逆方阵，化简下列表达式：

(1) ${''A(A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''+E)''$ = ${''AA''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''+AE=E+A''$

(2) ${''(A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">T</ms>}}{''(A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">T</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}$ = ${''(A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">T</ms>}}{''((A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">T</ms>}}{'')=((A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">T</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$

提示：利用性质 ${''(A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">T</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{''=(A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">T</ms>}}$

练习4：判断下列方程组解的情况：

方程组有 3 个方程 3 个未知数，增广矩阵化简后：

(1) 阶梯形有 3 个非零行 → 唯一解

(2) 阶梯形有 2 个非零行（最后一行非零列不含 b 的列）→ 无穷多解

(3) 阶梯形最后一行形如 (0 0 0 | k)，k≠0 → 无解

【教师】讲评要点：化简矩阵表达式时，牢记矩阵乘法不可交换这一核心原则。判断方程组解时，关键看增广矩阵化简后阶梯形的结构。

化简练习训练灵活运用矩阵运算性质的能力。

方程组解的分类判断是高斯消元法的核心应用。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课和第三篇的核心内容：

一、第七章核心要点：

矩阵是数表（对象），行列式是数值（结果）——形似质不同。

矩阵乘法不满足交换律——这是最重要的注意事项。

${''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''=''\frac{''1''}{''|A|''}{''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">*</ms>}}$（条件：|A|≠0）

初等行变换：求逆矩阵和解方程组的统一工具。

二、第三篇回顾：

第五章：向量代数与空间解析几何——几何直觉

第六章：多元函数微分学——分析工具

第七章：矩阵代数——代数工具

三、考试重点提醒：

（1）矩阵乘法计算（必考）；

（2）求逆矩阵（必考）；

（3）解线性方程组；

（4）矩阵运算性质判断。

四、预告：

下一篇（第四篇）将学习级数理论与多元积分——无穷级数、幂级数、二重积分等内容。

以总结图归纳本节课要点。

第三篇回顾建立三章知识的联系。

考试重点提醒帮助学生有针对性地复习。

预告下一篇内容，保持学习的连续性。

教学反思

本节课是第七章习题课兼第三篇总复习。教学效果分析如下：

（1）知识体系梳理环节：以知识体系图串联全章，学生对四节内容的逻辑关系有了更清晰的认识。建议后续可以制作知识卡片或思维导图供学生课后复习使用。

（2）典型例题环节：矩阵乘法和求逆矩阵的例题学生完成较好。矩阵方程的求解需要灵活运用逆矩阵，约75%的学生能正确完成。线性方程组的增广矩阵法已基本掌握。

（3）易错点辨析环节：这是本节课最受欢迎的环节。特别是“(A+E)²=A²+2A+E 成立”这一对比，帮助学生理解了交换律在特殊情况下可以利用。建议后续可以整理一份“常见易错清单”分发给学生。

（4）第三篇总复习环节：三章知识的串联获得了学生的认可。学生反馈向量的内积与矩阵乘法的联系让他们“恍然大悟”。

（5）整体反思：本节课内容量较大，需要控制好节奏。建议将部分练习改为课后作业，课堂上集中讲授核心例题和易错点。第三篇的20节课已全部完成，学生对向量、多元微分和矩阵代数建立了较为完整的知识体系。下一篇将进入级数与多元积分。