教学项目

第三单元习题课（第19课时）

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过第14-18课的学习，学生已完成导数应用单元的全部新课内容，包括：微分中值定理（第14课）、洛必达法则（第15课）、函数单调性极值最值（第16课）、曲线凹凸性与拐点（第18课）。

从各课练习情况看：洛必达法则的直接应用掌握较好（正确率约85%），单调性和极值判定掌握良好（正确率约80%），中值定理的证明题和综合作图需要加强（正确率约55%）。本节习题课旨在系统梳理导数应用的知识体系，强化薄弱环节。

根据教学计划，本课时为第35-36学时。

教学目标

知识目标：

（1）系统回顾三大中值定理的条件和结论；

（2）巩固洛必达法则的使用条件和转化技巧；

（3）巩固函数分析的完整流程（单调、极值、凹凸、拐点、渐近线）。

能力目标：

（1）提高综合分析函数性质的能力；

（2）培养根据题目类型选择合适方法的判断力。

素质目标：

（1）通过系统复习，建立导数应用的完整知识框架；

（2）通过错误辨析，培养严谨的解题习惯。

教学重点

1. 导数应用知识体系的系统梳理；

2. 洛必达法则的分类使用和转化技巧；

3. 函数完整分析与作图的综合练习。

教学难点

及应对

1. 中值定理证明题中辅助函数的构造；

2. 各种未定式类型的正确判断与转化；

3. 综合作图题的完整分析。

教学资源

教材《高等数学》第3-4章；多媒体课件；练习题单

教学方法

知识梳理 + 方法对比 + 典型例题 + 课堂练习 + 错误辨析

教学反思

本节习题课是导数应用单元的总复习。采用“体系图梳理→决策树辅助→典型例题→错误辨析”的策略，帮助学生建立系统化的解题思路。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识梳理与典型例题（35 min）

一、第三单元知识体系梳理（10 min）

知识框架：

1. 理论基础：三大中值定理（Rolle、Lagrange、Cauchy）；

2. 计算工具：洛必达法则（七种未定式）；

3. 函数分析：单调性、极值、最值（一阶导数）；凹凸性、拐点（二阶导数）；

4. 综合应用：渐近线、函数作图、最优化问题。

二、典型例题讲解（25 min）

题型1：洛必达法则（0/0 型）

例1

求 ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''x-''''sin''''x''}{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}$。

解：0/0 型，连续使用三次洛必达法则：

$''lim''''''\frac{''1-''''cos''''x''}{{''3x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''=''''lim''''''\frac{''sin''''x''}{''6x''}''=''\frac{''1''}{''6''}$

题型2：洛必达法则（幂指型 1∞）

例2

求 ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}{''(1+x)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1/x</ms>}}$。

解：1∞ 型，取对数：

ln y = (1/x) ln(1+x)（∞ · 0 型），改写为 0/0 型：

$''lim''''''\frac{''ln''''(1+x)''}{''x''}''=''''lim''''''\frac{''1/(1+x)''}{''1''}''=1''$

故原式 = e¹ = e。

题型3：中值定理证明

例3

设 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f(a) = f(b) = 0。证明：存在 ξ ∈ (a, b)，使得 f′(ξ) + f(ξ) = 0。

证明思路：

目标式 f′(ξ) + f(ξ) = 0，观察这是 [eˣf(x)]′ = eˣ[f′(x) + f(x)] 的形式。

构造 F(x) = eˣ f(x)，则 F(a) = eᵃ · 0 = 0，F(b) = eᵇ · 0 = 0。

由罗尔定理，存在 ξ ∈ (a, b)，使 F′(ξ) = eᵍ[f′(ξ) + f(ξ)] = 0。

由 eᵍ ≠ 0，得 f′(ξ) + f(ξ) = 0。

题型4：函数完整分析

例4

分析 $''y=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''x-1''}$ 的性质并描绘图形。

解：

1. 定义域：x ≠ 1。

2. ${''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''-2x''}{{''(x-1)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''=''\frac{''x(x-2)''}{{''(x-1)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$，驻点 x = 0, x = 2。

x ∈ (−∞,0)：y′>0 递增；x ∈ (0,1)：y′<0 递减；

x ∈ (1,2)：y′<0 递减；x ∈ (2,+∞)：y′>0 递增。

极大值 y(0) = 0，极小值 y(2) = 4。

3. ${''y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime \prime </ms>}}''=''\frac{''2''}{{''(x-1)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}$，y″ ≠ 0，无拐点。

x < 1 时 y″ < 0（凸），x > 1 时 y″ > 0（凹）。

4. 垂直渐近线 x = 1；斜渐近线 y = x + 1。

先总后分，建立全景

四大题型逐一攻破

课堂测验

（10 min）

三、课堂综合练习（10 min）

1. 求 ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}''(''\frac{''1''}{''sin''''x''}''-''\frac{''1''}{''x''}'')''$（∞ − ∞ 型）。

2. 求 $''y=x''''\cdot ''{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}$ 的极值、拐点和渐近线。

3. 用拉格朗日中值定理证明：|arctan a − arctan b| ≤ |a − b|。

参考答案：

1. 通分得 (x−sin x)/(x sin x)，连续洛必达得 0。

2. y′=(1−x)e⁻ˣ，极大值 y(1)=1/e；y″=(x−2)e⁻ˣ，拐点(2,2/e²)；水平渐近线 y=0。

3. f(x)=arctan x 在 [a,b] 用 Lagrange：|arctan b−arctan a|=|1/(1+ξ²)|·|b−a|≤|b−a|。

综合练习覆盖全部题型

第二节课

课堂测验与总结（15 min）

四、错误辨析（5 min）

重点提醒：

（1）洛必达法则使用前必须验证是不定式；

（2）分子分母分别求导，不是商的求导法则；

（3）极值是局部概念，最值是全局概念；

（4）f″(x) > 0 是凹（碗口朝上），不要搞反；

（5）拐点要求 f″(x) 变号，仅 f″(x₀) = 0 不够。

六大错误辨析

课堂测验

（10 min）

课堂测验（3 min）

1. 求 ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; +</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\infty </ms>}}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}$。

2. f(x) = x⁴ 在 x = 0 处有极值吗？有拐点吗？

答案：

1. 0·∞ 型，改写为 $''lim''''''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}}$（∞/∞ 型），两次洛必达得 $''lim''''''\frac{''2''}{{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}}''=0''$。

2. f′(0) = 0，f′(x) = 4x³ 在 x=0 两侧变号（−→+），故有极小值。f″(x)=12x²，f″(0)=0 但 f″(x) 不变号（恒≥0），故无拐点。

快速测验

课堂小结

（5 min）

课堂小结

导数应用单元总结：

本单元核心是“导数的应用”，分为四大板块：

（1）理论基础：中值定理（Rolle → Lagrange → Cauchy）；

（2）计算工具：洛必达法则（七种未定式的处理）；

（3）函数分析：单调性+极值（f′）+ 凹凸性+拐点（f″）；

（4）综合应用：渐近线、函数作图、最优化问题。

下节课预告：总复习（上）——从函数到极限，从导数到应用，全学期系统回顾。

四大板块总结

预告总复习

教学反思

本节习题课对导数应用单元进行了系统复习。

教学效果分析：

1. 知识体系图帮助学生建立了导数应用的全景视图；

2. 洛必达法则经过复习后掌握提升明显，综合练习正确率约85%；

3. 中值定理的证明题仍是最大难点，约50%的学生能构造出辅助函数；

4. 综合作图题学生能按步骤进行，但渐近线的计算偶有遗漏。

改进方向：

1. 整理“常见辅助函数构造方法”专题发给学生；

2. 综合作图题制作分步检查单（checklist），防止遗漏；

3. 布置期末复习综合练习，涵盖三个单元。