第二单元习题课

教学项目

第二单元习题课（第13课时）

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过第9-12课的学习，学生已完成导数与微分单元的全部新课内容，包括：导数概念与运算法则（第9课）、隐函数与参数方程导数（第10课）、高阶导数（第11课）、函数的微分（第12课）。

从各课的练习和测验来看：基本求导公式和四则运算法则掌握较好（正确率约85%），链式法则和隐函数求导掌握中等（正确率约70%），高阶导数和莱布尼茨公式需要加强（正确率约55%）。本节习题课旨在系统梳理知识体系，强化薄弱环节。

根据教学计划，本课时为第25-26学时。

教学目标

知识目标：

（1）系统回顾导数的定义、公式、运算法则；

（2）巩固链式法则、隐函数求导、参数方程求导、对数求导法；

（3）巩固高阶导数和莱布尼茨公式的应用；

（4）巩固微分的概念和计算。

能力目标：

（1）提高综合运用各种求导方法的能力；

（2）培养根据题目特征选择最优方法的判断力。

素质目标：

（1）通过系统复习，建立完整的知识框架；

（2）通过综合练习，培养解题的规范性和严谨性。

教学重点

1. 导数与微分知识体系的系统梳理；

2. 链式法则和隐函数求导的综合应用；

3. 各种求导方法的选择策略。

教学难点

及应对

1. 综合题中多种求导方法的灵活运用；

2. 高阶导数的计算（尤其是莱布尼茨公式的应用）；

3. 参数方程的二阶导数。

教学资源

教材《高等数学》第3-4章；多媒体课件；练习题单

教学方法

知识梳理 + 典型例题 + 方法对比 + 课堂练习 + 学生互评

教学反思

本节习题课是导数与微分单元的总复习课。采用“先梳理后练习”的策略，用知识体系图帮助学生建立全景视图，再通过典型例题强化各类方法，最后用综合练习检验掌握程度。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识梳理与典型例题（35 min）

一、第二单元知识体系梳理（10 min）

知识框架：

1. 导数概念：定义（差商极限）、几何意义（切线斜率）、可导与连续；

2. 求导方法：基本公式 + 四则运算 + 链式法则 + 隐函数 + 参数方程 + 对数求导；

3. 高阶导数：逐阶求导法 + n阶公式 + 莱布尼茨公式；

4. 微分：定义 + 微分公式 + 微分形式不变性 + 近似计算。

二、典型例题讲解（25 min）

题型1：复合函数求导（链式法则）

例1

求 $y= ln (sin {(e}^{x}))$ 的导数。

解：三层复合，由外到内：

$y^{′} = \frac{1}{sin {(e}^{x})} ⋅ cos {(e}^{x}) ⋅ e^{x} = \frac{e^{x} cos {(e}^{x})}{sin {(e}^{x})} {=e}^{x} cot {(e}^{x})$

题型2：隐函数求导

例2

设 $e^{y} +xy=e$ ，求 y′。

解：两边对x求导：

$e^{y} ⋅ y^{′} {+y+xy}^{′} =0$

解出 y′： $y^{′} {(e}^{y} +x)=-y$ ，故 $y^{′} = \frac{-y}{e^{y} +x}$

题型3：对数求导法

例3

求 ${y=x}^{sinx}$ （x>0）的导数。

解：两边取对数：ln y = sin x · ln x

两边对x求导：

$\frac{y^{′}}{y} = cos x ⋅ ln x+ sin x ⋅ \frac{1}{x}$

$y^{′} {=x}^{sinx} (cos x ⋅ ln x+ \frac{sin x}{x})$

题型4：参数方程求导

例4

设 x = a cos t，y = b sin t，求 dy/dx 和 d²y/dx²。

$\frac{dy}{dx} = \frac{{y^{′}}_{t}}{{x^{′}}_{t}} = \frac{b cos t}{-a sin t} =- \frac{b}{a} cot t$

$\frac{d^{2} y}{{dx}^{2}} = \frac{(\frac{dy}{dx} {)^{′}}_{t}}{{x^{′}}_{t}} = \frac{\frac{b}{a} {csc}^{2} t}{-a sin t} =- \frac{b}{a^{2} {sin}^{3} t}$

题型5：高阶导数（莱布尼茨公式）

例5

求 y = x² eˣ 的三阶导数。

解：用莱布尼茨公式（u=eˣ, v=x²）：

$y^{′′′} {=e}^{x} ⋅ x^{2} {+3e}^{x} ⋅ {2x+3e}^{x} ⋅ {2=(x}^{2} {+6x+6)e}^{x}$

先总后分，建立知识全景

五大题型逐一攻破

课堂测验

（10 min）

三、课堂综合练习（15 min）

1. 求导： $y= arctan {(e}^{2x})$

2. 设 x² + y² = 1，求 y′ 和 y″。

3. 求 $y=(sin {x)}^{x}$ （x>0）的导数。

4. 设 x=t-sin t, y=1-cos t，求 dy/dx。

5. 求 $y=x ⋅ cos x$ 的 n 阶导数。

参考答案：

1. y′ = [1/(1+e⁴ˣ)] · 2e²ˣ = 2e²ˣ/(1+e⁴ˣ)

2. 隐函数：2x+2yy′=0, y′=-x/y; y″=(-y+xy′)/y²=(-y-x²/y)/y²=-1/y³

3. 对数求导：ln y=x ln(sin x), y′=(sinx)ˣ[ln(sinx)+x·cosx/sinx]

4. dy/dx = sin t/(1-cos t)

5. 莱布尼茨（u=cosx, v=x）：yⁿ = x·cos(x+nπ/2) + n·cos(x+(n-1)π/2)

五道综合练习覆盖全部题型

第二节课

课堂测验与总结（15 min）

四、课堂测验（5 min）

1. 求导： ${y=e}^{{sin}^{2}x}$

2. 求 y = ln x 的微分 dy。

答案：

1. y′ = e^(sin²x) · 2sinx · cosx = sin(2x) · e^(sin²x)

2. dy = (1/x) dx

快速测验核心技能

课堂测验

（10 min）

方法选择策略总结

遇到求导题，先看函数类型：

1. 显函数 y=f(x)：直接用公式 + 法则 + 链式法则；

2. 隐函数 F(x,y)=0：两边对x求导，解出y′；

3. 参数方程 x=x(t),y=y(t)：dy/dx = y′(t)/x′(t)；

4. 幂指函数 y=f(x)^g(x)：对数求导法；

5. 乘积型高阶导数：莱布尼茨公式；

6. 求微分：先求导，再乘 dx。

总结方法选择决策树

课堂小结

（5 min）

课堂小结

导数与微分单元总结：

本单元核心是“求导”，掌握六种求导方法：

（1）基本公式 + 四则运算法则

（2）链式法则（复合函数求导）

（3）隐函数求导

（4）参数方程求导

（5）对数求导法

（6）高阶导数（n阶公式 + 莱布尼茨公式）

微分 dy = f′(x)dx 是导数的另一种表达形式。

下节课预告：微分中值定理——利用导数研究函数性质的理论基础。

六种方法总结

预告中值定理

教学反思

本节习题课对导数与微分单元进行了系统复习。

教学效果分析：

1. 知识体系图帮助学生建立了全景视图，效果较好；

2. 链式法则经过复习后掌握提升显著，综合练习正确率约80%；

3. 隐函数求导和参数方程二阶导数仍是难点，约60%的学生能独立完成；

4. 对数求导法学生使用意识不强，遇到幂指函数时容易卡壳。

改进方向：

1. 制作“求导方法选择决策树”流程图发给学生；

2. 隐函数和参数方程的求导增加专项练习；

3. 布置课后综合练习（含各类型），下节课收取检查。