第二类换元积分法

教学项目

第二类换元积分法

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

通过前四次课的学习，学生已系统掌握了不定积分的概念与性质、15个基本积分公式、直接积分法，以及第一类换元积分法（凑微分法）。课堂测验和课后作业反馈表明：

（1）学生能够熟练运用凑微分法处理形如 f[φ(x)]φ′(x)dx 的积分；

（2）对基本积分公式的记忆和应用已较为熟练；

（3）但面对被积函数中含有 √(a²-x²)、√(a²+x²)、√(x²-a²) 等根式时，第一类换元法难以奏效，学生缺乏有效的处理手段。

本节课将讲授第二类换元积分法，核心思想是：令 x=g(t)，通过反向代换消除根式。主要包括三角代换（处理含平方和差的根式）、根式代换（直接令 t 等于根式）和倒数代换（处理分母高幂次）。这些方法与第一类换元法互为补充，共同构成换元积分法的完整体系。

根据教学计划，本课时为第9-10学时（累计10学时），下一课将学习分部积分法。

教学目标

（1）理解第二类换元积分法的基本原理：若 x=g(t) 单调可导且 g′(t)≠0，则 ∫f(x)dx = ∫f(g(t))g′(t)dt，计算后将 t 回代为 x 的表达式；

$\sqrt{a^{2} {-x}^{2}}$ $\sqrt{a^{2} {+x}^{2}}$ $\sqrt{x^{2} {-a}^{2}}$

（3）掌握根式代换的方法：将根式整体令为新变量 t，将被积函数化为有理函数；

（4）了解倒数代换：令 x=1/t，适用于分母幂次远高于分子的情形；

（5）能够根据被积函数的结构特征，灵活选择第一类或第二类换元法进行积分计算。

（1）培养根据根式结构选择合适代换方式的判断能力；

（2）提高三角恒等式变形和三角函数积分的计算能力；

（3）培养计算完毕后正确回代变量的意识和操作规范。

（1）通过三角代换的几何直角三角形解释，体会数学中代数与几何的统一美；

（2）通过两类换元法的对比，培养“正向思维与逆向思维并用”的辩证思考能力。

教学重点

教学难点

及应对

1. 三角代换后的积分计算——代换后虽然消除了根式，但往往变成了较复杂的三角函数积分（如 ∫cos²t dt、∫sec³t dt 等），需要综合运用三角恒等式和已有的积分技巧，计算量较大，容易出错。

2. 回代环节——三角代换计算完成后，结果是关于 t 的表达式，需要利用直角三角形关系将 sint、cost、tant 等回代为含 x 的表达式。学生容易在这一步出错或遗漏。

3. 代换方式的选择——面对一个具体积分，学生可能不确定应该用第一类还是第二类换元法，以及第二类中应选三角代换、根式代换还是倒数代换。这种判断力需要通过实践逐步培养。

1. 通过三角代换总结表（三种代换形式一目了然）降低记忆难度，通过直角三角形图辅助理解回代过程；

2. 在每个例题中明确标注“代换→化简→积分→回代”四个步骤，强化标准操作流程；

3. 通过第一类与第二类换元法的对比表，帮助学生建立选择代换方式的判断标准。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：第二类换元法原理图、三角代换总结表、直角三角形辅助图、根式代换示意图、两类换元法对比表、知识总结图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

讲授法：系统讲解第二类换元积分法的原理和三种代换方式

图示法：利用直角三角形图解释三角代换的几何意义，辅助理解回代过程

对比法：将第一类与第二类换元法进行系统对比，帮助学生理解两者的互补关系

练习法：讲练结合，通过多种类型的积分计算巩固各种代换方法

教学反思

本节课系统讲授了第二类换元积分法的三种方式：三角代换、根式代换和倒数代换。通过三角代换总结表和直角三角形图的配合使用，学生对三种三角代换的选择和应用掌握较好。根式代换因其思路直观（令 t 等于根式），学生接受较快。倒数代换使用频率较低，作为了解内容介绍即可。课堂练习反馈表明，三角代换的计算过程（尤其是回代环节）是主要的出错点，需要在后续练习中持续加强。下节课将学习分部积分法。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

【教师】同学们，前面我们学习了第一类换元积分法（凑微分法），它的核心思想是令 u=φ(x)，将复杂积分化为关于 u 的简单积分。但请看下面这个积分：

$\int_{}^{} \sqrt{{1-x}^{2}} dx$ 。

【教师】如果尝试凑微分法——我们无法在被积函数中凑出 (1-x²)′=-2x 的因子，因为被积函数中没有 x 这个因子。这意味着第一类换元法在这里行不通。

【教师】怎么办？我们需要一种新的方法——“反向代换”。不是令 u=φ(x)，而是反过来，令 x=g(t)，即用 t 来表示 x。通过精心选择 g(t)（如三角函数），可以利用三角恒等式消除根号。这就是第二类换元积分法。

$\int_{}^{} {f(g(t))g}^{′} (t)dt =G(t)+C$ ，

$\int_{}^{} f(x)dx {=G(g}^{-1} (x))+C$ ${t=g}^{-1} (x)$

第一步：根据被积函数的结构，选择适当的代换 x=g(t)；

${dx=g}^{′} (t)dt$

第三步：计算关于 t 的积分，得到 G(t)+C；

${t=g}^{-1} (x)$

【教师】三角代换是第二类换元法中最重要的方法，用于处理含有√(a²-x²)、√(a²+x²)、√(x²-a²) 的被积函数。

$\int_{}^{} \sqrt{a^{2} {-x}^{2}} dx$ （a>0）。

$\sqrt{a^{2} {-x}^{2}}$

$x=a sin t$ $dx=a cos tdt$

$\sqrt{a^{2} {-x}^{2}} = \sqrt{a^{2} {-a}^{2} {sin}^{2} t} = \sqrt{a^{2} {cos}^{2} t} =a cos t$

$- \frac{π}{2} ≤ t ≤ \frac{π}{2}$

$\int_{}^{} \sqrt{a^{2} {-x}^{2}} dx = \int_{}^{} a cos t ⋅ a cos tdt {=a}^{2} \int_{}^{} {cos}^{2} tdt$

${=a}^{2} \int_{}^{} \frac{1+ cos 2t}{2} dt = \frac{a^{2}}{2} (t+ \frac{sin 2t}{2})+C$

$= \frac{a^{2}}{2} (t+ sin t cos t)+C$

$sin t= \frac{x}{a}$ $t= arcsin \frac{x}{a}$ 。

$cos t= \frac{\sqrt{a^{2} {-x}^{2}}}{a}$

$\int_{}^{} \sqrt{a^{2} {-x}^{2}} dx = \frac{a^{2}}{2} arcsin \frac{x}{a} + \frac{x}{2} \sqrt{a^{2} {-x}^{2}} +C$

$\int_{}^{} \sqrt{{1-x}^{2}} dx = \frac{1}{2} arcsin x+ \frac{x}{2} \sqrt{{1-x}^{2}} +C$ 。

$\int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{x^{2} {+a}^{2}}} dx$ （a>0）。

$\sqrt{x^{2} {+a}^{2}}$

$x=a tan t$ $dx=a {sec}^{2} tdt$

$\sqrt{x^{2} {+a}^{2}} = \sqrt{a^{2} {tan}^{2} {t+a}^{2}} =a sec t$

$\int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{x^{2} {+a}^{2}}} dx = \int_{}^{} \frac{a {sec}^{2} t}{a sec t} dt = \int_{}^{} sec tdt$

$= ln | sec t+ tan t|+C$

$tan t= \frac{x}{a}$ $sec t= \frac{\sqrt{x^{2} {+a}^{2}}}{a}$

$\int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{x^{2} {+a}^{2}}} dx = ln | \frac{x+ \sqrt{x^{2} {+a}^{2}}}{a} |+C= ln (x+ \sqrt{x^{2} {+a}^{2}} {)+C}_{1}$

$C_{1} =C- ln a$

$\int_{}^{} \frac{\sqrt{x^{2} {-a}^{2}}}{x} dx$ （x>a>0）。

$\sqrt{x^{2} {-a}^{2}}$

$x=a sec t$ ( $0 ≤ t< \frac{π}{2}$ $dx=a sec t tan tdt$

$\sqrt{x^{2} {-a}^{2}} = \sqrt{a^{2} {sec}^{2} {t-a}^{2}} =a tan t$

$\int_{}^{} \frac{\sqrt{x^{2} {-a}^{2}}}{x} dx = \int_{}^{} \frac{a tan t}{a sec t} ⋅ a sec t tan tdt =a \int_{}^{} {tan}^{2} tdt$

$=a \int_{}^{} ({sec}^{2} t-1)dt =a(tan t-t)+C$

$sec t= \frac{x}{a}$ $t=arc sec \frac{x}{a}$ 。

$tan t= \frac{\sqrt{x^{2} {-a}^{2}}}{a}$

$\int_{}^{} \frac{\sqrt{x^{2} {-a}^{2}}}{x} dx = \sqrt{x^{2} {-a}^{2}} -a ⋅ arc sec \frac{x}{a} +C$

导入环节通过一个第一类换元法无法处理的积分 ∫√(1-x²)dx 引出第二类换元法的必要性，让学生产生学习新方法的动机。这个积分恰好也是单位圆面积公式的来源，具有几何直观性。

第二类换元法原理的讲解重在与第一类换元法的对比——第一类是“正向代换”（u=φ(x)），第二类是“反向代换”（x=g(t)）。通过原理图直观展示代换和回代的完整流程。

三角代换总结表和直角三角形图是本节课的核心教学资源。总结表提供“快速查询”功能，直角三角形图则帮助学生理解回代过程的几何意义。

三个例题分别覆盖三种三角代换：例1（正弦代换）是最基础的，且结果是一个重要公式；例2（正切代换）引出了常用积分公式 ln(x+√(x²+a²))+C；例3（正割代换）计算量适中，综合考查 tan²t=sec²t-1 的恒等式应用。

每个例题都明确标注了“分析→代换→化简→积分→回代”的标准流程，帮助学生建立规范的解题步骤。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做一道练习题，检验三角代换的掌握情况。

$\int_{}^{} \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} {-x}^{2}}} dx$ （a>0）。

$\sqrt{a^{2} {-x}^{2}} =a cos t$ 。

$\int_{}^{} \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} {-x}^{2}}} dx = \int_{}^{} \frac{a^{2} {sin}^{2} t}{a cos t} ⋅ a cos tdt {=a}^{2} \int_{}^{} {sin}^{2} tdt$

${=a}^{2} \int_{}^{} \frac{1- cos 2t}{2} dt = \frac{a^{2}}{2} (t- \frac{sin 2t}{2})+C$

$= \frac{a^{2}}{2} (t- sin t cos t)+C$

$t= arcsin \frac{x}{a}$ ， $sin t= \frac{x}{a}$ ， $cos t= \frac{\sqrt{a^{2} {-x}^{2}}}{a}$ 。

$\int_{}^{} \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} {-x}^{2}}} dx = \frac{a^{2}}{2} arcsin \frac{x}{a} - \frac{x}{2} \sqrt{a^{2} {-x}^{2}} +C$

$\int_{}^{} \frac{1}{{(a}^{2} {+x}^{2})^{\frac{3}{2}}} dx$ （a>0）。

${(a}^{2} {+x}^{2})^{\frac{3}{2}} {=a}^{3} {sec}^{3} t$ 。

$\int_{}^{} \frac{1}{{(a}^{2} {+x}^{2})^{\frac{3}{2}}} dx = \int_{}^{} \frac{a {sec}^{2} t}{a^{3} {sec}^{3} t} dt = \frac{1}{a^{2}} \int_{}^{} cos tdt$

$= \frac{1}{a^{2}} sin t+C$

$sin t= \frac{x}{\sqrt{a^{2} {+x}^{2}}}$ 。

$\int_{}^{} \frac{1}{{(a}^{2} {+x}^{2})^{\frac{3}{2}}} dx = \frac{x}{a^{2} \sqrt{a^{2} {+x}^{2}}} +C$

【教师】讲评要点：练习1与例1类似（正弦代换），注意 sin²t 的半角公式化简。练习2使用正切代换，代换后被积函数大幅简化为 cost，积分后只需简单回代即可。两道题都需要利用直角三角形来完成回代。

两道练习题分别使用正弦代换和正切代换，帮助学生巩固最常用的两种三角代换。

练习1与例1结构相似但被积函数不同（分子变为 x²），考查学生对“半角公式”化简 sin²t 的应用能力。

练习2的特点是代换后积分非常简单（∫costdt），让学生体会到合适的代换可以极大简化计算。

每道题都强调回代步骤，持续培养学生“积分完毕必回代”的规范意识。

第二节课

知识讲解

（30 min）

【教师】三角代换适用于含 a²±x² 的根式。但有些积分含有简单根式如 √x、∛(x)，这时可以直接令 t 等于根式本身。

$sqrt[n] x$ $sqrt[n] ax+b$ $t=sqrt[n] ax+b$ ${ax+b=t}^{n}$

$\int_{}^{} \frac{1}{1+ \sqrt{x}} dx$ 。

$t= \sqrt{x}$ ${x=t}^{2}$ ， $dx=2tdt$

$\int_{}^{} \frac{1}{1+ \sqrt{x}} dx = \int_{}^{} \frac{2t}{1+t} dt =2 \int_{}^{} \frac{t}{1+t} dt$

$\frac{t}{1+t} = \frac{(1+t)-1}{1+t} =1- \frac{1}{1+t}$

$=2 \int_{}^{} (1- \frac{1}{1+t})dt =2(t- ln |1+t|)+C$

$t= \sqrt{x}$

$\int_{}^{} \frac{1}{1+ \sqrt{x}} dx =2 \sqrt{x} -2 ln (1+ \sqrt{x})+C$

$\int_{}^{} \frac{\sqrt{x}}{1+sqrt[3] x} dx$ 。

$\sqrt{x} {=x}^{\frac{1}{2}}$ $sqrt[3] x {=x}^{\frac{1}{3}}$ ${t=x}^{\frac{1}{6}}$ 。

${t=x}^{\frac{1}{6}}$ ${x=t}^{6}$ ， ${dx=6t}^{5} dt$ 。

$\sqrt{x} {=t}^{3}$ ， $sqrt[3] x {=t}^{2}$

$\int_{}^{} \frac{\sqrt{x}}{1+sqrt[3] x} dx = \int_{}^{} \frac{t^{3}}{{1+t}^{2}} ⋅ {6t}^{5} dt =6 \int_{}^{} \frac{t^{8}}{{1+t}^{2}} dt$

$\frac{t^{8}}{{1+t}^{2}}$

$\frac{t^{8}}{{1+t}^{2}} {=t}^{6} {-t}^{4} {+t}^{2} -1+ \frac{1}{{1+t}^{2}}$

$6 \int_{}^{} {(t}^{6} {-t}^{4} {+t}^{2} -1+ \frac{1}{{1+t}^{2}})dt$

$=6(\frac{t^{7}}{7} - \frac{t^{5}}{5} + \frac{t^{3}}{3} -t+ arctan t)+C$

${t=x}^{\frac{1}{6}}$

$= \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} - \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}} {+2x}^{\frac{1}{2}} {-6x}^{\frac{1}{6}} +6 arctan {(x}^{\frac{1}{6}})+C$

【教师】当被积函数分母的幂次远高于分子时，可以考虑令 x=1/t。

$\int_{}^{} \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} +1}} dx$ 。

$x= \frac{1}{t}$ $dx=- \frac{1}{t^{2}} dt$

$\int_{}^{} \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} +1}} dx = \int_{}^{} \frac{t^{2}}{\sqrt{\frac{1}{t^{2}} +1}} ⋅ (- \frac{1}{t^{2}})dt$

$= \int_{}^{} \frac{-1}{\sqrt{\frac{{1+t}^{2}}{t^{2}}}} dt =- \int_{}^{} \frac{t}{\sqrt{{1+t}^{2}}} dt$

${u=1+t}^{2}$ ， $du=2tdt$

$=- \frac{1}{2} \int_{}^{} u^{-\frac{1}{2}} du =- \sqrt{u} +C=- \sqrt{{1+t}^{2}} +C$

$t= \frac{1}{x}$

$\int_{}^{} \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} +1}} dx =- \sqrt{1+ \frac{1}{x^{2}}} +C=- \frac{\sqrt{x^{2} +1}}{x} +C$

【教师】下面做几道综合练习，巩固第二类换元法的各种代换方式。

$\int_{}^{} \frac{1}{x+ \sqrt{{1-x}^{2}}} dx$ 。

$\sqrt{{1-x}^{2}}$

$\int_{}^{} \frac{1}{1+sqrt[3] x+1} dx$ 。

$t=sqrt[3] x+1$ ${x+1=t}^{3}$ ， ${dx=3t}^{2} dt$ 。

$\int_{}^{} \frac{1}{1+sqrt[3] x+1} dx = \int_{}^{} \frac{{3t}^{2}}{1+t} dt =3 \int_{}^{} \frac{t^{2}}{1+t} dt$

$\frac{t^{2}}{1+t} =t-1+ \frac{1}{1+t}$

$=3(\frac{t^{2}}{2} -t+ ln |1+t|)+C$

$t=sqrt[3] x+1$ ：

$= \frac{3}{2} {(x+1)}^{\frac{2}{3}} {-3(x+1)}^{\frac{1}{3}} +3 ln {(1+(x+1)}^{\frac{1}{3}})+C$

$\int_{}^{} \frac{1}{{(1+x}^{2})^{\frac{3}{2}}} dx$ 。

$dx= {sec}^{2} tdt$ ， ${(1+x}^{2})^{\frac{3}{2}} = {sec}^{3} t$ 。

$\int_{}^{} \frac{{sec}^{2} t}{{sec}^{3} t} dt = \int_{}^{} cos tdt = sin t+C$

$sin t= \frac{x}{\sqrt{{1+x}^{2}}}$

$\int_{}^{} \frac{1}{{(1+x}^{2})^{\frac{3}{2}}} dx = \frac{x}{\sqrt{{1+x}^{2}}} +C$

【教师】讲评要点：练习3综合三角代换和后续处理技巧，难度较大，可作为思考题。练习4展示了根式代换中多项式除法的标准处理流程。练习5是正切代换的简洁应用——代换后积分大幅简化。

根式代换部分通过例4和例5展示了两种典型情形：含单一根式（直接令 t=√x）和含多种根式（取最小公倍数 t=x^(1/6)）。例4中“分子凑分母”的拆项技巧（t/(1+t)=1-1/(1+t)）是处理有理函数积分的重要方法，需要重点强调。

例5虽然计算量较大，但思路清晰——代换后化为多项式除法+基本积分。这类题目锻炼学生的代数运算能力和耐心。

倒数代换通过例6展示了一种特殊但有效的技巧。代换后与第一类换元法（凑微分法）配合使用，体现了两类换元法的互补性。

综合练习覆盖三角代换（练习3、5）和根式代换（练习4），帮助学生在不同类型之间灵活切换。练习5的特点是代换后积分极其简单，让学生体会到选对代换方式的重要性。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做课堂测验，检验本节课整体学习效果。

（A） $\int_{}^{} \sqrt{{4-x}^{2}} dx$

（B） $\int_{}^{} \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +9}}$

（C） $\int_{}^{} \frac{dx}{1+ \sqrt{2x+1}}$ $t= \sqrt{2x+1}$

$\int_{}^{} \frac{dx}{\sqrt{x(1+x)}}$ （x>0）。

$\int_{}^{} \frac{dx}{\sqrt{(x+ \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4}}}$ $t= \sqrt{\frac{x}{1+x}}$ 。

$\int_{}^{} \sqrt{{1-x}^{2}} dx$ $\frac{1}{2} (t+ sin t cos t)+C$ 。 $\frac{1}{2} arcsin x+ \frac{x}{2} \sqrt{{1-x}^{2}} +C$ 。

【教师】讲评要点：测验1检验学生对代换类型的判断能力——看到根式结构就能快速选择正确的代换方式。测验2是综合题，需要先对被积函数进行配方变形，再选择合适的代换。测验3提醒学生：第二类换元法的答案必须回代为含 x 的表达式，不能保留中间变量 t。

三道测验题分别检验不同层次的能力：测验1（代换类型判断）、测验2（综合计算能力）、测验3（规范意识）。

测验3的设计意图是通过“错误示范+纠正”的方式，再次强调第二类换元法“必须回代”的核心要求。这是初学者最容易遗忘的步骤。

测验1以选择判断的形式出现，降低了计算负担，让学生集中精力思考代换方式的选择逻辑。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心内容：

$\sqrt{a^{2} {-x}^{2}}$ $\sqrt{a^{2} {+x}^{2}}$ $\sqrt{x^{2} {-a}^{2}}$ →x=asect。

$sqrt[n] ax+b$

（1）三角代换的口诀：“减正弦、加正切、负正割”；

（2）计算完毕必须回代——将 t 回代为 x 的表达式；

（3）回代时善用直角三角形确定三角函数值与 x 的关系。

（1）计算以下不定积分（要求写出完整的代换和回代过程）：

① $\int_{}^{} \frac{x^{2}}{\sqrt{{1-x}^{2}}} dx$ ② $\int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{x^{2} -4}} dx$ ③ $\int_{}^{} \frac{1}{1+ \sqrt{x+1}} dx$

④ $\int_{}^{} \frac{dx}{x^{2} \sqrt{{1-x}^{2}}}$ ⑤ $\int_{}^{} \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}} dx$

下节课将学习分部积分法。这种方法用于处理两个不同类型函数乘积的积分（如 ∫xe^x dx、∫xsinx dx）。核心公式是 ∫udv=uv-∫vdu。请回顾乘积的导数公式 (uv)′=u′v+uv′，并思考它与积分的关系。

通过知识总结图系统梳理本节课的核心内容：第二类换元法的原理、三种代换方式（三角代换、根式代换、倒数代换）的适用场景和操作要点。

两类换元法对比表帮助学生从宏观视角理解换元积分法的完整体系——第一类（凑微分法）和第二类互为补充，前者用于凑微分，后者用于消根式。

作业设计覆盖三角代换（①②④）、根式代换（③）和综合技巧（⑤），其中⑤需要有理化或特殊代换，是拓展性习题。

预习任务指向下节课内容——分部积分法，并通过乘积导数公式的回顾为新课学习做铺垫。

教学反思

本节课系统讲授了第二类换元积分法的三种方式，教学效果总体达到预期。以下是具体分析：

（1）导入环节：通过 ∫√(1-x²)dx 这个第一类换元法无法处理的积分，自然引出第二类换元法的必要性。学生在尝试凑微分法失败后，对新方法产生了强烈的学习兴趣。建议可以追加单位圆面积的几何解释，增强直观理解。

（2）三角代换：这是本节课的核心内容。三角代换总结表和直角三角形图的配合使用效果良好，约80%的学生课堂上能正确选择代换形式。但在具体计算中，三角函数积分的处理（如 cos²t 的半角公式化简）仍是部分学生的薄弱环节，需要复习强化。

（3）回代环节：反复强调“积分完毕必回代”后，课堂练习中约70%的学生能完成回代。但约30%的学生在利用直角三角形确定三角函数值时出现错误。建议下次课在板书中增加直角三角形回代的专项练习。

（4）根式代换：因其思路直观——直接令 t 等于根式——学生接受较快。例4中的分子凑分母拆项技巧是关键知识点，约60%的学生能独立完成。例5因计算量较大，建议课后作为练习。

（5）改进方向：① 可以增加一个“代换方式选择流程图”，帮助学生快速判断应使用哪种代换；② 三角代换的回代环节可设计专项小练习（只练回代，不做积分）；③ 倒数代换作为了解内容，不必要求所有学生掌握，可作为拓展内容。④ 下次课前安排5分钟的“三角代换速查”练习，检验学生的记忆情况。