教学项目

第五章习题课

授课地点

教学楼多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

学生已学完向量代数与空间解析几何的全部内容：向量线性运算、坐标表示、数量积与向量积、平面方程、直线方程、曲面与空间曲线。本节习题课通过综合题型检验掌握程度，重点训练向量运算的灵活应用和建立空间几何对象方程的能力。部分学生在一般式到对称式的转化和线面角计算方面仍需加强。

教学目标

1. 知识目标

系统复习向量代数和空间解析几何的核心公式，查缺补漏。

2. 能力目标

能综合运用向量工具解决平面、直线和曲面的综合问题。

3. 素养目标

培养解题策略意识，建立向量代数与解析几何的综合应用能力。

教学重点

1. 数量积和向量积在几何中的综合应用；

2. 平面方程和直线方程的综合问题；

3. 距离和角度的计算方法。

教学难点

及应对

1. 综合问题的解题思路选择；

2. 一般式方程到对称式的灵活转化；

3. 直线与平面的综合位置关系判断。

教学资源

多媒体课件、习题资料、教案配图

教学方法

讲练结合、学生演板、分组讨论

教学反思

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识回顾与例题（35 min）

一、知识框架回顾

二、向量综合计算题

题1 已知$''\backslash vec''''a''''=(2,1,-1)''$，$''\backslash vec''''b''''=(1,-1,2)''$，求：

(1) 数量积和夹角；(2) 向量积；(3) 以a, b为邻边的平行四边形面积。

解(1)：$''\backslash vec''''a''''\cdot ''''''''\backslash vec''''b''''=2-1-2=-1''$

$''|''''\backslash vec''''a''''|=''\sqrt{''6''}$，$''|''''\backslash vec''''b''''|=''\sqrt{''6''}$

$''\backslash cos''''''''\theta ''''=''\frac{''-1''}{''6''}$，$''\theta ''''=''''\backslash arccos''''(-''\frac{''1''}{''6''}'')''$

解(2)：$''\backslash vec''''a''''\times ''''''''\backslash vec''''b''''=(1''''\cdot ''''2-(-1)''''\cdot ''''(-1),(-1)''''\cdot ''''1-2''''\cdot ''''2,2''''\cdot ''''(-1)-1''''\cdot ''''1)=(1,-5,-3)''$

解(3)：$''S=|''''\backslash vec''''a''''\times ''''''''\backslash vec''''b''''|=''\sqrt{''1+25+9''}''=''\sqrt{''35''}$

三、平面方程综合题

题2 求过点$''(1,1,1)''$且与平面$''x+2y-z=0''$和$''2x-y+3z+1=0''$都垂直的平面方程。

解：所求平面的法向量垂直于两已知平面的法向量，故：

$''\backslash vec''''n''''=''''\backslash vec''{''n''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}''\times ''''''''\backslash vec''{''n''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=(1,2,-1)''''\times ''''(2,-1,3)''$

$''=(2''''\cdot ''''3-(-1)''''\cdot ''''(-1),(-1)''''\cdot ''''2-1''''\cdot ''''3,1''''\cdot ''''(-1)-2''''\cdot ''''2)=(5,-5,-5)''$

化简：$''\backslash vec''''n''''=(1,-1,-1)''$

过(1,1,1)：$''(x-1)-(y-1)-(z-1)=0''$，即$''x-y-z+1=0''$

知识框架图帮助学生系统回顾。

题1综合练习数量积、向量积、面积计算。

题2利用叉积求法向量是重要技巧。

课堂测验

（10 min）

四、直线方程综合题

题3 求直线$\frac{''x-1''}{''2''}''=''\frac{''y+1''}{''1''}''=''\frac{''z''}{''-1''}$与平面$''x+y+z=1''$的夹角和交点。

解：$''\backslash vec''''s''''=(2,1,-1)''$，$''\backslash vec''''n''''=(1,1,1)''$

线面角：$''\backslash sin''''''''\varphi ''''=''\frac{''|2+1-1|''}{\sqrt{''6''}''\cdot ''''''\sqrt{''3''}}''=''\frac{''2''}{\sqrt{''18''}}''=''\frac{''2''}{''3''\sqrt{''2''}}''=''\frac{\sqrt{''2''}}{''3''}$

交点：参数化$''x=1+2t,y=-1+t,z=-t''$

代入平面：$''(1+2t)+(-1+t)+(-t)=1''$，$''2t=1''$，$''t=''\frac{''1''}{''2''}$

交点：$''(2,-''\frac{''1''}{''2''}'',-''\frac{''1''}{''2''}'')''$

题4 求过点$''(2,1,3)''$且平行于平面$''x-y+z=0''$，又与直线$\frac{''x''}{''1''}''=''\frac{''y''}{''2''}''=''\frac{''z''}{''1''}$相交的直线方程。

解：所求直线方向向量垂直于平面法向量$''\backslash vec''''n''''=(1,-1,1)''$。

所求直线与$''\backslash vec''{''s''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=(1,2,1)''$相交，且共面。方向向量$''\backslash vec''''s''$可取：

$''\backslash vec''''s''''=''''\backslash vec''''n''''\times ''''''''\backslash vec''{''s''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=(1,-1,1)''''\times ''''(1,2,1)=(-1''''\cdot ''''1-1''''\cdot ''''2,1''''\cdot ''''1-1''''\cdot ''''1,1''''\cdot ''''2-(-1)''''\cdot ''''1)=(-3,0,3)''$

化简$''\backslash vec''''s''''=(-1,0,1)''$，对称式：$\frac{''x-2''}{''-1''}''=''\frac{''z-3''}{''1''}$，$''y=1''$

题3综合练习线面角和交点。

题4是多条件约束的综合问题，训练解题策略。

第二节课

学生练习（20 min）

五、距离与角度计算

练习1 求点$''(1,2,3)''$到平面$''2x-2y+z-3=0''$的距离。

解：$''d=''\frac{''|2-4+3-3|''}{\sqrt{''4+4+1''}}''=''\frac{''2''}{''3''}$

练习2 求两平面$''x-2y+2z=1''$和$''x-2y+2z=4''$之间的距离。

解：$''d=''\frac{''|1-4|''}{\sqrt{''1+4+4''}}''=''\frac{''3''}{''3''}''=1''$

练习3 xOz平面上曲线${''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+z''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=4''$绕z轴旋转的曲面方程。

解：将x替换为$\sqrt{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$：${''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+y''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''+z''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=4''$（球面）

距离公式是考试重点，需熟练掌握。

旋转曲面方程的替换法则强化。

课堂测验

（10 min）

练习4 判断直线$\frac{''x-1''}{''1''}''=''\frac{''y-1''}{''-1''}''=''\frac{''z''}{''1''}$和$\frac{''x''}{''2''}''=''\frac{''y''}{''1''}''=''\frac{''z-1''}{''-1''}$的位置关系。

解：$''\backslash vec''{''s''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}''=(1,-1,1)''$，$''\backslash vec''{''s''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=(2,1,-1)''$

比例：$\frac{''1''}{''2''}''\ne ''''''\frac{''-1''}{''1''}$（不平行），两直线可能相交或异面。

联立方程组求交点，若有解则相交，无解则异面。

练习4培养判断两直线位置关系的完整思路。

课堂小结

（5 min）

课堂小结

核心方法总结：

1. 求法向量 → 叉积（两方向向量的叉积）

2. 求夹角 → 点积公式（面面/线线用cos，线面用sin）

3. 求距离 → 代入距离公式

4. 求交点 → 参数化后代入方程

5. 建方程 → 确定一个点+一个方向/法向量

下节预告：多元函数的概念、极限与连续——从空间几何进入分析学领域。

总结五大类典型问题的解法。

预告第六章多元函数微分学。

教学反思

习题课内容充实，学生在叉积求法向量方面掌握较好。

一般式到对称式的转化仍有部分学生出错，需在课后加强练习。

距离公式应用熟练，但综合问题的解题策略需进一步训练。

下节课进入多元函数，需提醒学生向量知识将持续使用。