第六章习题课

教学项目

第六章习题课——多元函数微分学综合练习

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

本章已完成多元函数的极限与连续、偏导数与全微分、链式法则、隐函数求导、多元函数极值等核心内容的教学。从前几节课的表现来看：（1）偏导数和全微分的计算，约90%的学生掌握良好；（2）链式法则的树形图法，约85%的学生能够正确应用；（3）隐函数求导公式，约80%的学生能够正确运用；（4）极值的二阶判别法和拉格朗日乘数法，约70%的学生掌握。

本节习题课将系统回顾本章核心知识点，通过典型题目训练各类计算技能，重点强化链式法则和极值问题。

根据教学计划，本课时为第29-30学时。

教学目标

知识目标：

（1）系统回顾第六章的知识体系和核心公式；

（2）通过综合练习巩固偏导数、全微分、链式法则、隐函数求导和极值的计算；

（3）提高处理复杂多元函数问题的综合能力。

能力目标：

（1）培养分析问题类型、选择合适方法的能力；

（2）培养多步骤计算的准确性和效率；

（3）培养知识迁移和综合运用的能力。

素质目标：

（1）通过系统复习，建立本章知识的完整体系；

（2）通过错题分析，培养反思和改进的学习习惯。

教学重点

1. 链式法则的综合应用包括全导数、偏导数和混合情形的链式法则计算。

2. 隐函数求导的综合练习公式法和直接法的灵活选择，一元和二元隐函数。

3. 极值问题的综合训练无条件极值的完整求解流程和拉格朗日乘数法。

教学难点

及应对

难点：

1. 综合题目中识别应使用的方法——面对复合函数求导时需要判断是用链式法则还是隐函数公式；

2. 多步骤计算中的准确性——链式法则和极值计算涉及多个偏导数，容易出现符号或系数错误；

3. 抽象复合函数的求导——用 f1、f2 记号表示偏导数的题目。

应对策略：

1. 每道题先分析题型再动笔计算，养成先思考后执行的习惯；

2. 强调计算过程的规范性，每步骤写清楚；

3. 典型错误当堂分析，加深印象。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：知识结构图、偏导全微分复习图、链式法则复习图、极值方法总结图、易错点图、习题课总结图

综合练习题

教学方法

复习法：先回顾知识体系，再进入练习

练习法：精选典型题目，讲练结合

讨论法：学生先独立思考，再集体讨论

纠错法：分析常见错误，加深理解

教学反思

本节习题课系统回顾了第六章多元函数微分学的核心内容。通过精选的典型题目，有效巩固了偏导数、链式法则、隐函数求导和极值计算等核心技能。学生在综合练习中的表现总体良好，主要薄弱环节集中在链式法则的混合情形和拉格朗日乘数法。下一章将进入矩阵与线性方程组的学习。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识回顾与练习（35 min）

一、知识体系回顾（10分钟）

【教师】本章的知识体系可以概括为四个模块：

（1）基本概念：多元函数的极限、连续、偏导数、全微分；

（2）求导法则：链式法则（全导数和偏导数情形）、隐函数求导；

（3）高阶偏导：混合偏导数相等条件、拉普拉斯方程；

（4）极值应用：无条件极值（二阶判别法）、条件极值（拉格朗日乘数法）。

二、偏导数与全微分练习（10分钟）

题1 求 $f(x,y)= \arctan \frac{y}{x}$ 的全微分。

解

$f_{x} = \frac{1}{{1+(y/x)}^{2}} ⋅ (- \frac{y}{x^{2}})=- \frac{y}{x^{2} {+y}^{2}}$

$f_{y} = \frac{1}{{1+(y/x)}^{2}} ⋅ \frac{1}{x} = \frac{x}{x^{2} {+y}^{2}}$

$df=- \frac{y}{x^{2} {+y}^{2}} dx+ \frac{x}{x^{2} {+y}^{2}} dy= \frac{xdy-ydx}{x^{2} {+y}^{2}}$

题2 验证 ${f(x,y)=e}^{x} (x sin y-y cos y)$ 满足拉普拉斯方程 $\frac{∂^{2} f}{∂ x^{2}} + \frac{∂^{2} f}{∂ y^{2}} =0$ 。

解

$f_{x} {=e}^{x} (x sin y-y cos {y)+e}^{x} sin {y=e}^{x} [(x+1) sin y-y cos y]$

$f_{xx} {=e}^{x} [(x+2) sin y-y cos y]$

$f_{y} {=e}^{x} (x cos y+y sin y- cos {y)=e}^{x} [(x-1) cos y+y sin y]$

$f_{yy} {=e}^{x} [-(x-1) sin y+ sin y+y cos {y]=e}^{x} [-(x-2) sin y+y cos y]$

$f_{xx} {+f}_{yy} {=e}^{x} [(x+2) sin y-y cos y-(x-2) sin y+y cos y]=0$

验证完毕。

三、链式法则练习（15分钟）

题3 设 ${z=f(x}^{2} {+y}^{2}, xy)$ （f 可微），求 $x \frac{∂ z}{∂ y} -y \frac{∂ z}{∂ x}$ 。

解设 u=x²+y²，v=xy，则 z=f(u,v)。

$\frac{∂ z}{∂ x} {=f}_{1} ⋅ {2x+f}_{2} ⋅ y$

$\frac{∂ z}{∂ y} {=f}_{1} ⋅ {2y+f}_{2} ⋅ x$

$x \frac{∂ z}{∂ y} -y \frac{∂ z}{∂ x} {=x(2yf}_{1} {+xf}_{2} {)-y(2xf}_{1} {+yf}_{2} {)=(x}^{2} {-y}^{2} {)f}_{2}$

题4 设 z=f(u,v)，u=x+y，v=xy，且 $\frac{∂^{2} z}{∂ x ∂ y}$ 用 f 的偏导数表示。

解

$\frac{∂ z}{∂ x} {=f}_{1} {+yf}_{2}$

对 y 求偏导数：

$\frac{∂^{2} z}{∂ x ∂ y} {=f}_{11} {+xf}_{12} {+f}_{2} {+y(f}_{21} {+xf}_{22} {)=f}_{11} {+(x+y)f}_{12} {+xyf}_{22} {+f}_{2}$

先用知识结构图回顾全章框架，帮助学生建立系统认知。

题1训练全微分的计算，涉及反三角函数的偏导数。

题2训练高阶偏导数和拉普拉斯方程的验证。

题3训练抽象复合函数的链式法则和偏导数组合化简。

题4训练二阶混合偏导数的链式法则计算。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面独立完成两道限时练习（10分钟）。

练习A：设 ${z=e}^{u} \cos v$ ，u=xy，v=x+y，求 $\frac{∂ z}{∂ x}$ 。

答案

$\frac{∂ z}{∂ x} {=ye}^{xy} \cos {(x+y)-e}^{xy} \sin {(x+y)=e}^{xy} [y \cos (x+y)- \sin (x+y)]$

练习B：设 $x^{2} {+y}^{2} {+z}^{2} -2xyz=1$ ，求 $\frac{∂ z}{∂ x}$ 。

答案令 F=x²+y²+z²-2xyz-1=0。

$F_{x} =2x-2yz, \quad F_{z} =2z-2xy$

$\frac{∂ z}{∂ x} =- \frac{2x-2yz}{2z-2xy} =- \frac{x-yz}{z-xy} = \frac{yz-x}{z-xy}$

限时练习检验学生对链式法则和隐函数求导的掌握程度。

第二节课

综合练习与总结（30 min）

四、极值问题练习（15分钟）

题5 求 ${f(x,y)=x}^{3} {+y}^{3} -3xy$ 的极值。

解

$f_{x} {=3x}^{2} -3y=0 \quad ⇒ \quad {y=x}^{2}$

$f_{y} {=3y}^{2} -3x=0 \quad ⇒ \quad {x=y}^{2}$

代入得 x=x⁴，解得 x=0 或 x=1。

驻点：(0,0) 和 (1,1)。

在 (0,0)：A=0, B=-3, C=0, Δ=0-9=-9<0 → 不是极值（鞍点）。

在 (1,1)：A=6, B=-3, C=6, Δ=36-9=27>0, A=6>0 → 极小值。

极小值 $f(1,1)=1+1-3=-1$

题6 求 ${f(x,y)=x}^{2} {+y}^{2}$ 在约束 x+y=1 下的条件极值。

解构造 L=x²+y²+λ(x+y-1)。

$L_{x} =2x+ λ =0, \quad L_{y} =2y+ λ =0, \quad x+y=1$

由前两个方程得 x=y，代入 x+y=1 得 x=y=1/2。

条件极小值 $f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})= \frac{1}{2}$

五、易错点分析（15分钟）

典型错误1：

求偏导数时忘记固定另一个变量。

纠正：求 f_x 时 y 视为常数，求 f_y 时 x 视为常数。

典型错误2：

链式法则中全导数与偏导数搞混。

纠正：最终自变量只有一个用全导数 d/dt，有多个用偏导数。

典型错误3：

隐函数公式忘记负号。

纠正：dy/dx = -Fx/Fy，公式中的负号来自链式法则推导。

题5训练无条件极值的完整求解，包含鞍点和极小值两种情况。

题6训练拉格朗日乘数法的标准流程。

易错点分析帮助学生避免常见错误。

课堂测验

（10 min）

【教师】最后做一道综合题。

题7（综合）：设 z=f(x,y) 由方程 $e^{z} -z+xy=3$ 确定，

(1) 求 dz；

(2) 求在 (1,2,0) 处的 $\frac{∂ z}{∂ x}$ 和 $\frac{∂ z}{∂ y}$ 。

解

(1) 令 F=e^z - z + xy - 3 = 0。

$F_{x} =y, \quad F_{y} =x, \quad F_{z} {=e}^{z} -1$

$\frac{∂ z}{∂ x} =- \frac{y}{e^{z} -1}, \quad \frac{∂ z}{∂ y} =- \frac{x}{e^{z} -1}$

$dz=- \frac{y}{e^{z} -1} dx- \frac{x}{e^{z} -1} dy=- \frac{ydx+xdy}{e^{z} -1}$

(2) 在 (1,2,0) 处：e⁰-1=0，分母为零！

注意在此点 F_z=0，隐函数定理的条件不满足。这说明 (1,2,0) 不是隐函数 z=z(x,y) 的正则点。

验证：代入方程 e⁰ - 0 + 1×2 = 1+2=3，确实满足方程。但在此点附近 z 不能表示为 x,y 的函数。

【教师】此题提醒我们：使用隐函数公式前，必须验证 F_z≠0 这一前提条件。

综合题训练隐函数全微分的求法，同时展示隐函数定理条件不满足的特殊情况。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本章学习要点：

第六章核心知识：

1. 偏导数与全微分——多元微分学的基石；

2. 链式法则——复合函数求导的核心工具（树形图法）；

3. 隐函数求导——公式法 dy/dx=-Fx/Fy；

4. 极值问题——二阶判别法和拉格朗日乘数法。

考试重点题型：

1. 求偏导数和全微分；

2. 链式法则（特别是抽象复合函数）；

3. 隐函数求导；

4. 求极值和条件极值。

作业布置：

完成教材第六章综合习题。

预习：

下一章将学习矩阵的基本概念与运算。

系统总结全章核心知识和考试重点题型。

布置章末综合作业。

预告下一章矩阵内容。

教学反思

本节习题课系统回顾了第六章多元函数微分学的核心内容，教学效果分析如下：

（1）知识回顾环节：通过结构图帮助学生建立了本章的知识体系，约90%的学生能够清晰地描述各知识模块之间的关系。

（2）偏导数与全微分的练习完成度约85%，拉普拉斯方程验证题对计算准确性要求较高，约70%的学生能够完成。

（3）链式法则的抽象复合函数题（题3、4）完成度约65%，用 f1、f2 记号表示偏导数仍然是部分学生的困难点。

（4）极值问题的练习完成度约75%，二阶判别法的操作步骤学生掌握较好，拉格朗日乘数法的方程组求解需要更多练习。

（5）综合题（题7）展示了隐函数定理条件不满足的情况，有效提醒学生使用公式前需验证前提条件。

（6）易错点分析环节反馈良好，学生认为这类分析对避免考试失分很有帮助。

（7）整体反思：本章知识量较大，习题课时间有限，建议学生课后加强练习，特别是链式法则的抽象题型和极值问题。