教学项目

逆矩阵

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

学生已经学习了矩阵的概念、特殊矩阵和矩阵的运算（加法、数乘、乘法），对矩阵乘法的定义和运算性质有了较好的掌握。

从前节课的反馈来看：（1）学生能熟练进行矩阵乘法运算，理解了乘法不满足交换律；（2）学生对单位矩阵 E 的性质 AE=EA=A 已有认识；（3）学生在行列式计算方面已有基础（第三篇前期内容）。

本节课将引入逆矩阵的概念，讲解伴随矩阵法求逆矩阵，以及逆矩阵的基本性质。逆矩阵是矩阵代数中的核心概念之一，它将行列式的理论与矩阵运算联系起来。

根据教学计划，本课时为第35-36学时。

教学目标

知识目标：

（1）理解逆矩阵的定义：${''AA''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{''=A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''A=E''$；

（2）掌握矩阵可逆的充要条件：$''|A|''''\ne ''''0''$；

（3）掌握伴随矩阵法求逆矩阵的公式：${''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''=''\frac{''1''}{''|A|''}{''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">*</ms>}}$；

（4）掌握二阶方阵求逆的速算法（主对调，副变号）；

（5）掌握逆矩阵的基本性质。

能力目标：

（1）能够判断给定矩阵是否可逆；

（2）能够用伴随矩阵法求二阶和三阶方阵的逆矩阵；

（3）能够运用逆矩阵的性质进行推理。

素质目标：

（1）通过逆矩阵概念的建立，体会数学中推广和类比的思维方法；

（2）通过逆矩阵计算的严谨步骤，培养规范化解题的习惯。

教学重点

1. 逆矩阵的概念与可逆条件 理解逆矩阵的定义，掌握判断矩阵可逆的充要条件 |A|≠0。

2. 伴随矩阵法求逆矩阵 掌握公式 A⁻¹ = (1/|A|)A*，能够计算二阶和三阶方阵的逆矩阵。

3. 逆矩阵的性质 (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹（顺序颠倒）、(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ 等重要性质。

教学难点

及应对

难点：

1. 伴随矩阵的构造——需要计算所有代数余子式并注意转置排列，学生容易出错；

2. 三阶方阵求逆的计算量较大，需要精确计算 9 个代数余子式；

3. 逆矩阵性质中乘积逆的顺序颠倒——与转置矩阵的类似性质容易混淆。

应对策略：

1. 以二阶方阵为主要教学载体，三阶方阵作为提高内容；

2. 总结二阶方阵求逆的口诀“主对调，副变号”，便于记忆；

3. 通过验算 AA⁻¹=E 来检验结果的正确性，培养自查习惯。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：逆矩阵概念图、伴随矩阵法图、逆矩阵性质图、可逆判定图、二阶速算法图、知识总结图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

类比法：从数的倒数类比引入矩阵的逆

公式推导法：通过行列式和代数余子式推导逆矩阵公式

口诀记忆法：二阶方阵"主对调，副变号"

讲练结合：每讲完一个知识点立即配套练习巩固

教学反思

本节课引入了逆矩阵这一核心概念。通过从数的倒数类比引入，学生对逆矩阵的意义理解较好。二阶方阵求逆的口诀法深受学生欢迎，掌握率高。三阶方阵求逆的计算量较大，部分学生需要更多练习。下节课将学习矩阵的初等变换，引入另一种求逆方法。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、类比导入（5分钟）

【教师】在数的运算中，对于非零数 a，存在倒数 ${''a''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}$ 使得 $''a''''\cdot ''{''a''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''=1''$。类似地，对于方阵 A，是否存在矩阵使得乘积等于单位矩阵 E？

二、逆矩阵的定义（10分钟）

定义 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B，使得

$''AB=BA=E''$

则称 A 是可逆矩阵，B 称为 A 的逆矩阵，记作 ${''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''=B''$。

可逆的充要条件：

定理 n 阶方阵 A 可逆的充要条件是 $''|A|''''\ne ''''0''$。

当 $''|A|''''\ne ''''0''$ 时，A 称为非奇异矩阵；当 $''|A|=0''$ 时，A 称为奇异矩阵（不可逆）。

三、伴随矩阵法求逆矩阵（15分钟）

伴随矩阵的定义：

设 ${''A''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">ij</ms>}}$ 是 ${''a''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">ij</ms>}}$ 的代数余子式，则

A 的伴随矩阵 ${''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">*</ms>}}$ 是由代数余子式 ${''A''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">ij</ms>}}$ 按行排列后转置得到的矩阵。

逆矩阵公式：

${''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''=''\frac{''1''}{''|A|''}{''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">*</ms>}}$

例1 求下列矩阵的逆矩阵：

解

Step 1：计算行列式 $''|A|=1''''\times ''''7-2''''\times ''''3=1''''\ne ''''0''$，A 可逆。

Step 2：求伴随矩阵（主对调，副变号）：

Step 3：

${''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''=''\frac{''1''}{''|A|''}{''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">*</ms>}}''=''\frac{''1''}{''1''}{''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">*</ms>}}{''=A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">*</ms>}}$

验算：

验证正确！

四、二阶方阵求逆速算法（5分钟）

口诀 对于二阶方阵 A = (a, b; c, d)：

主对角线元素对调（a ↔ d），副对角线元素变号（b → -b，c → -c），

再除以行列式 |A| = ad - bc。

从数的倒数类比引入，降低理解门槛。

逆矩阵的定义和可逆条件是理论基础，必须讲清楚。

伴随矩阵法是本节课的核心计算方法，通过详细的例题演示步骤。

二阶速算口诀便于记忆，是最常用的求逆方法。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做练习，检验逆矩阵的掌握情况。

练习1：求下列矩阵的逆矩阵：

解

$''|C|=2''''\times ''''3-1''''\times ''''5=1''''\ne ''''0''$，C 可逆。

主对调，副变号：

练习2：求对角矩阵的逆矩阵：

解 |D| = 1×2 - 0×0 = 2 ≠ 0，D 可逆。

规律：对角矩阵的逆就是对角线元素分别取倒数。

【教师】讲评要点：求逆矩阵的步骤——第一步先算行列式判断是否可逆，第二步再求伴随矩阵，第三步代入公式。养成先判断后计算的好习惯。

练习1训练二阶方阵求逆的基本技能。

练习2揭示对角矩阵求逆的简便规律，为理解特殊矩阵的逆做准备。

第二节课

知识讲解

（30 min）

五、逆矩阵的性质（15分钟）

性质1：若 A 可逆，则 ${''(A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''=A''$。

（逆矩阵的逆等于原矩阵）

性质2：若 A 可逆，k≠0，则 ${''(kA)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''=''\frac{''1''}{''k''}{''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}$。

性质3：若 A, B 均可逆，则 ${''(AB)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{''=B''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}$。

注意：顺序颠倒！这与转置的性质 ${''(AB)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">T</ms>}}{''=B''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">T</ms>}}{''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">T</ms>}}$ 类似。

性质4：若 A 可逆，则 ${''(A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">T</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{''=(A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">T</ms>}}$。

（转置与逆可交换顺序）

性质5：若 A 可逆，则 ${''|A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{''|=|A|''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''=''\frac{''1''}{''|A|''}$。

六、逆矩阵求解矩阵方程（10分钟）

矩阵方程：

(1) 方程 AX = B，若 A 可逆，则 ${''X=A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''B''$；

(2) 方程 XA = B，若 A 可逆，则 ${''X=BA''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}$；

(3) 方程 AXB = C，若 A, B 均可逆，则 ${''X=A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{''CB''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}$。

注意：左乘还是右乘 ${''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}$ 要看 A 在方程中的位置！不能随意调换顺序。

例2 设

解矩阵方程 AX = 2E。

解

${''X=A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''\cdot ''{''2E=2A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}$

由例1知

所以 X = 2A⁻¹：

${''X=2A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}$

即 X 的每个元素为 A⁻¹ 的对应元素乘以 2。

七、三阶方阵求逆简介（5分钟）

例3（选讲） 求下列矩阵的逆矩阵：

解

Step 1：$''|A|=1(5''''\times ''''8-3''''\times ''''0)-2(2''''\times ''''8-3''''\times ''''1)+3(2''''\times ''''0-5''''\times ''''1)''$

$''=40-26-15=-1''''\ne ''''0''$，A 可逆。

Step 2：计算 9 个代数余子式（此处省略详细过程），构造伴随矩阵。

Step 3：代入公式得 A⁻¹ = (-1) · A*。

说明：三阶方阵求逆计算量大，下节课将学习更高效的方法——初等行变换法（将 (A|E) 化为 (E|A⁻¹)）。

逆矩阵性质是后续推理的基础，特别是乘积逆的顺序颠倒。

矩阵方程的求解展示了逆矩阵的应用价值。

三阶方阵求逆简介为下节课初等变换法做铺垫。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做练习，综合检验逆矩阵的掌握。

练习3：判断正误：

（1）所有方阵都可逆。—— 错误（|A|=0 时不可逆）

（2）可逆矩阵的逆矩阵唯一。—— 正确

（3）${''(AB)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{''=A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{''B''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}$。—— 错误（应为 ${''B''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}$）

（4）零矩阵不可逆。—— 正确（|O|=0）

（5）单位矩阵的逆是自身。—— 正确（EE=E）

练习4：设 A 可逆，化简下列表达式：

(1) ${''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''(A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$ = $''A''''\cdot ''{''(AA''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}'')''''\cdot ''{''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''=A''''\cdot ''''E''''\cdot ''{''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{''=AA''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''=E''$

(2) ${''(A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">T</ms>}}{''(A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">T</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}$ = ${''(A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">T</ms>}}''\cdot ''{''((A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">T</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''\cdot ''{''(A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">T</ms>}}$

由性质4，${''(A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">T</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{''=(A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">T</ms>}}$，所以原式 = ${''(A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">T</ms>}}{''(A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">T</ms>}}{''=((A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">T</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$

【教师】讲评要点：化简矩阵表达式时，关键是灵活运用逆矩阵的各项性质，注意不能随意调换乘法顺序。

判断题帮助学生澄清逆矩阵的常见误区。

化简练习训练灵活运用逆矩阵性质的能力。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心内容：

一、逆矩阵的定义：

${''AA''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{''=A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''A=E''$，条件：$''|A|''''\ne ''''0''$。

二、求逆公式：

${''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}''=''\frac{''1''}{''|A|''}{''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">*</ms>}}$

三、二阶速算：

主对调，副变号，除以行列式。

四、重要性质：

${''(AB)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{''=B''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}{''A''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}$（顺序颠倒）

五、作业布置：

（1）求给定二阶方阵的逆矩阵并验算；

（2）利用逆矩阵求解矩阵方程；

（3）化简含有逆矩阵的表达式。

六、预习：

下节课学习矩阵的初等变换——更高效的求逆方法和线性方程组的矩阵解法。

以知识总结图系统归纳逆矩阵的概念、方法和性质。

强调二阶速算法和乘积逆的顺序颠倒。

作业涵盖计算、应用和推理三个层次。

教学反思

本节课引入了逆矩阵这一核心概念。教学效果分析如下：

（1）类比导入环节：从数的倒数到矩阵的逆，学生理解顺畅。逆矩阵存在的条件（|A|≠0）与数的倒数存在条件（a≠0）类比效果好。

（2）伴随矩阵法环节：二阶方阵的“主对调，副变号”口诀学生很快掌握，约90%的学生能正确完成二阶矩阵求逆。三阶方阵求逆的计算量大，仅做了简介，留待下节课用初等变换法。

（3）逆矩阵性质环节：大部分性质学生能理解。但 (AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹ 的顺序颠倒约有25%的学生混淆，需要通过更多练习强化。

（4）矩阵方程环节：左乘和右乘的区分是关键。约70%的学生能正确判断应该左乘还是右乘 A⁻¹。

（5）整体反思：本节课以二阶方阵为主教学载体，降低了计算难度，使学生能集中精力理解概念和性质。三阶求逆计算留到下节课，与初等变换法结合教学效果更好。