高阶导数

教学项目

高阶导数（第11课时）

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过第9-10课的学习，学生已掌握导数的概念、基本公式、四则运算法则、链式法则以及隐函数和参数方程的求导方法。从第10课的课堂练习反馈来看：

约85%的学生能正确运用基本公式和链式法则求导，约75%的学生能处理隐函数导数和对数求导法。学生对一阶导数的计算已比较熟练。

本节课将导数概念推广到高阶：对导数再求导。学生需要理解高阶导数的概念，掌握常见函数的n阶导数公式，并学习莱布尼茨公式处理乘积函数的高阶导数。这些内容对后续的泰勒公式和微分方程至关重要。

根据教学计划，本课时为第21-22学时。

教学目标

知识目标：

（1）理解高阶导数的定义和记号；

（2）掌握常见函数的n阶导数公式（指数、三角、幂、对数）；

（3）掌握莱布尼茨公式及其应用；

（4）能用逐阶求导归纳法求n阶导数。

能力目标：

（1）培养从低阶到高阶的归纳推理能力；

（2）培养运用莱布尼茨公式处理复杂高阶导数的能力。

素质目标：

（1）通过加速度的物理背景，理解高阶导数的实际意义；

（2）通过莱布尼茨公式与二项式定理的类比，体会数学中的结构美。

教学重点

1. 常见函数的n阶导数公式；

2. 莱布尼茨公式及其应用；

3. 逐阶求导归纳通式的方法。

教学难点

及应对

1. 从前几阶导数的规律归纳出n阶导数的通式；

2. 莱布尼茨公式中组合数的计算和展开；

3. 三角函数n阶导数中相角的理解。

教学资源

教材《高等数学》第3章 §3.3；多媒体课件；板书

教学方法

讲授法 + 归纳推理 + 类比教学 + 例题分析 + 课堂练习

教学反思

高阶导数的教学重点在于“从特殊到一般”的归纳思维。教学中先通过物理（加速度）引入高阶导数概念，再通过逐阶求导发现规律并归纳公式。莱布尼茨公式通过与二项式定理的类比来帮助记忆。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、高阶导数的概念（8 min）

引入：

物体运动位移 s = s(t)，速度 v = s′(t)（位移的导数），加速度 a = v′(t) = s″(t)（速度的导数 = 位移的二阶导数）。导数的导数就是二阶导数，以此类推可定义任意阶导数。

定义

函数 y = f(x) 的导数 y′ = f′(x) 仍然是 x 的函数。若 f′(x) 也可导，则称其导数为 f(x) 的二阶导数，记为

$y^{′′} {=f}^{′′} (x)= \frac{d^{2} y}{{dx}^{2}}$

类似地，定义三阶、四阶、…、n阶导数：

$f^{(n)} {(x)=[f}^{(n-1)} {(x)]}^{′}$

二、常见函数的n阶导数公式（12 min）

(1) 指数函数

${(e}^{x})^{(n)} {=e}^{x}$

推广： ${(e}^{ax})^{(n)} {=a}^{n} e^{ax}$

(2) 三角函数

$(sin {x)}^{(n)} = sin (x+ \frac{n π}{2})$

$(cos {x)}^{(n)} = cos (x+ \frac{n π}{2})$

理解：每求一次导，相角增加 π/2。

(3) 幂函数

${(x}^{m})^{(n)} =m(m-1)(m-2) ⋯ {(m-n+1)x}^{m-n}$

特别地：当 m 为正整数且 n = m 时，结果为 m!；当 n > m 时，结果为0。

(4) 对数函数

$(ln {x)}^{(n)} = \frac{{(-1)}^{n-1} (n-1)!}{x^{n}}$

(5) 常用形式

$(\frac{1}{x+a})^{(n)} = \frac{{(-1)}^{n} ⋅ n!}{{(x+a)}^{n+1}}$

例1（逐阶求导归纳法）

求 $y=x ⋅ e^{x}$ 的 n 阶导数。

解：逐阶求导观察规律：

y′ = eˣ + xeˣ = (1+x)eˣ

y″ = eˣ + (1+x)eˣ = (2+x)eˣ

y‴ = eˣ + (2+x)eˣ = (3+x)eˣ

归纳得： $y^{(n)} {=(n+x)e}^{x}$

三、莱布尼茨公式（10 min）

定理（莱布尼茨公式）

设 u = u(x)，v = v(x) 都有 n 阶导数，则

${(uv)}^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {C_{n}}^{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$

展开写为：

${(uv)}^{(n)} {=u}^{(n)} {v+nu}^{(n-1)} v^{′} + \frac{n(n-1)}{2!} u^{(n-2)} v^{′′} + ⋯ {+uv}^{(n)}$

结构类比二项式定理，只是把乘幂换成了求导阶数。

例2

求 ${y=x}^{2} ⋅ e^{x}$ 的 n 阶导数。

解：令 u = eˣ，v = x²。

$u^{(k)} {=e}^{x}$ （任意阶）； $v^{′} {=2x, v}^{′′} {=2, v}^{′′′} =0$

由莱布尼茨公式（v 的三阶及以上导数为0，只需前三项）：

$y^{(n)} {=e}^{x} ⋅ x^{2} +n ⋅ e^{x} ⋅ 2x+ \frac{n(n-1)}{2} ⋅ e^{x} ⋅ 2$

${=(x}^{2} {+2nx+n}^{2} {-n)e}^{x} {=(x}^{2} {+2nx+n(n-1))e}^{x}$

例3

求 $y=x ⋅ sin x$ 的 n 阶导数。

解：令 u = sin x，v = x。v′ = 1，v″ = 0。

$y^{(n)} = sin (x+ \frac{n π}{2}) ⋅ x+n ⋅ sin (x+ \frac{(n-1) π}{2}) ⋅ 1$

$=x ⋅ sin (x+ \frac{n π}{2})+n ⋅ sin (x+ \frac{(n-1) π}{2})$

物理引入高阶导数概念

逐阶求导发现规律并归纳

莱布尼茨公式类比二项式定理

课堂测验

（10 min）

四、课堂练习（15 min）

1. 求 ${y=x}^{3} {+2x}^{2} -x+5$ 的四阶导数。

2. 求 $y= sin 2x$ 的 n 阶导数。

3. 求 $y= \frac{1}{x+1}$ 的 n 阶导数。

4. 求 ${y=x}^{2} ⋅ ln x$ 的三阶导数。

参考答案：

1. y′=3x²+4x-1, y″=6x+4, y‴=6, y⁗=0

2. y′=2cos2x, y″=-4sin2x, ..., yⁿ = 2ⁿ sin(2x+nπ/2)

3. yⁿ = (-1)ⁿ n!/(x+1)ⁿ⁺¹

4. 用莱布尼茨（u=lnx, v=x²）：y‴ = (lnx)‴·x² + 3(lnx)″·2x + 3(lnx)′·2 = (2/x³)·x² + 3·(-1/x²)·2x + 3·(1/x)·2 = 2/x - 6/x + 6/x = 2/x

覆盖n阶公式和莱布尼茨公式

第二节课

课堂测验与总结（15 min）

五、课堂测验（5 min）

1. 求 ${y=e}^{2x}$ 的 n 阶导数。

2. 求 ${y=(x+1)}^{2} ⋅ e^{x}$ 的 n 阶导数（用莱布尼茨公式）。

答案：

1. $y^{(n)} {=2}^{n} e^{2x}$

2. 令 u=eˣ, v=(x+1)², v′=2(x+1), v″=2, v‴=0

$y^{(n)} {=e}^{x} {(x+1)}^{2} +n ⋅ e^{x} ⋅ 2(x+1)+ \frac{n(n-1)}{2} ⋅ e^{x} ⋅ 2$

${=[(x+1)}^{2} {+2n(x+1)+n(n-1)]e}^{x}$

测验n阶公式和莱布尼茨公式

课堂测验

（10 min）

补充：高阶导数的计算策略

方法选择：

1. 简单函数：直接用n阶导数公式（指数、三角、幂、对数）；

2. 乘积型函数：用莱布尼茨公式（选择一个高阶导数容易为0的因子作为v）；

3. 复杂函数：先做部分分式分解或其他变形，再逐项求导；

4. 无规律可循时：逐阶求导，观察规律，归纳通式。

莱布尼茨公式使用技巧：

选择u和v时，令导数有限次后变为0的多项式作为v，这样莱布尼茨公式只有有限项。

总结方法选择策略

课堂小结

（5 min）

课堂小结

本节课核心内容：

1. 高阶导数 = 对导数反复求导，二阶导数物理意义为加速度。

2. 常见n阶导数公式：

(eˣ)ⁿ = eˣ；(sin x)ⁿ = sin(x + nπ/2)；(xᵐ)ⁿ = m!/(m-n)! · xᵐ⁻ⁿ

3. 莱布尼茨公式：(uv)ⁿ = ∑ C(n,k) uⁿ⁻k v⁺ᵏ′⁺ᵏ

结构类比二项式定理。

学习建议：

n阶导数公式需要熟记，莱布尼茨公式多做练习。这些工具在后续泰勒展开中将频繁使用。

下节课预告：函数的微分——从另一个角度理解导数，建立微分的概念和计算方法。

总结三大核心内容

预告微分

教学反思

本节课介绍了高阶导数的概念、公式和莱布尼茨公式。

教学效果分析：

1. 高阶导数的概念通过物理（加速度）引入，学生接受自然，约90%的学生理解高阶导数的含义；

2. 逐阶求导归纳通式的方法学生能够掌握，但归纳能力有差异，约70%的学生能独立完成简单的归纳；

3. n阶导数公式中，指数和幂函数的公式容易记忆，三角函数的“相角增加π/2”约60%的学生需要时间理解；

4. 莱布尼茨公式的展开约50%的学生能在课堂上独立完成。

改进方向：

1. 三角函数n阶导数配合单位圆旋转的动态演示效果更好；

2. 莱布尼茨公式增加更多低阶（n=2,3）的展开练习；

3. 布置课后n阶导数公式的默写练习。