一阶线性微分方程

教学项目

一阶线性微分方程——常数变易法与伯努利方程

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过第15、16课的学习，学生已经掌握了微分方程的基本概念（方程、阶、解、通解、特解、初值问题）以及可分离变量的微分方程和齐次方程的求解方法。

从第16课的课堂测验和课后作业反馈来看：（1）约85%的学生能够正确识别齐次方程并完成v=y/x代换；（2）约75%的学生能够完成代换后的分离变量和积分步骤；（3）主要困难在于：部分学生在回代v=y/x时容易遗漏或出错，以及对"变量代换化归"思想的理解不够深入。

本节课学习一阶线性微分方程——这是一阶微分方程中最重要的类型之一。学生将学会识别线性方程的形式，掌握常数变易法的推导过程，熟练运用通解公式求解，并学习伯努利方程的变换技巧。

根据教学计划，本课时为第33-34学时。

教学目标

知识目标：

（1）理解一阶线性微分方程的一般形式 $\frac{dy}{dx} +P(x)y=Q(x)$ ，能正确区分齐次与非齐次线性方程；

（2）掌握齐次线性方程 $y^{′} +P(x)y=0$ 的通解： ${y=Ce}^{-\int_{}^{} P(x)dx}$ ；

（3）理解常数变易法的思想：将齐次通解中的常数C变易为函数C(x)；

（4）掌握非齐次线性方程的通解公式： ${y=e}^{-\int_{}^{} P(x)dx} (\int_{}^{} {Q(x)e}^{\int_{}^{} P(x)dx} dx+C)$ ；

（5）理解通解的结构：非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解；

（6）了解伯努利方程 $y^{′} {+P(x)y=Q(x)y}^{n}$ 的变换方法。

能力目标：

（1）培养运用通解公式求解一阶线性方程的计算能力；

（2）培养将方程化为标准形式再套用公式的分析能力；

（3）培养常数变易法的推导和理解能力，体会化归思想；

（4）培养求解初值问题的综合运算能力。

素质目标：

（1）通过常数变易法的推导，体会数学中“由特殊到一般”的研究方法；

（2）通过通解结构定理，感受数学理论的系统性和完整性；

（3）通过实际应用问题，体会微分方程在科学和工程中的应用价值。

教学重点

1. 一阶线性微分方程的通解公式： ${y=e}^{-\int_{}^{} P(x)dx} (\int_{}^{} {Q(x)e}^{\int_{}^{} P(x)dx} dx+C)$

2. 运用通解公式求解各类一阶线性方程；

3. 一阶线性方程初值问题的求解。

教学难点

及应对

1. 常数变易法的思想理解及推导过程；

2. 伯努利方程 $y^{′} {+P(x)y=Q(x)y}^{n}$ 的变量代换技巧；

3. 复杂积分计算中的规范化处理。

教学资源

教材《高等数学》第10章 §10.4-10.5；多媒体课件；板书

教学方法

讲授法 + 板书推导 + 启发式教学 + 课堂练习

教学反思

本节课重点讲解一阶线性微分方程的通解公式及其应用。常数变易法的推导是本节课的核心和难点，需要通过板书详细展示每一步推导过程。学生在运用通解公式时，容易在积分计算和指数运算中出错，需要通过大量例题训练来巩固。伯努利方程作为拓展内容，通过变量代换化为线性方程的方法体现了数学中的化归思想。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、复习引入（5 min）

1. 复习回顾

上节课我们学习了齐次方程的求解方法：

齐次方程形式： $\frac{dy}{dx} = ϕ (\frac{y}{x})$ ，通过令 $v= \frac{y}{x}$ 化为可分离变量方程求解。

2. 引入新课

但在实际问题中，很多方程并不能化为齐次形式。例如：

（1）RC电路中电容电压的方程： $\frac{du}{dt} + \frac{1}{RC} u= \frac{E}{RC}$

（2）牛顿冷却定律： $\frac{dT}{dt} {=-k(T-T}_{0})$ ，即 $\frac{dT}{dt} {+kT=kT}_{0}$

这些方程有一个共同特点：关于未知函数y及其导数y'都是一次的。这类方程称为一阶线性微分方程。

二、一阶齐次线性方程（10 min）

定义

形如 $\frac{dy}{dx} +P(x)y=Q(x)$ 的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)、Q(x)为已知连续函数。

当 $Q(x)=0$ 时，方程 $y^{′} +P(x)y=0$ 称为一阶齐次线性方程；

当 $Q(x) ≠ 0$ 时称为一阶非齐次线性方程。

齐次线性方程的求解

齐次方程 $y^{′} +P(x)y=0$ 是可分离变量的：

分离变量： $\frac{dy}{y} =-P(x)dx$

两边积分： $ln |y|=- \int_{}^{} {P(x)dx+C}_{1}$

得通解： ${y=Ce}^{-\int_{}^{} P(x)dx}$ （C为任意常数，包括C=0时的零解y=0）

例1

求方程 $y^{′} -2xy=0$ 的通解。

解：这是齐次线性方程，P(x)=-2x。

通解为 ${y=Ce}^{-\int_{}^{} (-2x)dx} {=Ce}^{x^{2}}$ （C为任意常数）。

三、一阶非齐次线性方程——常数变易法（20 min）

3.1 常数变易法的思想

已知齐次方程 $y^{′} +P(x)y=0$ 的通解为 ${y=Ce}^{-\int_{}^{} P(x)dx}$ 。

常数变易法的核心思想：将常数C“变易”为x的函数C(x)，设

${y=C(x)e}^{-\int_{}^{} P(x)dx}$

然后代入非齐次方程，确定C(x)应满足的方程。

3.2 推导过程

设 ${y=C(x)e}^{-\int_{}^{} P(x)dx}$ ，求导得

$y^{′} {=C}^{′} {(x)e}^{-\int_{}^{} P(x)dx} {+C(x)(-P(x))e}^{-\int_{}^{} P(x)dx}$

${=C}^{′} {(x)e}^{-\int_{}^{} P(x)dx} -P(x)y$

代入方程 $y^{′} +P(x)y=Q(x)$ ：

$C^{′} {(x)e}^{-\int_{}^{} P(x)dx} -P(x)y+P(x)y=Q(x)$

化简得： $C^{′} {(x)e}^{-\int_{}^{} P(x)dx} =Q(x)$

即 $C^{′} {(x)=Q(x)e}^{\int_{}^{} P(x)dx}$

积分得： $C(x)= \int_{}^{} {Q(x)e}^{\int_{}^{} P(x)dx} dx+C$

3.3 通解公式

将C(x)代回，得一阶非齐次线性方程的通解公式：

${y=e}^{-\int_{}^{} P(x)dx} (\int_{}^{} {Q(x)e}^{\int_{}^{} P(x)dx} dx+C)$

通解结构分析：

非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解

其中：齐次通解为 ${Ce}^{-\int_{}^{} P(x)dx}$ ，非齐次特解为 $e^{-\int_{}^{} P(x)dx} \int_{}^{} {Q(x)e}^{\int_{}^{} P(x)dx} dx$

使用通解公式的步骤：

（1）将方程化为标准形式 y'+P(x)y=Q(x)，确定P(x)和Q(x)；

（2）计算 $\int_{}^{} P(x)dx$ （不加任意常数）；

（3）代入公式 ${y=e}^{-\int_{}^{} P(x)dx} (\int_{}^{} {Q(x)e}^{\int_{}^{} P(x)dx} dx+C)$ 。

通过复习齐次方程引入线性方程概念

从实际问题引入，激发学习兴趣

分离变量求解齐次情形，为常数变易法做准备

板书详细推导常数变易法，让学生体会数学方法的精妙

公式的结构分析帮助学生理解和记忆

课堂测验

（10 min）

四、典型例题（25 min）

例2

求方程 $y^{′} {+y=e}^{-x}$ 的通解。

解：这是标准形式的一阶线性方程， $P(x)=1$ ， ${Q(x)=e}^{-x}$ 。

$\int_{}^{} P(x)dx = \int_{}^{} 1 dx =x$

代入通解公式：

${y=e}^{-x} (\int_{}^{} e^{-x} ⋅ e^{x} dx+C)$

${=e}^{-x} (\int_{}^{} 1 dx+C)$

${=e}^{-x} {(x+C)=(x+C)e}^{-x}$

例3

求方程 ${xy}^{′} {-y=x}^{2}$ 的通解。

解：先化为标准形式。两边除以x（x $≠$ 0）：

$y^{′} - \frac{1}{x} y=x$

这里 $P(x)=- \frac{1}{x}$ ， $Q(x)=x$ 。

$\int_{}^{} P(x)dx = \int_{}^{} (- \frac{1}{x})dx =- ln |x|$

$e^{-\int_{}^{} P(x)dx} {=e}^{ln|x|} =|x|$ 取 $e^{-\int_{}^{} P(x)dx} =x$ （x>0时）

代入通解公式：

$y=x(\int_{}^{} x ⋅ \frac{1}{x} dx+C) =x(\int_{}^{} 1 dx+C) =x(x+C)$

${=x}^{2} +Cx$

例4

求方程 $y^{′} +y ⋅ tan x= sin 2x$ 的通解。

解：P(x)=tan x，Q(x)=sin 2x=2sin x cos x。

$\int_{}^{} P(x)dx = \int_{}^{} tan x dx =- ln | cos x|= ln | sec x|$

$e^{\int_{}^{} P(x)dx} = sec x= \frac{1}{cos x}$

$e^{-\int_{}^{} P(x)dx} = cos x$

代入通解公式：

$y= cos x(\int_{}^{} 2 sin x cos x ⋅ \frac{1}{cos x} dx+C)$

$= cos x(\int_{}^{} 2 sin x dx+C)$

$= cos x(-2 cos x+C)=-2 {cos}^{2} x+C cos x$

例5（初值问题）

求方程 $y^{′} -2y=x$ 满足初始条件 $y(0)=1$ 的特解。

解：P(x)=-2，Q(x)=x。

$\int_{}^{} P(x)dx =-2x$ ， $e^{\int_{}^{} P(x)dx} {=e}^{-2x}$ ， $e^{-\int_{}^{} P(x)dx} {=e}^{2x}$

通解：

${y=e}^{2x} (\int_{}^{} {xe}^{-2x} dx+C)$

计算 $\int_{}^{} {xe}^{-2x} dx$ （分部积分）：

$\int_{}^{} {xe}^{-2x} dx =- \frac{1}{2} {xe}^{-2x} + \frac{1}{2} \int_{}^{} e^{-2x} dx =- \frac{1}{2} {xe}^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x}$

所以通解为：

${y=e}^{2x} (- \frac{1}{2} {xe}^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x} +C)=- \frac{x}{2} - \frac{1}{4} {+Ce}^{2x}$

代入初始条件 y(0)=1：

$1=- \frac{0}{2} - \frac{1}{4} +C$ ，解得 $C= \frac{5}{4}$

特解： $y=- \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{5}{4} e^{2x}$

例6（应用题）

某放射性物质的衰变速率与其质量成正比，比例系数为k>0。设初始质量为M，同时从外部以恒定速率a补充该物质。求t时刻的质量m(t)。

解：建立微分方程： $\frac{dm}{dt} =-km+a$

化为标准形式： $\frac{dm}{dt} +km=a$

P(t)=k，Q(t)=a。通解：

${m=e}^{-kt} (\int_{}^{} {ae}^{kt} dt+C) {=e}^{-kt} (\frac{a}{k} e^{kt} +C)= \frac{a}{k} {+Ce}^{-kt}$

由初始条件 m(0)=M 得 C=M-a/k。

特解： $m(t)= \frac{a}{k} +(M- \frac{a}{k} {)e}^{-kt}$

当 $t \to ∞$ 时， $m \to \frac{a}{k}$ （动态平衡值）。

从简单到复杂安排例题

例2直接套公式

例3强调先化为标准形式

例4涉及三角函数积分

例5训练初值问题

例6培养建模能力

第二节课

知识拓展（20 min）

五、伯努利方程（15 min）

5.1 伯努利方程的定义

形如 $y^{′} {+P(x)y=Q(x)y}^{n}$ （n $≠$ 0, n $≠$ 1）的方程称为伯努利(Bernoulli)方程。

当n=0时为线性方程，n=1时为可分离变量方程，所以只讨论n不等于0和1的情况。

5.2 求解方法

伯努利方程可以通过变量代换化为一阶线性方程：

第一步：方程两边除以 $y^{n}$ ：

$y^{-n} y^{′} {+P(x)y}^{1-n} =Q(x)$

第二步：令 ${z=y}^{1-n}$ ，则 $z^{′} {=(1-n)y}^{-n} y^{′}$

即 $y^{-n} y^{′} = \frac{z^{′}}{1-n}$

第三步：代入得关于z的一阶线性方程：

$\frac{z^{′}}{1-n} +P(x)z=Q(x)$

即 $z^{′} +(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$

第四步：用通解公式求出z，再回代得y。

例7

求方程 $y^{′} + \frac{y}{x} =x \sqrt{y}$ 的通解。

解：这是伯努利方程，n=1/2，P(x)=1/x，Q(x)=x。

两边除以 $\sqrt{y}$ （即 $y^{1/2}$ ）：

$y^{-1/2} y^{′} + \frac{1}{x} y^{1/2} =x$

令 ${z=y}^{1/2}$ ，则 $z^{′} = \frac{1}{2} y^{-1/2} y^{′}$ ，即 $y^{-1/2} y^{′} {=2z}^{′}$

代入得：

${2z}^{′} + \frac{z}{x} =x$ ，即 $z^{′} + \frac{1}{2x} z= \frac{x}{2}$

这是关于z的一阶线性方程。P(x)=1/(2x)，Q(x)=x/2。

$\int_{}^{} P dx = \int_{}^{} \frac{1}{2x} dx = \frac{1}{2} ln |x|= ln \sqrt{|x|}$

$e^{\int_{}^{} P dx} = \sqrt{x}$ （x>0时）

通解：

$z= \frac{1}{\sqrt{x}} (\int_{}^{} \frac{x}{2} ⋅ \sqrt{x} dx+C) = \frac{1}{\sqrt{x}} (\int_{}^{} \frac{x^{3/2}}{2} dx+C)$

$= \frac{1}{\sqrt{x}} (\frac{x^{5/2}}{5} +C)= \frac{x^{2}}{5} + \frac{C}{\sqrt{x}}$

回代 $z= \sqrt{y}$ ：

$\sqrt{y} = \frac{x^{2}}{5} + \frac{C}{\sqrt{x}}$

注：y=0也是方程的解。

六、课堂练习（5 min）

请同学们独立完成以下练习：

1. 求方程 $y^{′} {+3y=e}^{2x}$ 的通解。

2. 求方程 ${xy}^{′} {+y=x}^{3}$ 满足 $y(1)=2$ 的特解。

3. 求方程 $y^{′} - \frac{2y}{x} {=x}^{2} y^{2}$ 的通解。（伯努利方程，n=2）

练习参考答案：

1. $y= \frac{1}{5} e^{2x} {+Ce}^{-3x}$

2. $y= \frac{x^{3}}{4} + \frac{7}{4x}$

3. 令z=1/y，得 $z^{′} + \frac{2}{x} {z=-x}^{2}$ ，解得 $\frac{1}{y} =- \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$

伯努利方程作为拓展，体现化归思想

详细推导变换过程，帮助学生掌握代换技巧

例题由浅入深

课堂练习即时反馈

课堂测验

（10 min）

课堂测验

判断下列方程的类型，并求解：

1. $y^{′} {+2xy=2xe}^{{-x}^{2}}$

2. $y^{′} cos x+y sin x=1$

参考答案：

1. P(x)=2x，Q(x)= ${2xe}^{{-x}^{2}}$ 。

$\int_{}^{} 2x dx {=x}^{2}$ 。通解：

${y=e}^{{-x}^{2}} (\int_{}^{} {2xe}^{{-x}^{2}} ⋅ e^{x^{2}} dx+C) {=e}^{{-x}^{2}} (\int_{}^{} 2x dx+C) {=e}^{{-x}^{2}} {(x}^{2} +C)$

2. 化为标准形式： $y^{′} +y ⋅ tan x= \frac{1}{cos x} = sec x$

P(x)=tan x， $\int_{}^{} tan x dx =- ln | cos x|$

$e^{-\int_{}^{} P dx} = cos x$ 。通解：

$y= cos x(\int_{}^{} sec x ⋅ sec x dx+C) = cos x(tan x+C)= sin x+C cos x$

课堂测验检验学习效果

涵盖标准形式和需化简的方程

课堂小结

（5 min）

课堂小结

一、一阶线性方程的基本概念

标准形式： $y^{′} +P(x)y=Q(x)$

Q(x)=0为齐次，Q(x)不恒等于0为非齐次。

二、求解方法

1. 齐次通解： ${y=Ce}^{-\int_{}^{} P(x)dx}$

2. 非齐次通解（常数变易法）： ${y=e}^{-\int_{}^{} P(x)dx} (\int_{}^{} {Q(x)e}^{\int_{}^{} P(x)dx} dx+C)$

3. 通解结构：非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解

三、伯努利方程

形式： $y^{′} {+P(x)y=Q(x)y}^{n}$ ，令 ${z=y}^{1-n}$ 化为线性方程。

四、解题要点

1. 先化为标准形式，正确识别P(x)和Q(x)；

2. 计算积分时不加任意常数；

3. 初值问题先求通解再代入初始条件。

下节课预告：二阶常系数线性微分方程——特征方程法与待定系数法。

系统总结本课核心内容

强调关键步骤和易错点

预告下节课内容

教学反思

本节课围绕一阶线性微分方程展开教学，重点讲解了常数变易法的推导过程和通解公式的应用。

教学效果分析：

1. 常数变易法的推导过程较为抽象，部分学生在理解“将常数C变易为函数C(x)”这一思想时存在困难。建议下次教学时增加更多的几何直观说明，帮助学生理解变易的动机。

2. 通解公式的运用方面，大多数学生能够套用公式进行计算，但在遇到需要先化为标准形式的方程时，约30%的学生会忘记这一步骤。下次应在例题中多强调这一点。

3. 伯努利方程的变换虽然步骤较多，但通过分步讲解和板书推导，学生基本能够跟上。建议将伯努利方程的更多练习布置为课后作业。

4. 初值问题的求解学生掌握较好，因为这与之前学习的可分离变量方程的初值问题类似。

改进方向：

1. 增加更多实际应用背景的例题，如电路问题、混合问题等；

2. 可以利用GeoGebra或Python动态展示不同C值下的积分曲线族；

3. 适当增加一些判断题，训练学生识别方程类型的能力。