不定积分基本公式与直接积分法

教学项目	不定积分基本公式与直接积分法
授课地点	多媒体教室		授课形式		线下教学
学情分析	在上一次课中，学生已经系统学习了原函数的概念、不定积分的定义及其几何意义（积分曲线族），掌握了不定积分的四条基本性质：先积后导还原、先导后积还原、常数因子可提出、和差的积分可拆分。学生已经能够通过求导来验证一个函数是否为另一个函数的原函数，并能利用线性性质进行简单的积分计算。然而，上节课的计算主要依靠“反过来看求导公式”来猜测原函数，缺乏系统性。本节课需要将常用的求导公式系统地“反过来写”，形成15个基本积分公式，为学生提供一张完整的“积分公式表”。同时，需要讲授直接积分法——通过化简被积函数、拆分、逐项查公式的方式求解不定积分。从学生的学习状态来看：（1）对原函数和不定积分概念的理解已经比较扎实；（2）求导运算熟练，有能力进行"求导验证"；（3）需要大量的练习来熟记公式和培养灵活应用的能力。根据教学计划，本课时为第3-4学时（累计4学时），下一课将学习第一类换元积分法（凑微分法）。
教学目标	知识目标：（1）掌握由求导公式推导出的15个基本积分公式，理解每个积分公式与对应求导公式之间的逆运算关系；（2）理解基本积分公式的推导逻辑—— ${(F(x))}^{′} =f(x)$ 则 $\int_{}^{} f(x)dx =F(x)+C$ ，即“把求导公式反过来写”；（3）掌握直接积分法的基本步骤：化简被积函数、拆分为基本积分的组合、逐项查公式积分、合并结果并加上积分常数C；（4）能够计算多项式、有理幂函数、三角函数、指数函数等基本类型的不定积分。能力目标：（1）培养“逆向查找”求导公式的能力——看到被积函数能快速联想到对应的原函数；（2）培养“先化简再积分”的良好习惯——通过展开、通分、有理化等代数手段简化被积函数；（3）提高基本积分运算的速度和准确性，为后续学习换元积分法和分部积分法奠定坚实基础。素质目标：（1）通过导数公式与积分公式的一一对应关系，体会数学体系的完备性和对称美；（2）通过系统的公式练习和计算训练，培养计算信心和严谨的运算习惯。
教学重点	1. 15个基本积分公式这是不定积分计算的基石。每个公式都直接来源于对应的求导公式，掌握这15个公式是学习一切积分方法的前提。学生必须熟练记忆并能灵活应用。 2. 直接积分法直接积分法是最基本的积分方法，其核心步骤是：化简被积函数→拆分为基本积分的线性组合→逐项查公式积分→合并结果并加+C→求导验证。这是后续所有高级积分方法的基础。 3. 被积函数的化简技巧在直接积分法中，化简被积函数是关键的第一步。常用的化简手段包括：多项式展开、分式拆分（通分或拆项）、三角恒等变形、根式化为分数幂次等。化简的目标是使被积函数变为若干基本积分公式中被积函数的线性组合。
教学难点及应对	难点： 1. 公式的记忆与灵活应用——15个公式数量较多，且部分公式形式相近容易混淆（如幂函数积分公式在α=-1时需要特殊处理，三角函数相关公式的符号容易记错）。学生需要建立公式与求导公式之间的对应关系，而非单纯死记硬背。 2. 被积函数化简的策略选择——面对一个复杂的被积函数，学生可能不知道应该如何化简。例如，何时应该展开括号？何时应该拆分分式？何时应该利用三角恒等式？这种策略性思维需要通过大量的练习逐步培养。应对策略： 1. 将每个积分公式与对应的求导公式并列展示，帮助学生建立“正-逆”对照记忆；按函数类型分组（幂函数、指数函数、三角函数、反三角函数相关），降低记忆负担； 2. 将“先化简再积分”作为标准工作流程反复强调，并通过典型例题演示常见的化简策略；通过错误示范（不化简直接硬算）和正确示范的对比，让学生体会化简的重要性。
教学资源	多媒体课件（PPT）、板书教学图片：基本积分公式表（第一组、第二组）、导数-积分对照表、直接积分法步骤图、常见被积函数图像、知识总结图课堂练习题（配套习题）
教学方法	讲授法：系统讲解15个基本积分公式及直接积分法的步骤对比法：将每个积分公式与对应的求导公式并列展示，帮助学生建立对应关系分类法：按函数类型（幂函数、指数、三角、反三角）对公式进行分组讲解和记忆练习法：讲练结合，通过大量不同类型的积分计算巩固公式和方法
教学反思	本节课系统讲授了15个基本积分公式和直接积分法。通过将积分公式与求导公式并列对照的方式，学生较好地理解了公式的来源和逻辑。分组讲解（幂函数组、三角函数组、反三角函数相关组）有效降低了记忆负担。直接积分法的步骤演示清晰，学生基本掌握了化简→拆分→查公式→验证的标准流程。课堂练习反馈表明，多项式和简单三角函数的积分学生完成度较高，但涉及化简的综合题还需要更多练习。下节课将学习第一类换元积分法（凑微分法），请学生复习基本公式表。
授课教师（签字）		教研室主任（签字）		教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、复习与导入（5分钟）

【教师】同学们，上节课我们学习了原函数、不定积分的概念和基本性质。先来简单回顾一下核心内容：

回顾要点：

（1）若 $F^{′} (x)=f(x)$ ，则 F(x) 是 f(x) 的一个原函数；

（2） $\int_{}^{} f(x)dx =F(x)+C$ ，其中 C 为任意常数；

（3）不定积分具有线性性质：常数因子可提出，和差的积分等于积分的和差。

【教师】上节课我们计算积分时，主要靠“反过来猜”——看看什么函数的导数等于被积函数。但这种方法缺乏系统性，效率不高。

引出问题：求导有一张完整的公式表（幂函数、三角函数、指数函数等），那么积分是否也有一张对应的公式表呢？

【教师】答案是肯定的！既然积分是求导的逆运算，我们只需要把求导公式“反过来写”，就能得到一张基本积分公式表。这就是本节课的核心内容。

二、基本积分公式——第一组（10分钟）

核心思想：每个积分公式都是把对应的求导公式“反过来写”。若 (F(x))'=f(x)，则 ∫f(x)dx=F(x)+C。

公式1（幂函数积分公式）

$\int_{}^{} x^{α} dx = \frac{x^{α+1}}{α+1} +C$ （α≠-1）

来源：因为 $(\frac{x^{α+1}}{α+1})^{′} {=x}^{α}$ 。这是最常用的积分公式，适用于所有实数 α（α≠-1 时）。

公式2

$\int_{}^{} \frac{1}{x} dx = ln |x|+C$

来源：因为 $(ln {|x|)}^{′} = \frac{1}{x}$ 。注意绝对值符号不能省略！这正是公式1中 α=-1 的特殊情形。

公式3

$\int_{}^{} e^{x} dx {=e}^{x} +C$

来源：因为 ${(e}^{x})^{′} {=e}^{x}$ 。指数函数积分后不变，最简洁的积分公式。

公式4

$\int_{}^{} a^{x} dx = \frac{a^{x}}{ln a} +C$ （a>0, a≠1）

来源：因为 ${(a}^{x})^{′} {=a}^{x} ln a$ ，所以积分后多除一个 ln a。

公式5

$\int_{}^{} cos xdx = sin x+C$

来源：因为 $(sin {x)}^{′} = cos x$ 。

公式6

$\int_{}^{} sin xdx =− cos x+C$

来源：因为 $(− cos {x)}^{′} = sin x$ 。注意前面有负号！

公式7

$\int_{}^{} {sec}^{2} xdx = tan x+C$

来源：因为 $(tan {x)}^{′} = {sec}^{2} x$ 。也可写成 $\int_{}^{} \frac{1}{{cos}^{2} x} dx = tan x+C$ 。

公式8

$\int_{}^{} {csc}^{2} xdx =− cot x+C$

来源：因为 $(− cot {x)}^{′} = {csc}^{2} x$ 。注意前面有负号！也可写成 $\int_{}^{} \frac{1}{{sin}^{2} x} dx =− cot x+C$ 。

记忆提示：公式5-8涉及三角函数，需要特别注意符号：sin x 的积分带负号（-cos x），csc²x 的积分也带负号（-cot x）。口诀：奇变偶不变，符号看象限——但最可靠的方法是求导验证。

三、基本积分公式——第二组（10分钟）

公式9

$\int_{}^{} sec x tan xdx = sec x+C$

来源：因为 $(sec {x)}^{′} = sec x tan x$ 。

公式10

$\int_{}^{} csc x cot xdx =− csc x+C$

来源：因为 $(− csc {x)}^{′} = csc x cot x$ 。注意负号。

公式11

$\int_{}^{} \frac{1}{{1+x}^{2}} dx = arctan x+C$

来源：因为 $(arctan {x)}^{′} = \frac{1}{{1+x}^{2}}$ 。分母是 1+x² 对应 arctan。

公式12

$\int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{{1−x}^{2}}} dx = arcsin x+C$

来源：因为 $(arcsin {x)}^{′} = \frac{1}{\sqrt{{1−x}^{2}}}$ 。分母有根号且是 1-x² 对应 arcsin。

公式13

$\int_{}^{} tan xdx =− ln | cos x|+C$

来源：因为 $(− ln | cos {x|)}^{′} = \frac{sin x}{cos x} = tan x$ 。

公式14

$\int_{}^{} cot xdx = ln | sin x|+C$

来源：因为 $(ln | sin {x|)}^{′} = \frac{cos x}{sin x} = cot x$ 。

公式15

$\int_{}^{} sec xdx = ln | sec x+ tan x|+C$

来源：因为 $(ln | sec x+ tan {x|)}^{′} = sec x$ 。这个公式形式较复杂，可在后续学习中逐步掌握。

公式对照总结：以上15个公式按函数类型可分为四组——幂函数（公式1-2）、指数函数（公式3-4）、三角函数（公式5-10, 13-15）、反三角函数相关（公式11-12）。建议对照求导公式表逐条记忆，而非孤立背诵。

四、直接积分法（10分钟）

方法定义：利用不定积分的线性性质和基本积分公式，直接求出不定积分的方法，称为直接积分法。

标准步骤：

第一步：化简——对被积函数进行代数化简（展开、通分、拆项、有理化等），使其变为若干基本函数的线性组合；

第二步：拆分——利用线性性质，将积分拆分为若干基本积分的和或差；

第三步：查公式——对每一项分别套用基本积分公式；

第四步：合并——合并结果，加上积分常数+C；

第五步：验证——对结果求导，检验是否等于被积函数。

例1 求 $\int_{}^{} {(3x}^{2} −2x+5)dx$ 。

解被积函数已是多项式，无需化简，直接拆分逐项积分：

$\int_{}^{} {(3x}^{2} −2x+5)dx =3 \int_{}^{} x^{2} dx−2 \int_{}^{} xdx+5 \int_{}^{} 1dx$

$=3⋅ \frac{x^{3}}{3} −2⋅ \frac{x^{2}}{2} {+5x+C=x}^{3} {−x}^{2} +5x+C$

验证： ${(x}^{3} {−x}^{2} {+5x+C)}^{′} {=3x}^{2} −2x+5$ ✓

例2 求 $\int_{}^{} (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})dx$ 。

解先将根式化为分数幂：

$\int_{}^{} (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})dx = \int_{}^{} {(x}^{\frac{1}{2}} {+x}^{−\frac{1}{2}})dx$

$= \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} +C= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} {+2x}^{\frac{1}{2}} +C$

$= \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} +2 \sqrt{x} +C$

验证： $(\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} {+2x}^{\frac{1}{2}} {+C)}^{′} {=x}^{\frac{1}{2}} {+x}^{−\frac{1}{2}} = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ ✓

例3 求 $\int_{}^{} {(2e}^{x} −3 sin x)dx$ 。

解利用线性性质拆分：

$\int_{}^{} {(2e}^{x} −3 sin x)dx =2 \int_{}^{} e^{x} dx−3 \int_{}^{} sin xdx$

${=2e}^{x} −3(− cos {x)+C=2e}^{x} +3 cos x+C$

验证： ${(2e}^{x} +3 cos {x+C)}^{′} {=2e}^{x} −3 sin x$ ✓

例4 求 $\int_{}^{} \frac{{(x}^{2} {+1)}^{2}}{x^{2}} dx$ 。

解先展开分子再化简：

$\frac{{(x}^{2} {+1)}^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{4} {+2x}^{2} +1}{x^{2}} {=x}^{2} {+2+x}^{−2}$

因此

$\int_{}^{} \frac{{(x}^{2} {+1)}^{2}}{x^{2}} dx = \int_{}^{} {(x}^{2} {+2+x}^{−2})dx$

$= \frac{x^{3}}{3} +2x+ \frac{x^{−1}}{−1} +C= \frac{x^{3}}{3} +2x− \frac{1}{x} +C$

验证： $(\frac{x^{3}}{3} +2x− \frac{1}{x} {+C)}^{′} {=x}^{2} +2+ \frac{1}{x^{2}} = \frac{{(x}^{2} {+1)}^{2}}{x^{2}}$ ✓

关键技巧：例4展示了直接积分法中最重要的一步——化简。原式分子是完全平方式，展开后除以分母即可化为多项式，从而直接逐项套用幂函数积分公式。

复习导入环节快速回顾上节课核心内容，帮助学生衔接新知识。通过“求导有公式表，积分也应有公式表”的类比，自然引出本节课的学习内容。

公式1-8是最常用的基本积分公式，按幂函数→指数函数→三角函数的顺序讲解，逻辑清晰。每个公式都给出对应的求导公式作为来源，帮助学生理解而非死记。

公式9-15包含三角函数的进一步公式和两个与反三角函数相关的公式。公式11和公式12是后续学习换元积分法时经常用到的基本公式，需要重点强调。

直接积分法的五步标准流程（化简→拆分→查公式→合并+C→验证）为学生提供了清晰的操作规范。四个例题由简到繁：例1是纯多项式、例2涉及分数幂、例3涉及指数和三角、例4需要先化简再积分。

每道例题都配有求导验证步骤，持续强化"求导验证"的好习惯。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做几道练习题，检验对基本积分公式和直接积分法的掌握情况。

练习1：求 $\int_{}^{} {(x}^{3} −4x+ \frac{1}{x})dx$ 。

解逐项积分：

$\int_{}^{} {(x}^{3} −4x+ \frac{1}{x})dx = \frac{x^{4}}{4} −4⋅ \frac{x^{2}}{2} + ln |x|+C= \frac{x^{4}}{4} {−2x}^{2} + ln |x|+C$

验证： $(\frac{x^{4}}{4} {−2x}^{2} + ln {|x|+C)}^{′} {=x}^{3} −4x+ \frac{1}{x}$ ✓

练习2：求 $\int_{}^{} (3 cos x+2 {sec}^{2} x)dx$ 。

解利用公式5和公式7：

$\int_{}^{} (3 cos x+2 {sec}^{2} x)dx =3 sin x+2 tan x+C$

验证： $(3 sin x+2 tan {x+C)}^{′} =3 cos x+2 {sec}^{2} x$ ✓

练习3：求 $\int_{}^{} {(e}^{x} + \frac{1}{{1+x}^{2}})dx$ 。

解利用公式3和公式11：

$\int_{}^{} {(e}^{x} + \frac{1}{{1+x}^{2}})dx {=e}^{x} + arctan x+C$

验证： ${(e}^{x} + arctan {x+C)}^{′} {=e}^{x} + \frac{1}{{1+x}^{2}}$ ✓

练习4：求 $\int_{}^{} \frac{{(x+1)}^{2}}{\sqrt{x}} dx$ 。

解先展开分子再化简：

$\frac{{(x+1)}^{2}}{\sqrt{x}} = \frac{x^{2} +2x+1}{x^{\frac{1}{2}}} {=x}^{\frac{3}{2}} {+2x}^{\frac{1}{2}} {+x}^{−\frac{1}{2}}$

因此

$\int_{}^{} \frac{{(x+1)}^{2}}{\sqrt{x}} dx = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} +2⋅ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} +C$

$= \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} {+2x}^{\frac{1}{2}} +C$

$= \frac{2}{5} \sqrt{x^{5}} + \frac{4}{3} \sqrt{x^{3}} +2 \sqrt{x} +C$

【教师】讲评要点：练习1涉及幂函数和对数函数公式的综合应用，注意 ∫(1/x)dx=ln|x|+C 中的绝对值；练习2和练习3涉及三角函数和反三角函数相关公式；练习4是本组中最难的题目，关键在于展开分子并化为分数幂的和，然后逐项套用幂函数积分公式。

四道练习题分别覆盖不同的公式类型：练习1涉及幂函数和ln|x|，练习2涉及三角函数，练习3涉及指数函数和反三角函数，练习4需要化简后再用幂函数公式。

练习4的设计意图是强化“先化简再积分”的意识——不化简就无法直接套用基本公式。

每道题都配有验证步骤，持续培养学生求导检验的习惯。

第二节课

知识讲解

（30 min）

五、直接积分法进阶——复杂被积函数的化简（15分钟）

【教师】前面我们处理的被积函数比较简单，现在来看一些需要更深入化简技巧的例题。

例5 求 $\int_{}^{} {tan}^{2} xdx$ 。

分析：tan²x 不直接出现在15个基本积分公式中。但我们有三角恒等式 ${tan}^{2} x= {sec}^{2} x−1$ ，化简后即可套用公式。

解利用三角恒等式化简：

$\int_{}^{} {tan}^{2} xdx = \int_{}^{} ({sec}^{2} x−1)dx = \int_{}^{} {sec}^{2} xdx− \int_{}^{} 1dx$

$= tan x−x+C$

验证： $(tan {x−x+C)}^{′} = {sec}^{2} x−1= {tan}^{2} x$ ✓

要点：当被积函数不在公式表中时，优先考虑利用恒等式进行变形，将其化为公式表中被积函数的线性组合。三角恒等式是最常用的化简工具之一。

例6 求 $\int_{}^{} \frac{{(1−x)}^{2}}{\sqrt{x}} dx$ 。

解先展开分子，再除以分母，化为分数幂：

$\frac{{(1−x)}^{2}}{\sqrt{x}} = \frac{{1−2x+x}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} {=x}^{−\frac{1}{2}} {−2x}^{\frac{1}{2}} {+x}^{\frac{3}{2}}$

因此

$\int_{}^{} \frac{{(1−x)}^{2}}{\sqrt{x}} dx = \int_{}^{} {(x}^{−\frac{1}{2}} {−2x}^{\frac{1}{2}} {+x}^{\frac{3}{2}})dx$

$= \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} −2⋅ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} +C$

$=2 \sqrt{x} − \frac{4}{3} \sqrt{x^{3}} + \frac{2}{5} \sqrt{x^{5}} +C$

验证： ${(2x}^{\frac{1}{2}} − \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} {+C)}^{′} {=x}^{−\frac{1}{2}} {−2x}^{\frac{1}{2}} {+x}^{\frac{3}{2}} = \frac{{(1−x)}^{2}}{\sqrt{x}}$ ✓

例7 求 $\int_{}^{} \frac{1}{{sin}^{2} x {cos}^{2} x} dx$ 。

分析：被积函数不在公式表中。关键技巧：利用 $1= {sin}^{2} x+ {cos}^{2} x$ 将分子拆开！

解

$\int_{}^{} \frac{1}{{sin}^{2} x {cos}^{2} x} dx = \int_{}^{} \frac{{sin}^{2} x+ {cos}^{2} x}{{sin}^{2} x {cos}^{2} x} dx$

$= \int_{}^{} (\frac{1}{{cos}^{2} x} + \frac{1}{{sin}^{2} x})dx = \int_{}^{} {sec}^{2} xdx+ \int_{}^{} {csc}^{2} xdx$

$= tan x− cot x+C$

验证： $(tan x− cot {x+C)}^{′} = {sec}^{2} x+ {csc}^{2} x= \frac{1}{{cos}^{2} x} + \frac{1}{{sin}^{2} x} = \frac{{sin}^{2} x+ {cos}^{2} x}{{sin}^{2} x {cos}^{2} x} = \frac{1}{{sin}^{2} x {cos}^{2} x}$ ✓

化简技巧总结：（1）多项式括号展开后逐项积分；（2）分式拆分为若干简单分式之和；（3）利用三角恒等式变形（如 tan²x=sec²x-1，sin²x+cos²x=1）；（4）根式化为分数幂次。

六、公式记忆方法（5分钟）

【教师】15个公式数量不少，如何高效记忆？下面介绍几种方法。

方法一：对照求导公式记忆

将每个积分公式与对应的求导公式并列写出，形成“正-逆”配对。例如：(sin x)'=cos x 对应 ∫cos x dx=sin x+C；(tan x)'=sec²x 对应 ∫sec²x dx=tan x+C。

方法二：按函数类型分组

幂函数组：公式1-2（含 ln|x| 的特殊情形）；

指数函数组：公式3-4；

三角函数组：公式5-10, 13-15；

反三角函数相关组：公式11-12。

方法三：注意特殊符号

容易出错的符号：∫sin x dx = -cos x+C（负号！），∫csc²x dx = -cot x+C（负号！），∫csc x cot x dx = -csc x+C（负号！）。规律：凡是余（co-）函数的积分，往往带负号。

最可靠的方法：不确定时，对结果求导验证！这永远是最终的检验标准。

七、常见错误分析（10分钟）

【教师】下面列出初学者在使用基本积分公式和直接积分法时最常犯的错误。

错误1：忘记加积分常数+C

错误写法： $\int_{}^{} 2xdx {=x}^{2}$ ✗

正确写法： $\int_{}^{} 2xdx {=x}^{2} +C$ ✓

不定积分的结果是一个函数族，而非一个确定的函数。+C不能省略！

错误2：三角函数积分的符号错误

错误写法： $\int_{}^{} sin xdx = cos x+C$ ✗

正确写法： $\int_{}^{} sin xdx =− cos x+C$ ✓

检验方法：若写成 cos x+C，求导得 -sin x ≠ sin x，说明结果有误。通过求导验证可以立即发现符号错误。

错误3：混淆两个反三角函数相关公式

公式11： $\int_{}^{} \frac{1}{{1+x}^{2}} dx = arctan x+C$ （分母是 ${1+x}^{2}$ ，无根号）

公式12： $\int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{{1−x}^{2}}} dx = arcsin x+C$ （分母有根号，是 $\sqrt{{1−x}^{2}}$ ）

区分要点：1+x²（加号、无根号）→ arctan；√(1-x²)（减号、有根号）→ arcsin。口诀：“加号无根反正切，减号有根反正弦”。

错误4：未化简就直接积分

错误做法：直接对 $\int_{}^{} \frac{{(x+1)}^{2}}{x} dx$ 硬套公式——没有任何基本公式能直接处理这种形式。

正确做法：先展开 $\frac{{(x+1)}^{2}}{x} = \frac{x^{2} +2x+1}{x} =x+2+ \frac{1}{x}$ ，化为多项式后逐项积分。

总结：防止错误的最佳方法就是：（1）每次做完积分都求导验证；（2）养成“先化简再积分”的标准工作流程。

例5通过三角恒等式变形将 tan²x 化为 sec²x-1，展示了当被积函数不直接在公式表中时，如何利用恒等式化归到基本公式。这是直接积分法中最重要的化简技巧之一。

例6是典型的“展开分子+化为分数幂”类型，综合考查学生的代数化简能力和幂函数积分公式的应用。

例7展示了一种巧妙的化简思路——利用 sin²x+cos²x=1 将看似不可拆分的分式拆分为两个基本积分之和。这种“凑1拆分”的技巧在积分计算中非常实用。

公式记忆方法部分帮助学生建立系统的记忆策略，避免死记硬背。分组记忆和对照求导公式是最有效的两种方法。

常见错误分析部分通过正反对比，帮助学生提前规避典型错误。特别是“忘记+C”和“符号错误”这两个最高频的错误，需要反复强调。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做综合练习，巩固本节课所学的全部内容。

练习5：求 $\int_{}^{} {(x}^{\frac{3}{2}} − \frac{2}{x} {+3e}^{x})dx$ 。

解逐项积分，分别套用公式1、公式2、公式3：

$\int_{}^{} {(x}^{\frac{3}{2}} − \frac{2}{x} {+3e}^{x})dx = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} −2 ln {|x|+3e}^{x} +C$

$= \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} −2 ln {|x|+3e}^{x} +C$

验证： $(\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} −2 ln {|x|+3e}^{x} {+C)}^{′} {=x}^{\frac{3}{2}} − \frac{2}{x} {+3e}^{x}$ ✓

练习6：求 $\int_{}^{} (\frac{1}{{1+x}^{2}} + \frac{1}{\sqrt{{1−x}^{2}}})dx$ 。

解利用公式11和公式12：

$\int_{}^{} (\frac{1}{{1+x}^{2}} + \frac{1}{\sqrt{{1−x}^{2}}})dx = arctan x+ arcsin x+C$

验证： $(arctan x+ arcsin {x+C)}^{′} = \frac{1}{{1+x}^{2}} + \frac{1}{\sqrt{{1−x}^{2}}}$ ✓

练习7：求 $\int_{}^{} \frac{1+ {cos}^{2} x}{{cos}^{2} x} dx$ 。

解先化简被积函数：

$\frac{1+ {cos}^{2} x}{{cos}^{2} x} = \frac{1}{{cos}^{2} x} +1= {sec}^{2} x+1$

因此

$\int_{}^{} \frac{1+ {cos}^{2} x}{{cos}^{2} x} dx = \int_{}^{} ({sec}^{2} x+1)dx = tan x+x+C$

验证： $(tan {x+x+C)}^{′} = {sec}^{2} x+1= \frac{1+ {cos}^{2} x}{{cos}^{2} x}$ ✓

【教师】讲评要点：练习5综合了三种不同类型的基本公式（幂函数、对数、指数），考查学生对公式的熟练程度；练习6将两个容易混淆的反三角函数相关公式放在一起，帮助学生区分和巩固；练习7需要先进行分式拆分化简，再套用公式，体现了“先化简再积分”的核心思想。

三道综合练习分别覆盖：幂函数+对数+指数的综合（练习5）、反三角函数公式的辨析（练习6）、需要化简的三角函数积分（练习7）。

练习6将公式11和公式12放在同一题中，帮助学生通过直接对比加深对这两个易混淆公式的区分。

练习7再次强化“先化简再积分”的意识，让学生体会到化简的关键性。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心内容：

一、15个基本积分公式：

按类型分为四组：

幂函数组： $\int_{}^{} x^{α} dx = \frac{x^{α+1}}{α+1} +C$ （α≠-1）； $\int_{}^{} \frac{1}{x} dx = ln |x|+C$

指数函数组： $\int_{}^{} e^{x} dx {=e}^{x} +C$ ； $\int_{}^{} a^{x} dx = \frac{a^{x}}{ln a} +C$

反三角函数相关组： $\int_{}^{} \frac{1}{{1+x}^{2}} dx = arctan x+C$ ； $\int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{{1−x}^{2}}} dx = arcsin x+C$

二、直接积分法——标准步骤：

化简被积函数 → 拆分为基本积分的线性组合 → 逐项查公式积分 → 合并结果+C → 求导验证

三、化简技巧：

（1）多项式括号展开；（2）分式拆分（通分或拆项）；（3）三角恒等式变形（如 tan²x=sec²x-1, 1=sin²x+cos²x）；（4）根式化为分数幂。

四、核心素养：

（1）“先化简再积分”是直接积分法的灵魂；（2）求导验证是检验积分结果的最可靠方法；（3）+C永远不能忘！

作业布置：

（1）默写15个基本积分公式（不参考任何资料），然后逐个求导验证；

（2）计算以下不定积分（要求写出化简过程和验证步骤）：

① $\int_{}^{} {(x}^{4} {−3x}^{2} +2)dx$ ② $\int_{}^{} (sqrt[3]x+ \frac{1}{sqrt[3]x})dx$ ③ $\int_{}^{} \frac{x^{2} −1}{x^{2} +1} dx$

预习提示：

下节课将学习第一类换元积分法（凑微分法）。这种方法用于处理不能直接套用基本公式的积分。核心思想是：通过适当的变量替换，将复杂积分化为基本积分。请思考：如果被积函数中含有复合函数（如 sin(2x)、e^(3x)），应该如何积分？

通过知识总结图系统梳理本节课的核心内容：15个基本积分公式（按四组分类）、直接积分法的步骤、化简技巧。帮助学生形成完整的知识框架。

公式按函数类型分组呈现，帮助学生建立结构化的记忆，避免杂乱无章的背诵。

作业设计包含三个层次：默写公式（强化记忆）、基本计算（巩固方法）、综合化简（提升能力）。其中作业③需要将分子拆分为 (x²+1)-2，体现化简技巧的灵活应用。

预习任务指向下节课内容——第一类换元积分法，并通过具体问题（含复合函数的积分）激发学生思考，帮助学生带着问题进入新课的学习。

教学反思

本节课系统讲授了15个基本积分公式和直接积分法，教学效果总体达到预期。以下是具体分析：

（1）公式讲解：采用“将积分公式与对应的求导公式并列展示”的方式，学生理解公式的来源很快——这不是凭空记忆的公式，而是求导公式的自然逆运算。按函数类型（幂、指数、三角、反三角）分组讲解，学生反馈思路清晰、便于记忆。约90%的学生课堂上能准确说出常用公式。

（2）直接积分法：五步标准流程（化简→拆分→查公式→合并+C→验证）的讲解清晰有效。特别是例1-例4由简到繁的递进设计，学生跟得上节奏。其中例4（需要先展开再化简的类型）是学生出错率最高的题目——约40%的学生在化简环节出错或遗漏，说明代数化简能力仍需加强。

（3）进阶例题：例5（利用三角恒等式）和例7（利用sin²x+cos²x=1拆分分式）展示了“先化简再积分”的核心思想。学生对这类技巧表现出较高的兴趣，但独立完成率约为55%。这说明化简策略的灵活运用需要更多练习来培养。

（4）常见错误分析：通过正误对比的方式展示了四类典型错误，学生反应积极。特别是“忘记+C”的问题——虽然反复强调，课堂练习中仍有约20%的学生遗忘。这需要在后续每节课中持续提醒，直至形成自然习惯。

（5）改进方向：①可以设计一张“公式速查表”让学生随身携带，通过反复使用加深记忆；②在化简技巧部分可以增加更多的“反面教材”——让学生先尝试不化简直接积分（会卡住），再引导化简后顺利完成，对比体验化简的重要性；③下次课可以在课前安排5分钟的“公式速答”环节，检验学生的记忆情况。