二阶常系数线性微分方程

教学项目

二阶常系数线性微分方程

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过前三个课时（第15-17课）的学习，学生已系统掌握了微分方程的基本概念，包括微分方程的阶、解、通解、特解和初始条件等，并学会了四类一阶微分方程的求解方法：可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程和伯努利方程。

从上次课（第17课）的课堂测验和课后作业反馈来看：（1）一阶线性方程的通解公式，约75%的学生能够熟练运用，主要困难在于将方程化为标准形式和正确识别P(x)与Q(x)；（2）常数变易法的核心思想学生已基本理解，对「常数变函数」的动机不再感到困惑；（3）伯努利方程约60%的学生能完成基本操作，代换过程仍需加强。

本节课将从一阶方程过渡到二阶方程，重点学习二阶常系数线性微分方程。这是微分方程中最重要的类型之一，其核心方法是特征方程法——将微分方程的求解转化为代数方程的求解。此外，还将介绍非齐次方程的待定系数法求特解。学生在高中阶段已学习过一元二次方程的求根公式和判别式，这将是理解特征方程法的重要知识基础。

根据教学计划，本课时为第35-36学时。

教学目标

知识目标：

（1）掌握二阶常系数齐次线性方程的标准形式 $y^{′′} {+py}^{′} +qy=0$ ，区分齐次与非齐次方程 $y^{′′} {+py}^{′} +qy=f(x)$ ；

（2）理解特征方程 $r^{2} +pr+q=0$ 的推导过程——假设 ${y=e}^{rx}$ 代入方程化简；

（3）掌握特征方程三种情况的通解公式：两不等实根、二重实根、共轭复根；

（4）掌握非齐次方程待定系数法求特解： ${f(x)=P}_{m} {(x)e}^{λx}$ 型和 $f(x)=a cos ω x+b sin ω x$ 型，正确确定 k 值（0、1或2）；

（5）理解通解结构定理 $y= \bar y {+y}^{*}$ （通解 = 齐次通解 + 非齐次特解）。

能力目标：

（1）培养将微分方程问题转化为代数方程求解的转化能力；

（2）培养根据判别式进行系统分类讨论的逻辑分析能力；

（3）提升在不同类型非齐次项下正确选择特解形式、确定待定系数的实际操作能力。

素质目标：

（1）通过特征方程法的推导，体会数学中「假设—验证」的科学思维方法；

（2）通过三种特征根情况的分类讨论，培养系统化、条理化的分析习惯；

（3）通过代数方法求解微分方程，感受不同数学分支之间的深刻联系。

教学重点

1. 特征方程法这是本节课的核心方法。通过假设 y = e^{rx} 代入方程，将二阶常系数齐次线性微分方程转化为一元二次代数方程 r^2 + pr + q = 0，实现了从微分方程到代数方程的本质转化。

2. 三种特征根情况下的通解根据判别式 Delta 的正、零、负三种情况，分别写出通解：两不等实根时为两个指数函数的线性组合；二重根时需乘以x补充第二个线性无关解；共轭复根时化为指数与三角函数的组合形式。这三种公式是本节课必须熟练记忆的核心结论。

3. 待定系数法求特解对非齐次方程的两种典型右端项——多项式指数型和三角函数型，确定特解的待定形式。关键在于正确判定 k 值：k = 0 表示 lambda（或 +/-omega i）不是特征根；k = 1 表示是单根；k = 2 表示是二重根。k 值决定了特解前需要乘以 x 的几次方。

4. 通解结构定理非齐次方程的通解 y = 齐次通解 + 非齐次特解，即 y = y-bar + y*。这一结构是理解非齐次方程求解的理论基础，也是组织完整解题过程的关键框架。

教学难点

及应对

难点：

1. 共轭复根情况的通解公式记忆——特征根为 $r= α ± β i$ 时，通解为 ${y=e}^{αx} {(C}_{1} cos β {x+C}_{2} sin β x)$ ，指数部分取实部，三角函数部分取虚部，学生容易记混。

2. 待定系数法中 k 值的正确判定——需要将非齐次项中的参数（lambda 或 omega i）与特征根进行比较，判断是否为根以及是否为重根，这一步是待定系数法中最容易出错的环节。

3. 系数方程组的建立与求解——将待定形式代入方程后，需要展开、合并同类项，然后比较系数建立方程组，运算过程较繁琐，容易在符号和系数上出错。

应对策略：

1. 对共轭复根公式，提供口诀辅助记忆：「实部进指数、虚部入三角」—— $α$ 放在 $e^{αx}$ 中， $β$ 放在 cos 和 sin 中；

2. k 值判定采用「三步法」教学：第一步写出特征根，第二步明确非齐次项对应的参数，第三步逐一比对确定 k；

3. 系数比较环节采用分步板书，先展开、再分组、最后列方程，降低出错率；同时通过多道例题反复训练，建立熟练的操作模式。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：知识回顾与衔接图、特征方程三种情况对比图、齐次方程求解流程图、待定系数法特解形式表、通解结构定理示意图、知识总结图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

讲授法：系统讲解特征方程法的推导、三种通解公式和待定系数法

启发法：引导学生从"假设 y = e^{rx}"出发探索特征方程的由来

对比法：将三种特征根情况并列对比，突出异同；将两种非齐次项类型对照教学

归纳法：通过多个例题归纳 k 值判定规则和特解形式的选取方法

练习法：讲练结合，每个核心知识点后安排针对性课堂练习

教学反思

本节课是二阶常系数线性微分方程的教学，内容涵盖特征方程法、三种通解公式和待定系数法两种类型，信息量大、公式多。从课堂表现来看，特征方程法的推导学生接受较好，三种通解公式中前两种掌握率较高，共轭复根情况仍需加强；待定系数法的 k 值判定是主要难点，约65%的学生能正确操作。下节课将进入微分方程的复习与总结。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、复习回顾（5分钟）

【教师】同学们，上节课我们学习了一阶线性微分方程。先来简要回顾关键内容：

回顾：一阶线性方程标准形式 $\frac{dy}{dx} +P(x)y=Q(x)$ ，通解公式：

${y=e}^{-\int_{}^{} P(x)dx} [\int_{}^{} {Q(x)e}^{\int_{}^{} P(x)dx} dx+C]$

核心方法：先识别P(x)和Q(x)，计算积分因子，套用通解公式。常数变易法是推导该公式的思想基础。

【教师】一阶线性方程的理论已经非常完整了。但实际问题中经常遇到二阶方程，例如弹簧振动、电路问题等。今天我们从一阶升到二阶——学习二阶常系数线性微分方程。好消息是：它的求解可以转化为解代数方程！

二、二阶常系数齐次线性方程（5分钟）

定义形如

$y^{′′} {+py}^{′} +qy=0$

的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中 p、q 为常数。

「常系数」：y''、y'、y 的系数 1、p、q 都是常数（不是 x 的函数）。

「线性」：y、y'、y'' 都是一次方的，没有乘积项、平方项等非线性项。

非齐次方程：当右端项 $f(x) ≠ 0$ 时：

$y^{′′} {+py}^{′} +qy=f(x)$

称为二阶常系数非齐次线性方程。本节课先讨论齐次方程，再讨论非齐次方程。

三、特征方程法的推导（10分钟）

核心思想：假设方程的解具有指数函数形式 ${y=e}^{rx}$ （其中 r 为待定常数），代入方程观察会发生什么。

推导过程：

设 ${y=e}^{rx}$ ，则 $y^{′} {=re}^{rx}$ ， $y^{′′} {=r}^{2} e^{rx}$ 。

代入方程 $y^{′′} {+py}^{′} +qy=0$ ：

$r^{2} e^{rx} {+pre}^{rx} {+qe}^{rx} =0$

提取公因子 $e^{rx}$ ：

${(r}^{2} {+pr+q)e}^{rx} =0$

关键观察：由于 $e^{rx} ≠ 0$ （指数函数恒正），因此必须有：

特征方程

$r^{2} +pr+q=0$

这是一个关于 r 的一元二次方程！问题从微分方程化为了代数方程。

判别式： $Δ {=p}^{2} -4q$

根据 Delta 的符号，特征方程有三种情况：

四、三种情况的通解（15分钟）

情况一： $Δ >0$ ——两不等实根 $r_{1} ≠ r_{2}$

通解公式：

${y=C}_{1} e^{r_{1}x} {+C}_{2} e^{r_{2}x}$

例1 求 $y^{′′} {-5y}^{′} +6y=0$ 的通解。

解写出特征方程：

$r^{2} -5r+6=0$

解方程： $(r-2)(r-3)=0$ ，得 $r_{1} =2$ ， $r_{2} =3$ 。

两不等实根（ $Δ >0$ ），由通解公式：

通解 ${y=C}_{1} e^{2x} {+C}_{2} e^{3x}$ （ $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 为任意常数）。

情况二： $Δ =0$ ——二重实根 $r_{1} {=r}_{2} =r$

通解公式：

${y=(C}_{1} {+C}_{2} {x)e}^{rx}$

注意：重根情况不能简单写成 $C_{1} e^{rx} {+C}_{2} e^{rx} {=(C}_{1} {+C}_{2} {)e}^{rx}$ ——那只有一个常数，不是通解。需要乘以 x 补充第二个线性无关解。

例2 求初值问题 $y^{′′} {-2y}^{′} +y=0$ ， $y(0)=0$ ， $y^{′} (0)=3$ 的特解。

解写出特征方程：

$r^{2} -2r+1=0$

解方程： ${(r-1)}^{2} =0$ ，得二重根 $r=1$ 。

通解：

${y=(C}_{1} {+C}_{2} {x)e}^{x}$

求导：

$y^{′} {=C}_{2} e^{x} {+(C}_{1} {+C}_{2} {x)e}^{x} {=(C}_{1} {+C}_{2} {+C}_{2} {x)e}^{x}$

代入初始条件 $y(0)=0$ ： $C_{1} e^{0} {=C}_{1} =0$ 。

代入初始条件 $y^{′} (0)=3$ ： ${(C}_{1} {+C}_{2} {)e}^{0} {=C}_{1} {+C}_{2} =3$ 。

解得 $C_{1} =0$ ， $C_{2} =3$ 。

特解 ${y=3xe}^{x}$ 。

情况三： $Δ <0$ ——共轭复根 $r= α ± β i$

通解公式：

${y=e}^{αx} {(C}_{1} cos β {x+C}_{2} sin β x)$

记忆口诀：「实部进指数、虚部入三角」—— $α$ 是 $e^{αx}$ 的指数， $β$ 是 cos 和 sin 的系数。

例3 求 $y^{′′} {-2y}^{′} +5y=0$ 的通解。

解写出特征方程：

$r^{2} -2r+5=0$

用求根公式：

$r= \frac{2 ± \sqrt{4-20}}{2} = \frac{2 ± \sqrt{-16}}{2} = \frac{2 ± 4i}{2} =1 ± 2i$

共轭复根： $α =1$ ， $β =2$ 。

通解 ${y=e}^{x} {(C}_{1} cos {2x+C}_{2} sin 2x)$ （ $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 为任意常数）。

通过回顾一阶线性方程的通解公式和核心方法，建立知识衔接，引出从一阶到二阶的过渡。

明确二阶常系数齐次线性方程的标准形式和关键术语，为特征方程法做概念准备。

特征方程法的推导是核心——让学生亲历「假设指数解→代入→化为代数方程」的过程。

三种情况的通解公式通过典型例题逐一展示，帮助学生建立直观认识。

例1演示最简单的两不等实根情况；例2结合初值问题展示重根情况的完整求解过程；例3展示共轭复根的处理方法，强调实部虚部的对应关系。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做三道练习题，分别对应三种特征根情况，巩固特征方程法。

练习1：求 $y^{′′} -9y=0$ 的通解。

解特征方程：

$r^{2} -9=0$

解方程： $(r-3)(r+3)=0$ ，得 $r_{1} =3$ ， $r_{2} =-3$ 。

两不等实根，通解：

${y=C}_{1} e^{3x} {+C}_{2} e^{-3x}$

练习2：求 $y^{′′} {+4y}^{′} +4y=0$ 的通解。

解特征方程：

$r^{2} +4r+4=0$

解方程： ${(r+2)}^{2} =0$ ，得二重根 $r=-2$ 。

二重实根，通解：

${y=(C}_{1} {+C}_{2} {x)e}^{-2x}$

练习3：求 $y^{′′} +4y=0$ 的通解。

解特征方程：

$r^{2} +4=0$

解方程： $r^{2} =-4$ ， $r= ± 2i$ 。

纯虚根（ $α =0$ ， $β =2$ ），通解：

${y=C}_{1} cos {2x+C}_{2} sin 2x$

（注意： $α =0$ 时 $e^{0⋅x} =1$ ，所以没有指数部分。）

【教师】讲评要点：（1）练习1注意 y'' - 9y = 0 没有一次项，相当于 p = 0；（2）练习2是完全平方，重根必须乘 x；（3）练习3出现纯虚根，是共轭复根的特殊情况。三道题分别代表三种典型情况，要对号入座。

三道练习分别对应三种特征根情况，帮助学生巩固分类讨论的方法。

练习1训练两不等实根的标准操作。

练习2强化重根情况的通解公式，强调不能遗漏 x 因子。

练习3展示纯虚根这一特殊情况，加深对共轭复根公式的理解。

讲评环节帮助学生理清三种情况的判别标准和公式选择。

第二节课

知识讲解

（30 min）

五、非齐次方程通解结构（5分钟）

定理二阶常系数非齐次线性方程 $y^{′′} {+py}^{′} +qy=f(x)$ 的通解为：

$y= \bar y {+y}^{*}$

其中 $\bar y$ 是对应齐次方程 $y^{′′} {+py}^{′} +qy=0$ 的通解（含两个任意常数），

$y^{*}$ 是非齐次方程的一个特解（不含任意常数）。

解题思路：先用特征方程法求齐次通解 $\bar y$ ，再用待定系数法求非齐次特解 $y^{*}$ ，两者相加即为非齐次方程的通解。

六、待定系数法——f(x) = Pm(x)e^(lambda x) 型（15分钟）

适用范围：当非齐次项为 ${f(x)=P}_{m} {(x)e}^{λx}$ 的形式时（ $P_{m} (x)$ 是 m 次多项式， $λ$ 为常数）。

特解形式：

$y^{*} {=x}^{k} Q_{m} {(x)e}^{λx}$

其中 $Q_{m} {(x)=b}_{0} x^{m} {+b}_{1} x^{m-1} + ⋯ {+b}_{m}$ 是与 $P_{m} (x)$ 同次的待定多项式。

k 值的确定：

k = 0： $λ$ 不是特征根；

k = 1： $λ$ 是特征方程的单根；

k = 2： $λ$ 是特征方程的二重根。

例4 求 $y^{′′} {-2y}^{′} -3y=3x+1$ 的通解。

解第一步：求齐次通解。

特征方程： $r^{2} -2r-3=0$ ，解得 $(r-3)(r+1)=0$ ， $r_{1} =-1$ ， $r_{2} =3$ 。

齐次通解： $\bar y {=C}_{1} e^{-x} {+C}_{2} e^{3x}$

第二步：确定特解形式。

分析 ${f(x)=3x+1=(3x+1)e}^{0⋅x}$ ，属于 $P_{m} {(x)e}^{λx}$ 型，其中 $P_{1} (x)=3x+1$ （一次多项式）， $λ =0$ 。

判定 k： $λ =0$ 不是特征根（特征根为 -1 和 3），故 k = 0。

设特解 $y^{*} {=b}_{0} {x+b}_{1}$ （一次多项式）。

第三步：代入求系数。

$y^{*} {=b}_{0} {x+b}_{1}$ ， ${(y}^{*})^{′} {=b}_{0}$ ， ${(y}^{*})^{′′} =0$ 。

代入方程 $y^{′′} {-2y}^{′} -3y=3x+1$ ：

${0-2b}_{0} {-3(b}_{0} {x+b}_{1})=3x+1$

${-3b}_{0} {x+(-2b}_{0} {-3b}_{1})=3x+1$

比较系数：

$x^{1}$ 项： ${-3b}_{0} =3$ ，解得 $b_{0} =-1$ ；

$x^{0}$ 项： ${-2b}_{0} {-3b}_{1} =1$ ，即 ${2-3b}_{1} =1$ ，解得 $b_{1} = \frac{1}{3}$ 。

特解 $y^{*} =-x+ \frac{1}{3}$ 。

通解 ${y=C}_{1} e^{-x} {+C}_{2} e^{3x} -x+ \frac{1}{3}$ 。

例5 求 $y^{′′} {-5y}^{′} {+6y=xe}^{2x}$ 的一个特解。

解特征方程： $r^{2} -5r+6=0$ ， $r_{1} =2$ ， $r_{2} =3$ 。

分析 ${f(x)=xe}^{2x}$ ： $P_{1} (x)=x$ （一次多项式）， $λ =2$ 。

判定 k： $λ =2$ 是特征根的单根（ $r_{1} =2$ ），故 k = 1。

设特解 $y^{*} {=x(b}_{0} {x+b}_{1} {)e}^{2x} {=(b}_{0} x^{2} {+b}_{1} {x)e}^{2x}$ 。

代入求系数（过程从略，展开后比较系数）：

令 ${u=b}_{0} x^{2} {+b}_{1} x$ ，则 $y^{*} {=ue}^{2x}$ 。

${(y}^{*})^{′′} {=u}^{′′} e^{2x} {+4u}^{′} e^{2x} {+4ue}^{2x}$

代入 $y^{′′} {-5y}^{′} {+6y=xe}^{2x}$ ，消去 $e^{2x}$ ：

$u^{′′} {-u}^{′} =x$

其中 $u^{′} {=2b}_{0} {x+b}_{1}$ ， $u^{′′} {=2b}_{0}$ 。代入：

${2b}_{0} {-(2b}_{0} {x+b}_{1})=x$

${-2b}_{0} {x+(2b}_{0} {-b}_{1})=x$

比较系数： ${-2b}_{0} =1$ ， $b_{0} =- \frac{1}{2}$ ； ${2b}_{0} {-b}_{1} =0$ ， $b_{1} =-1$ 。

特解 $y^{*} =(- \frac{1}{2} x^{2} {-x)e}^{2x} =x(- \frac{x}{2} {-1)e}^{2x}$ 。

七、待定系数法——f(x) = acos(omega x) + bsin(omega x) 型（10分钟）

适用范围：当非齐次项为 $f(x)=a cos ω x+b sin ω x$ 的形式时。

特解形式：

$y^{*} {=x}^{k} (A cos ω x+B sin ω x)$

k 值判定：检查 $ω i$ （即 $0+ ω i$ ）是否为特征根。

k = 0： $± ω i$ 不是特征根；

k = 1： $± ω i$ 是特征根。

例6 求 $y^{′′} {+3y}^{′} -y= cos x$ 的一个特解。

解特征方程： $r^{2} +3r-1=0$ ， $r= \frac{-3 ± \sqrt{13}}{2}$ （两个实根）。

分析 $f(x)= cos x$ ： $ω =1$ 。检查 $± i$ 是否为特征根——不是（特征根为实数），故 k = 0。

设特解 $y^{*} =A cos x+B sin x$ 。

${(y}^{*})^{′} =-A sin x+B cos x$

${(y}^{*})^{′′} =-A cos x-B sin x$

代入方程 $y^{′′} {+3y}^{′} -y= cos x$ ：

$(-A cos x-B sin x)+3(-A sin x+B cos x)-(A cos x+B sin x)= cos x$

合并同类项：

$(-2A+3B) cos x+(-3A-2B) sin x= cos x$

比较系数：

$-2A+3B=1$

$-3A-2B=0$

由第二个方程： $A=- \frac{2B}{3}$ ，代入第一个方程： $\frac{4B}{3} +3B=1$ ， $\frac{13B}{3} =1$ ， $B= \frac{3}{13}$ 。

则 $A=- \frac{2}{13}$ 。

特解 $y^{*} =- \frac{2}{13} cos x+ \frac{3}{13} sin x$ 。

例7 求 $y^{′′} +y= sin x$ 的一个特解。

解特征方程： $r^{2} +1=0$ ， $r= ± i$ 。

分析 $f(x)= sin x$ ： $ω =1$ 。检查 $± i$ 是否为特征根——是！故 k = 1。

设特解 $y^{*} =x(A cos x+B sin x)$ （注意前面多乘了 x）。

计算导数：

${(y}^{*})^{′} =(A cos x+B sin x)+x(-A sin x+B cos x)$

${(y}^{*})^{′′} =2(-A sin x+B cos x)+x(-A cos x-B sin x)$

代入方程 $y^{′′} +y= sin x$ ：

$2(-A sin x+B cos x)+x(-A cos x-B sin x)+x(A cos x+B sin x)= sin x$

含 x 的项相消，得：

$2(-A sin x+B cos x)= sin x$

比较系数： $-2A=1$ ， $2B=0$ 。

解得 $A=- \frac{1}{2}$ ， $B=0$ 。

特解 $y^{*} =- \frac{x}{2} cos x$ 。

通解结构定理是非齐次方程求解的理论基础，先建立框架再讲具体方法。

待定系数法分两种类型讲解，先讲多项式指数型——这是最常见的类型。

例4完整演示三步流程：求齐次通解→确定特解形式（判定k值）→代入比较系数。

例5展示 k = 1（lambda 为单根）时特解需要乘 x 的情况，强化 k 值判定的重要性。

例6展示三角函数型特解的标准操作：设 Acosx + Bsinx，代入方程比较系数。

例7是关键对比——当 omega i 恰好是特征根时 k = 1，特解前需乘 x。通过例6和例7的对比，帮助学生理解 k 值判定对三角函数型同样适用。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做两道练习，检验大家对待定系数法的掌握。注意正确判定 k 值！

练习4：求 $y^{′′} {+6y}^{′} {+9y=3e}^{-3x}$ 的通解。

解第一步：齐次通解。

特征方程： $r^{2} +6r+9=0$ ， ${(r+3)}^{2} =0$ ，二重根 $r=-3$ 。

齐次通解： $\bar y {=(C}_{1} {+C}_{2} {x)e}^{-3x}$

第二步：确定特解形式。

分析 ${f(x)=3e}^{-3x}$ ： $P_{0} (x)=3$ （零次多项式）， $λ =-3$ 。

判定 k： $λ =-3$ 是特征方程的二重根，故 k = 2。

设特解 $y^{*} {=x}^{2} ⋅ b_{0} ⋅ e^{-3x} {=b}_{0} x^{2} e^{-3x}$ （注意：前面乘了 $x^{2}$ ）。

第三步：代入求系数。

$y^{*} {=b}_{0} x^{2} e^{-3x}$

${(y}^{*})^{′} {=b}_{0} {(2x-3x}^{2} {)e}^{-3x}$

${(y}^{*})^{′′} {=b}_{0} {(2-12x+9x}^{2} {)e}^{-3x}$

代入 $y^{′′} {+6y}^{′} {+9y=3e}^{-3x}$ ，消去 $e^{-3x}$ ：

$b_{0} {(2-12x+9x}^{2} {)+6b}_{0} {(2x-3x}^{2} {)+9b}_{0} x^{2} =3$

$b_{0} {(2-12x+9x}^{2} {+12x-18x}^{2} {+9x}^{2})=3$

${2b}_{0} =3$

解得 $b_{0} = \frac{3}{2}$ 。

特解 $y^{*} = \frac{3}{2} x^{2} e^{-3x}$ 。

通解 ${y=(C}_{1} {+C}_{2} {x)e}^{-3x} + \frac{3}{2} x^{2} e^{-3x}$ 。

练习5：求 $y^{′′} {-2y}^{′} +5y= cos x$ 的一个特解。

解特征方程： $r^{2} -2r+5=0$ ， $r=1 ± 2i$ 。

分析 $f(x)= cos x$ ： $ω =1$ 。检查 $± i$ 是否为特征根——特征根为 $1 ± 2i$ ，不是 $± i$ ，故 k = 0。

设特解 $y^{*} =A cos x+B sin x$ 。

${(y}^{*})^{′} =-A sin x+B cos x$

${(y}^{*})^{′′} =-A cos x-B sin x$

代入 $y^{′′} {-2y}^{′} +5y= cos x$ ：

$(-A cos x-B sin x)-2(-A sin x+B cos x)+5(A cos x+B sin x)= cos x$

$(4A-2B) cos x+(2A+4B) sin x= cos x$

比较系数： $4A-2B=1$ ， $2A+4B=0$ 。

由第二个方程： $A=-2B$ ，代入第一个： $-8B-2B=1$ ， $B=- \frac{1}{10}$ 。

则 $A= \frac{1}{5}$ 。

特解 $y^{*} = \frac{1}{5} cos x- \frac{1}{10} sin x$ 。

【教师】讲评要点：（1）练习4是 k = 2 的典型案例——lambda 恰好是特征方程的二重根，特解前需乘 x^2，这是最容易被遗忘的情况，务必先写特征根再判定 k；（2）练习5虽然特征根是复数 1 +/- 2i，但 f(x) = cosx 对应的 +/- i 并不是特征根，所以 k = 0。要注意区分特征方程的虚根和非齐次项对应的虚数参数。

练习4训练 k = 2 的情况，这是待定系数法中最难的类型，通过完整的计算过程建立信心。

练习5训练三角函数型且特征根为复数的情况，强调 k 值判定不能只看有没有虚根，而要看具体的虚根是否与非齐次项对应的参数一致。

讲评环节强化 k 值判定的正确方法，帮助学生建立可靠的操作流程。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心内容：

一、特征方程法（齐次方程）：

方程 $y^{′′} {+py}^{′} +qy=0$ → 特征方程 $r^{2} +pr+q=0$ 。

三种情况通解：

$Δ >0$ （两不等实根 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ）： ${y=C}_{1} e^{r_{1}x} {+C}_{2} e^{r_{2}x}$

$Δ =0$ （二重根 r）： ${y=(C}_{1} {+C}_{2} {x)e}^{rx}$

$Δ <0$ （复根 $α ± β i$ ）： ${y=e}^{αx} {(C}_{1} cos β {x+C}_{2} sin β x)$

二、非齐次方程通解结构：

$y= \bar y {+y}^{*}$ （齐次通解 + 非齐次特解）。

三、待定系数法求特解：

（1） ${f(x)=P}_{m} {(x)e}^{λx}$ 型 → 设 $y^{*} {=x}^{k} Q_{m} {(x)e}^{λx}$ ，k 看 lambda 是否为特征根（0、1、2）；

（2） $f(x)=a cos ω x+b sin ω x$ 型 → 设 $y^{*} {=x}^{k} (A cos ω x+B sin ω x)$ ，k 看 omega i 是否为特征根（0或1）。

核心要点：无论哪种类型，k 值的正确判定都是成功的关键！一定先写出特征根，再与非齐次项中的参数逐一比对。

四、作业布置：

（1）齐次方程求通解（含三种情况各1题），3题；

（2）非齐次方程——多项式指数型待定系数法，3题；

（3）非齐次方程——三角函数型待定系数法，2题；

（4）二阶方程初值问题，1题。

五、预习：

下节课将进入微分方程的综合复习与总结——系统梳理从一阶到二阶的方程类型和求解方法，为本章总复习做准备。请回顾本章所有方程类型及对应的解法。

系统总结特征方程法的三种情况通解公式，形成对照表式的清晰记忆。

强调非齐次方程的通解结构定理和两种待定系数法的特解形式。

突出 k 值判定是待定系数法的关键环节，给出明确的操作要点。

分层布置作业：齐次方程巩固基础，非齐次方程提升应用能力，初值问题综合训练。

布置预习任务，为下节课微分方程的综合复习做铺垫。

教学反思

本节课是二阶常系数线性微分方程的教学，内容涵盖特征方程法、三种通解公式和待定系数法（两种类型），信息量大、公式密集。教学效果分析如下：

（1）引入环节：通过回顾一阶线性方程引出"从一阶到二阶"的过渡，学生对知识的递进关系理解较好。用"弹簧振动、电路问题"等实际背景激发学习兴趣，同时"好消息是可以转化为代数方程"的引导有效降低了学生的畏难情绪。

（2）特征方程法的推导：通过"假设 y = e^{rx}"代入方程并化简的过程，学生亲历了从微分方程到代数方程的转化。约85%的学生能理解推导逻辑，对 e^{rx} 恒不为零这一关键步骤印象深刻。这一环节的教学时间控制较好。

（3）三种通解公式：两不等实根和二重根情况学生接受较快，课堂练习正确率分别约90%和80%。共轭复根情况是明显的难点——公式结构较复杂，约65%的学生能正确写出通解。"实部进指数、虚部入三角"的口诀对帮助记忆效果明显，但部分学生仍然混淆 alpha 和 beta 的位置。建议后续增加共轭复根的练习量。

（4）非齐次方程通解结构：y = y-bar + y* 的结构定理学生理解顺畅，与一阶线性方程"通解 = 齐次通解 + 特解"的结构形成呼应，约90%的学生能正确表述通解的组成。

（5）待定系数法——多项式指数型：三步操作流程（求齐次通解→确定特解形式→代入比较系数）讲解清晰。k 值判定是核心难点，约65%的学生能正确判定。例4（k = 0）学生完成较好，例5（k = 1）部分学生忘记乘 x。建议将"先写特征根，再判定 k"的步骤以更醒目的方式强调。

（6）待定系数法——三角函数型：例6（k = 0）操作规范，学生基本掌握。例7是教学亮点——omega i 恰好是特征根导致 k = 1 的情况，学生对含 x 项相消的过程感到巧妙。但课堂测验中练习5的 k 值判定仍有约30%的学生出错，说明"检查 omega i 是否为特征根"这一操作需要更多练习巩固。

（7）整体时间安排：第一节课35分钟讲解齐次方程（含推导和三种情况），节奏适中；第二节课30分钟同时讲解两种类型的待定系数法，时间较紧。多项式指数型的例题计算量较大，实际用时超出预期约3分钟。如有条件，建议将三角函数型的部分内容移至习题课做补充强化。

（8）总体而言，特征方程法是本节课最成功的部分，学生反馈良好；待定系数法中 k 值判定和系数比较是主要薄弱环节，需在后续习题课和课后作业中重点加强。下节课进入微分方程的综合复习，将系统梳理本章所有方程类型和方法。