教学项目

分部积分法

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过前五个课时的系统学习，学生已经掌握了不定积分的概念与基本性质、15个基本积分公式、直接积分法、第一类换元积分法（凑微分法）和第二类换元积分法（三角换元、根式换元等）。学生具备了一定的积分运算能力，能够处理大部分可以通过换元法求解的不定积分。

然而，在实际计算中，有一些重要的积分类型无法仅靠换元法解决。例如：∫xe^xdx、∫xlnxdx、∫x²sinxdx、∫lnxdx、∫arctanxdx 等。这些积分的被积函数是两类不同函数的乘积，需要一种新的积分方法——分部积分法。

从学生的学习状态来看：（1）换元积分法的训练使学生建立了"变量替换"的思想，为理解分部积分法中u和dv的选取奠定了基础；（2）学生的求导运算熟练，能够很好地完成分部积分中的du计算；（3）学生的代数化简能力在前几节课的训练中有了显著提高。

根据教学计划，本课时为第11-12学时（累计12学时），下一课将进行不定积分复习小结。

教学目标

${''(uv)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''=u''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''v+uv''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}$$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''udv''''=uv-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''vdu''$；

（2）掌握分部积分法中 u 和 dv 的选取原则（LIATE法则），能够针对不同类型的被积函数做出正确的选择；

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''$、$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''ln''''xdx''$、$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''sin''''xdx''$、$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''sin''''xdx''$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''ln''''xdx''$、$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''arctan''''xdx''$

（1）培养根据被积函数的类型灵活选取 u 和 dv 的策略思维能力；

（2）培养多步骤运算中保持准确性的计算能力（分部积分涉及求导和积分的交替操作）；

（3）培养识别循环积分并通过解方程求解的问题解决能力。

（1）通过分部积分公式的推导过程，体会数学中从已知结论推导新工具的创造性思维；

（2）通过u和dv选取的训练，培养决策能力和灵活应变能力；

（3）通过循环积分法的学习，培养面对困难时换角度思考、建立方程解决问题的创新意识。

教学重点

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''udv''''=uv-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''vdu''$

教学难点

及应对

1. u 和 dv 的正确选取——初学者面对被积函数时，往往不知道如何将其拆分为 u 和 dv。错误的选取可能导致新积分比原积分更复杂，甚至无法积分。需要通过大量练习培养直觉。

2. 多次分部积分的运算管理——当需要两次或更多次分部积分时（如 ∫x²e^xdx），中间步骤较多，学生容易出现符号错误、漏项等问题。

3. 循环积分法的理解——两次分部积分后原积分出现在等式两边，需要通过解方程（移项合并同类项）求得结果。学生初次接触时可能觉得意外，不理解为什么可以这样做。

4. 分部积分与换元积分的综合运用——部分题目需要先用分部积分再换元，或先换元再分部积分。

1. 提供LIATE法则作为u选取的“万能钥匙”，辅以口诀“反对幂三指”帮助记忆；通过正反对比（正确选取vs错误选取）让学生体会选取的重要性；

2. 对多次分部积分，建议学生列表格逐步记录 u, du, v, dv 的值，减少出错概率；

3. 循环积分部分，通过详细的板书演示和直观的示意图（图04）帮助学生理解原积分再次出现→解方程的逻辑链条；

4. 综合题目放在第二节课后半段，在学生掌握基本分部积分后再引入。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：分部积分公式推导图、LIATE选取原则表、分部积分步骤流程图、循环积分示意图、常见题型分类图、知识总结图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

讲授法：系统讲解分部积分公式的推导、u和dv的选取原则及各类例题

对比法：通过正确选取和错误选取的对比，让学生体会LIATE法则的实用性

启发法：先展示无法用换元法求解的积分，启发学生思考新方法的必要性

图示法：利用循环积分示意图帮助学生理解循环积分的解方程技巧

练习法：讲练结合，每讲一种类型立即进行课堂练习

教学反思

本节课系统讲授了分部积分法，包括公式推导、u和dv的选取原则、基本例题、循环积分和综合技巧。从课堂表现来看，公式推导环节学生理解较好，能够从乘积求导法则自然过渡到分部积分公式。LIATE法则和口诀"反对幂三指"受到学生欢迎，有效降低了u选取的困难。基本类型（幂x指数、幂x对数、幂x三角）的例题学生掌握较好。循环积分法是本节课的教学亮点和难点——学生对原积分再次出现感到惊讶，但通过示意图和详细的板书演示，大部分学生理解了解方程的思路。下节课将进行不定积分复习小结，系统梳理所有积分方法。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

【教师】同学们，前面几节课我们学习了直接积分法和换元积分法，已经能够处理很多类型的不定积分。但是，请看下面这个积分：

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''$。

【教师】我们来试试已有的方法：

（1）直接积分法？被积函数是 x 与 e^x 的乘积，不在基本公式表中，无法直接套用。

（2）凑微分法？如果令 u=x，则 du=dx，但剩余的 e^x 无法凑出 f(u)du 的形式。如果令 u=e^x，则 du=e^xdx，但剩余的 x 无法表示为 u 的函数。

（3）三角换元？被积函数中没有根号或 a²+x² 等典型结构，不适用。

【教师】分部积分法的核心思想是：利用求导中的“乘积法则”，将一个难以计算的积分转化为另一个较容易计算的积分。

【教师】设 u=u(x)、v=v(x) 都是可微函数。从乘积求导法则出发：

${''(uv)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''=u''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''v+uv''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}$

${''uv''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''=(uv)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''-u''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''v''$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''uv''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''dx''''=uv-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''u''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''vdx''$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''udv''''=uv-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''vdu''$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''udv''''=uv-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''vdu''$

按以下优先顺序选取 u（越靠前越优先作为 u）：

L -- 对数函数（Logarithmic）：ln x, log x

I -- 反三角函数（Inverse trig）：arctan x, arcsin x

A -- 幂函数/代数函数（Algebraic）：x, x², x³

T -- 三角函数（Trigonometric）：sin x, cos x

E -- 指数函数（Exponential）：e^x, a^x

（1）u 应该是“求导后变简单”的函数（如 ln x 求导变成 1/x，x² 求导变成 2x）；

（2）dv 应该是“容易积分”的部分（如 e^xdx 积分得 e^x，sin xdx 积分得 -cos x）。

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''$。

$''u=x''$，${''dv=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''$$''du=dx''$，${''v=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}$。

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''{''=xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''{''=xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''-e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''+C''$

${''=(x-1)e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''+C''$

${''((x-1)e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''+C)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''+(x-1)e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''=xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}$ ✓

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''ln''''xdx''$。

$''u=''''ln''''x''$，$''dv=xdx''$$''du=''\frac{''1''}{''x''}''dx''$，$''v=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}$。

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''ln''''xdx''''=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}''ln''''x-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}''\cdot ''''''\frac{''1''}{''x''}''dx''$

$''=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}''ln''''x-''\frac{''1''}{''2''}\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''xdx''$

$''=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}''ln''''x-''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''4''}''+C''$

$''(''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}''ln''''x-''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''4''}{''+C)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=x''''ln''''x+''\frac{''x''}{''2''}''-''\frac{''x''}{''2''}''=x''''ln''''x''$ ✓

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''sin''''xdx''$。

$''u=x''$，$''dv=''''sin''''xdx''$$''du=dx''$，$''v=-''''cos''''x''$。

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''sin''''xdx''''=x(-''''cos''''x)-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''(-''''cos''''x)dx''''=-x''''cos''''x+''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''cos''''xdx''$

$''=-x''''cos''''x+''''sin''''x+C''$

$''(-x''''cos''''x+''''sin''{''x+C)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=-''''cos''''x+x''''sin''''x+''''cos''''x=x''''sin''''x''$ ✓

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''$

${''u=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$，${''dv=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''$$''du=2xdx''$，${''v=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}$。

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''{''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''-2''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''{''=(x-1)e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''+C''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''{''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''-2(x-1)e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''+C''$

${''=(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''-2x+2)e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''+C''$

导入环节通过展示一个无法用换元法求解的积分 ∫xe^xdx，让学生亲身体验已有方法的局限性，从而自然地引出对新方法的需求。

公式推导从乘积求导法则出发，通过四步推导得到分部积分公式，逻辑清晰。强调公式的本质是"积分的转化"——将难积分转化为易积分。

LIATE法则和口诀"反对幂三指"为学生提供了实用的u选取工具，降低了选取的随意性和困难度。

例1-例3覆盖了三种基本类型：幂x指数、幂x对数、幂x三角。每道题都先分析u和dv的选取理由，帮助学生建立选取的思维过程。

例4展示了多次分部积分的处理方法，并利用了例1的结论，体现了知识的递进和连贯性。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做几道练习题，检验对分部积分公式和u/dv选取的掌握情况。

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}''dx''$。

$''u=x''$，${''dv=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}''dx''$$''du=dx''$，${''v=-e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}$。

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}''dx''{''=x(-e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}'')-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''(-e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}'')dx''{''=-xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}''+''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}''dx''$

${''=-xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}{''-e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}{''+C=-(x+1)e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}''+C''$

${''(-(x+1)e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}{''+C)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''=-e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}{''+(x+1)e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}{''=xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}$ ✓

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''ln''''xdx''$。

$''u=''''ln''''x''$，${''dv=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''dx''$$''du=''\frac{''1''}{''x''}''dx''$，$''v=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}{''3''}$。

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''ln''''xdx''''=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}{''3''}''ln''''x-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}{''3''}''\cdot ''''''\frac{''1''}{''x''}''dx''''=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}{''3''}''ln''''x-''\frac{''1''}{''3''}\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''dx''$

$''=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}{''3''}''ln''''x-''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}{''9''}''+C''$

$''(''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}{''3''}''ln''''x-''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}{''9''}{''+C)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''ln''''x+''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''3''}''-''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''3''}{''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''ln''''x''$ ✓

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''cos''''xdx''$。

$''u=x''$，$''dv=''''cos''''xdx''$$''du=dx''$，$''v=''''sin''''x''$。

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''cos''''xdx''''=x''''sin''''x-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''sin''''xdx''''=x''''sin''''x+''''cos''''x+C''$

$''(x''''sin''''x+''''cos''{''x+C)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=''''sin''''x+x''''cos''''x-''''sin''''x=x''''cos''''x''$ ✓

【教师】讲评要点：练习1注意 v=-e^{-x}（负号！），代入公式后需要仔细处理双重负号。练习2体现了对数函数优先作为u的原则。练习3与例3结构类似，注意 ∫sinxdx=-cosx。

三道练习分别覆盖幂x指数（练习1）、幂x对数（练习2）、幂x三角（练习3）三种基本类型。

练习1中 e^{-x} 的积分需要注意负号，训练学生的符号处理能力。

练习2进一步巩固“对数函数优先作为u”的原则。

每道题都配有验证步骤，持续强化求导检验的习惯。

第二节课

知识讲解

（30 min）

【教师】下面介绍几种特殊但非常重要的分部积分类型。

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''sin''''xdx''$

$''I=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''sin''''xdx''$。

${''I=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''sin''''x-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''cos''''xdx''$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''cos''''xdx''{''=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''cos''''x-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''(-''''sin''''x)dx''{''=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''cos''''x+''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''sin''''xdx''$

${''=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''cos''''x+I''$

${''I=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''sin''{''x-(e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''cos''''x+I)''$

${''I=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''sin''{''x-e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''cos''''x-I''$

${''2I=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''(''''sin''''x-''''cos''''x)''$

$''I=''\frac{{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''(''''sin''''x-''''cos''''x)''}{''2''}''+C''$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''cos''''xdx''$。

$''J=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''cos''''xdx''$$''I=''\frac{{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''(''''sin''''x-''''cos''''x)''}{''2''}$。

${''J=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''cos''''x+''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''sin''''xdx''$。

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''sin''''xdx''{''=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''sin''''x-J''$。

${''J=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''cos''{''x+e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''sin''''x-J''$${''2J=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''(''''cos''''x+''''sin''''x)''$。

$''J=''\frac{{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''(''''cos''''x+''''sin''''x)''}{''2''}''+C''$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''ln''''xdx''$。

$''u=''''ln''''x''$，$''dv=dx''$$''du=''\frac{''1''}{''x''}''dx''$，$''v=x''$。

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''ln''''xdx''''=x''''ln''''x-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''\cdot ''''''\frac{''1''}{''x''}''dx''''=x''''ln''''x-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''1dx''$

$''=x''''ln''''x-x+C''$

$''(x''''ln''{''x-x+C)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=''''ln''''x+1-1=''''ln''''x''$ ✓

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''arctan''''xdx''$。

$''u=''''arctan''''x''$，$''dv=dx''$$''du=''\frac{''1''}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''dx''$，$''v=x''$。

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''arctan''''xdx''''=x''''arctan''''x-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''x''}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''dx''$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''x''}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''dx''''=''\frac{''1''}{''2''}\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''dt''}{''t''}''=''\frac{''1''}{''2''}''ln''{''(1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}'')''$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''arctan''''xdx''''=x''''arctan''''x-''\frac{''1''}{''2''}''ln''{''(1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}'')+C''$

$''(x''''arctan''''x-''\frac{''1''}{''2''}''ln''{''(1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{'')+C)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=''''arctan''''x+''\frac{''x''}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''-''\frac{''x''}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''=''''arctan''''x''$ ✓

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''\cdot ''''''''arctan''''xdx''$。

$''u=''''arctan''''x''$，$''dv=xdx''$$''du=''\frac{''1''}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''dx''$，$''v=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}$。

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''arctan''''xdx''''=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}''arctan''''x-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}''\cdot ''''''\frac{''1''}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''dx''$

$''=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}''arctan''''x-''\frac{''1''}{''2''}\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''dx''$

$\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''=''\frac{{''(1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}'')-1''}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''=1-''\frac{''1''}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''dx''''=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''(1-''\frac{''1''}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}'')dx''''=x-''''arctan''''x''$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''arctan''''xdx''''=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}''arctan''''x-''\frac{''1''}{''2''}''(x-''''arctan''''x)+C''$

$''=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+1''}{''2''}''arctan''''x-''\frac{''x''}{''2''}''+C''$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''''=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''sin''''xdx''''=-x''''cos''''x-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''(-''''cos''''x)dx''$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''sin''''xdx''''=x(-''''cos''''x)-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''(-''''cos''''x)dx''''=-x''''cos''''x+''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''cos''''xdx''$ ✓

提示：代入公式时，先写 uv 项，再写 -∫vdu 项。特别注意 v 本身带负号时的双重负号处理。

分部积分法的最终结果必须加上积分常数 +C。在中间步骤中，各个不定积分的常数可以合并为一个 C。

在计算 ∫e^xsinxdx 时，两次分部积分后得到 I=...−I。如果不把 I 移到左边解方程，而是继续分部积分，将陷入无限循环。关键是识别出原积分 I 再次出现，然后列方程求解。

例5和例6展示了循环积分法——分部积分法中最巧妙的技巧。通过示意图和详细的推导过程，帮助学生理解"原积分再次出现→解方程"的逻辑。

例7和例8展示了对单独一个函数（lnx、arctanx）进行分部积分的技巧——令dv=dx，这是学生不容易想到的处理方式。

例8还展示了分部积分与凑微分法的结合，体现了积分方法的综合运用。

例9是综合性较强的题目，需要分部积分与代数化简（分式拆分）的结合。

常见错误分析通过正反对比，帮助学生提前规避典型错误。特别是u/dv选取不当和符号错误这两个最高频的问题，需要重点强调。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做综合练习，巩固本节课所学的全部内容。

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''arcsin''''xdx''$。

$''u=''''arcsin''''x''$，$''dv=dx''$$''du=''\frac{''1''}{\sqrt{{''1-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}}''dx''$，$''v=x''$。

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''arcsin''''xdx''''=x''''arcsin''''x-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''x''}{\sqrt{{''1-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}}''dx''$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''x''}{\sqrt{{''1-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}}''dx''''=-''\frac{''1''}{''2''}\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''t''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-</ms><mfrac><mrow><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms></mrow><mrow><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms></mrow></mfrac>}}''dt''''=-''\frac{''1''}{''2''}''\cdot ''{''2t''}^{\mathrm{<mfrac><mrow><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms></mrow><mrow><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms></mrow></mfrac>}}''=-''\sqrt{{''1-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''arcsin''''xdx''''=x''''arcsin''''x+''\sqrt{{''1-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''+C''$

$''(x''''arcsin''''x+''\sqrt{{''1-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''+C)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=''''arcsin''''x+''\frac{''x''}{\sqrt{{''1-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}}''+''\frac{''-x''}{\sqrt{{''1-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}}''=''''arcsin''''x''$ ✓

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''cos''''xdx''$。

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''cos''''xdx''{''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''sin''''x-2''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''sin''''xdx''$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''sin''''xdx''''=-x''''cos''''x+''''sin''''x''$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''cos''''xdx''{''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''sin''''x-2(-x''''cos''''x+''''sin''''x)+C''$

${''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''sin''''x+2x''''cos''''x-2''''sin''''x+C''$

${''=(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''-2)''''sin''''x+2x''''cos''''x+C''$

【教师】讲评要点：练习4展示了 arcsin x 的积分技巧（令 dv=dx），后续还需结合换元法。练习5需要两次分部积分，可以利用例3的结论，减少重复计算。

练习4训练对反三角函数 arcsinx 的分部积分，同时需要结合凑微分法处理剩余积分。

练习5训练多次分部积分的处理能力，并鼓励学生利用已知结论简化计算过程。

两道练习分别覆盖单独函数型（反三角）和多次分部积分型（幂x三角），巩固本节课的重点内容。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心内容：

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''udv''''=uv-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''vdu''$

核心思想：将一个难以计算的积分转化为另一个较容易计算的积分。

口诀“反对幂三指”——反三角 > 对数 > 幂函数 > 三角 > 指数（LIATE法则）。u 选排在前面的函数（求导后变简单），dv 选排在后面的部分（容易积分）。

（1）幂函数 x 指数/三角：u 取幂函数（如 ∫xe^xdx, ∫xsinxdx）；

（2）幂函数 x 对数：u 取对数函数（如 ∫xlnxdx）；

（3）幂函数 x 反三角：u 取反三角函数（如 ∫xarctanxdx）；

（4）指数 x 三角（循环型）：两次分部积分 + 解方程（如 ∫e^xsinxdx）；

（5）单独一个函数：令 dv=dx（如 ∫lnxdx, ∫arctanxdx）；

（6）高次幂 x 指数/三角：多次分部积分逐次降幂（如 ∫x²e^xdx）。

（1）u/dv 选取不当导致越积越复杂——按LIATE法则选取；

（2）符号运算错误——注意 v 带负号时的双重负号处理；

（3）忘记 +C——不定积分结果必须加积分常数；

（4）循环积分时忘记解方程——识别 I 再次出现，列方程求解。

（1）计算以下不定积分（要求写出u、dv的选取和完整过程）：

① $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2x</ms>}}''dx''$ ② $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''sin''''xdx''$ ③ $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''(''''ln''{''x)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''dx''$

④ $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''cos''''xdx''$ ⑤ $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''arctan''''xdx''$

下节课将进行不定积分复习小结，系统梳理直接积分法、第一类换元积分法、第二类换元积分法和分部积分法。请回顾所有积分方法，思考：面对一个不定积分，如何判断应该使用哪种方法？

通过知识总结图系统梳理本节课的核心内容，帮助学生建立分部积分法的完整知识框架。

分六种常见题型逐一总结，帮助学生建立“看到什么类型→用什么策略”的条件反射。

常见错误提醒帮助学生提前规避典型错误，特别是u/dv选取和符号处理。

作业设计覆盖了本节课所有重要题型：幂x指数、幂x三角（多次）、对数平方、循环积分、反三角。其中③ ∫(lnx)²dx 是拓展题，需要两次分部积分。

预习任务指向下节课——不定积分复习小结，引导学生进行方法的综合比较和选择。

教学反思

本节课系统讲授了分部积分法，包括公式推导、u和dv的选取原则、基本类型、循环积分和综合技巧。教学效果总体良好，以下是具体分析：

（1）公式推导环节：从乘积求导法则出发推导分部积分公式，逻辑清晰，学生理解较好。特别是将推导过程分为四步（乘积法则→移项→两端积分→微分形式），每步都有明确的目标。约95%的学生课堂上能够准确写出分部积分公式。

（2）LIATE法则的教学：口诀“反对幂三指”深受学生欢迎，有效降低了u选取的困难。通过例2（∫xlnxdx）中正确选取（u=lnx）和错误选取（u=x）的对比演示，学生充分体会到选取的重要性。课堂反馈中约85%的学生能够正确地为给定积分选取u和dv。

（3）基本例题（例1-例4）：由简到繁的递进设计效果良好。例1作为第一个完整示范，学生跟进顺利；例2和例3分别代表不同类型，帮助学生建立分类意识；例4（两次分部积分）是本节课第一个难点——约30%的学生在第二次分部积分时出现符号错误。建议：在板书时，引导学生列一个u/du/v/dv的表格，有助于减少出错。

（4）循环积分法（例5-例6）：这是本节课的亮点和最大难点。当学生看到第二次分部积分后原积分I再次出现时，表现出明显的惊讶。通过循环积分示意图的辅助讲解，约70%的学生理解了“解方程求I”的思路。但仍有部分学生困惑于“为什么可以设I然后解方程”，建议下次用更多的时间类比一次方程的求解过程来帮助理解。

（5）单独函数型（例7-例8）和综合题（例9）：令dv=dx的技巧初看令人意外，但通过详细演示，学生接受度较高。例8中分部积分与凑微分法的结合，以及例9中的分式拆分，展示了不同积分方法的综合运用，有助于培养学生的综合解题能力。

（6）改进方向：① 对多次分部积分，可以引入表格法（Tabular Method），系统化地处理多次分部积分，减少中间步骤的出错率；② 循环积分部分可以适当增加板书时间，让学生有更多时间消化这个巧妙但不易理解的技巧；③ 下节课复习小结时，需要帮助学生建立“积分方法选择决策树”——面对一个积分，先判断能否直接积分，再看能否换元，最后考虑分部积分。