定积分的几何应用

教学项目

定积分的几何应用

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过前面十一次课的系统学习，学生已经掌握了定积分的概念与性质，理解了微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式），并熟练掌握了不定积分的各种计算方法（直接积分法、第一类换元法、第二类换元法、分部积分法）以及定积分的计算技巧。

本节课将进入定积分的应用阶段。学生虽然能够计算定积分，但对于如何将实际几何问题转化为定积分表达式还缺乏经验。微元法是建立定积分应用模型的核心思想方法，学生需要从“计算定积分”过渡到“用定积分解决问题”，这是一个重要的思维跨越。

从学生的学习基础来看：（1）定积分的定义（分割→近似→求和→取极限）已有一定理解，但对其应用意义的体会还不够深；（2）平面图形面积的直觉认识较好，可作为切入点；（3）空间想象能力有待加强，特别是旋转体的截面分析需要重点引导。

根据教学计划，本课时为第23-24学时（累计24学时），下一课将学习广义积分（反常积分）。

教学目标

知识目标：

（1）深刻理解微元法的基本思想——将所求量 $Q$ 表示为 $Q= \int_{a}^{b} f(x)dx$ ，掌握“分割→近似→求和→取极限”的建模过程；

（2）掌握用定积分计算平面图形面积的方法：上下型（ $S= \int_{a}^{b} [f(x)-g(x)]dx$ ）和左右型（ $S= \int_{c}^{d} [ϕ (y)- ψ (y)]dy$ ）；

（3）掌握旋转体体积的计算方法：圆盘法（ $V= π \int_{a}^{b} [f(x)]^{2} dx$ ）和壳法（ $V=2 π \int_{a}^{b} xf(x)dx$ ）；

（4）能正确选择积分变量和积分方法，确定积分上下限。

能力目标：

（1）培养将几何问题转化为积分问题的建模能力——会画图、会分析、会列式；

（2）提高空间想象能力，能够正确分析旋转体的截面形状；

（3）培养根据题目特点灵活选择积分方法（上下型/左右型、圆盘法/壳法）的判断力。

素质目标：

（1）通过微元法的学习，体会数学中“化整为零、积零为整”的思想方法；

（2）通过几何应用的学习，感受定积分作为强大工具在几何计算中的威力，增强运用数学解决实际问题的信心。

教学重点

1. 微元法的基本思想微元法是定积分应用的核心方法论。学生必须深刻理解：所求量 Q 可以通过“取微元 dQ=f(x)dx → 积分 Q=∫f(x)dx”来计算。这个从“微元”到“积分”的过程是一切几何应用的基础。

2. 平面图形面积的积分表达学生需要掌握两种基本类型：上下型（对 x 积分）和左右型（对 y 积分）。关键在于正确判断哪条曲线在上（右），哪条在下（左），以及确定积分上下限。

3. 旋转体体积的计算方法圆盘法和壳法是计算旋转体体积的两种基本方法。圆盘法适用于截面已知的情形（截面垂直于旋转轴）；壳法适用于微元平行于旋转轴的情形。学生需要根据具体问题选择合适的方法。

教学难点

及应对

难点：

1. 微元的建立——如何从几何直觉出发找到正确的微元 dQ=f(x)dx，特别是在旋转体体积问题中，如何确定截面面积或壳体体积的表达式。

2. 积分类型的选择——面对一个具体的面积问题，学生可能不知道应该用上下型还是左右型；面对旋转体体积问题，不知道用圆盘法还是壳法。需要通过典型例题帮助学生建立判断标准。

3. 空间想象——旋转体的截面分析需要一定的空间想象能力，部分学生对此有困难。

应对策略：

1. 通过丰富的图示帮助学生建立直觉，每道例题都配图分析；

2. 对比讲解不同方法的适用场景，建立方法选择的判断标准；

3. 从简单图形（矩形、三角形的旋转）入手，逐步过渡到一般曲线的旋转体。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：微元法思想图解、平面面积计算示意图、旋转体体积示意图、面积公式总结表、旋转体体积公式总结、知识总结图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

讲授法：系统讲解微元法的思想和面积、体积的积分公式

图示法：通过直观的图形展示微元的几何意义，帮助学生建立空间想象

对比法：将上下型与左右型、圆盘法与壳法对照展示，帮助学生掌握方法选择

练习法：讲练结合，通过典型例题（抛物线面积→旋转体体积）逐步提升能力

教学反思

本节课系统讲授了定积分的几何应用，从微元法思想出发，依次讲解了平面面积计算和旋转体体积。通过“微元法思想→面积公式→体积公式→典型例题”的递进设计，学生对定积分应用的理解逐步深入。课堂练习反馈表明，平面面积计算的掌握较好，但旋转体体积的壳法应用仍需加强练习。下节课将学习广义积分（反常积分）的概念和计算方法。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、复习导入（5分钟）

【教师】同学们，前面我们系统学习了定积分的概念和计算方法。回顾一下定积分的定义：

回顾：定积分的定义

$\int_{a}^{b} f(x)dx = {lim}_{n\to∞} \sum_{i=1}^{n} f(ξ_{i}) Δ x_{i}$

【教师】这个定义的过程是：分割区间→取近似→求和→取极限。这个过程不仅是定积分的定义方式，更是一种重要的数学思想方法——微元法。

引出问题：如何用定积分来计算曲边图形的面积、旋转体的体积？

【教师】今天我们就来学习定积分最重要的应用之一——几何应用。核心工具就是微元法。

二、微元法思想（10分钟）

微元法的核心思想：

设所求量 Q 与区间 [a,b] 有关，如果 Q 满足：

（1）Q 对区间具有可加性——即 [a,b] 分成若干小区间后，各段的 Q 值之和等于整体的 Q 值；

（2）在每个小区间 $[x,x+dx]$ 上，Q 的微元（增量的近似）为 $dQ=f(x)dx$ ；

则 $Q= \int_{a}^{b} f(x)dx$ 。

微元法的操作步骤：

Step 1：画图分析，确定积分变量（通常取 x 或 y）和积分区间 [a,b]；

Step 2：取微元——在 $[x,x+dx]$ 上，写出 $dQ=f(x)dx$ ；

Step 3：积分—— $Q= \int_{a}^{b} f(x)dx$ ，然后计算定积分。

三、平面图形面积计算（10分钟）

类型1：上下型（对 x 积分）

设在 [a,b] 上 $f(x) ≥ g(x)$ ，则两曲线 y=f(x) 与 y=g(x) 之间的面积为

$S= \int_{a}^{b} [f(x)-g(x)]dx$

微元分析：取微元 $dS=[f(x)-g(x)]dx$ ，它是一个高为 f(x)-g(x)、宽为 dx 的窄矩形面积。

类型2：左右型（对 y 积分）

设在 [c,d] 上 $ϕ (y) ≥ ψ (y)$ ，则面积为

$S= \int_{c}^{d} [ϕ (y)- ψ (y)]dy$

选择原则：如果图形上下边界为 y=f(x) 和 y=g(x)，用上下型（对 x 积分）；如果左右边界为 x=φ(y) 和 x=ψ(y)，用左右型（对 y 积分）。

四、面积计算例题（10分钟）

例1 求抛物线 ${y=x}^{2}$ 与直线 $y=x$ 围成区域的面积。

解先求交点：令 x²=x，得 x=0 和 x=1。在 [0,1] 上 x≥x²，故：

$S= \int_{0}^{1} {(x-x}^{2})dx =[\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} {]_{0}}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

例2 求由曲线 $y= \sqrt{x}$ 、直线 $y=0$ 和 $x=4$ 围成区域的面积。

解在 [0,4] 上，上边界为 y=√x，下边界为 y=0：

$S= \int_{0}^{4} \sqrt{x} dx =[\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} {]_{0}}^{4} = \frac{2}{3} ⋅ 8= \frac{16}{3}$

例3 求由 $y^{2} =x$ 和 $x=1$ 围成区域的面积（用左右型）。

解交点：y²=1，y=±1。左右型：右边界 x=1，左边界 x=y²，对 y 积分：

$S= \int_{-1}^{1} {(1-y}^{2})dy =[y- \frac{y^{3}}{3} {]_{-1}}^{1} =(1- \frac{1}{3})-(-1+ \frac{1}{3})= \frac{4}{3}$

关键总结：（1）先画图确定围成区域；（2）找交点确定积分上下限；（3）判断上下型或左右型；（4）写出被积函数（上减下或右减左）。

复习导入环节从定积分的定义出发，自然过渡到微元法思想。让学生认识到定积分不仅是一个计算工具，更是解决实际问题的方法论。

微元法思想的讲解采用“步骤化”方式，帮助学生建立系统的操作流程：画图→取微元→积分→计算。这是后续所有定积分应用的统一框架。

平面面积计算分为上下型和左右型两种基本类型，并通过图示和微元分析帮助学生理解每种类型的几何含义。选择原则的归纳有助于学生快速判断。

三道例题由易到难：例1是最经典的抛物线与直线围成面积（上下型），例2是单曲线面积的简单情形，例3引入左右型积分。通过例题让学生体会不同类型的选择策略。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做几道练习题，检验对面积计算的掌握情况。

练习1：求 ${y=x}^{2}$ 与 $y=2x$ 围成区域的面积。

解交点：x²=2x，x=0 和 x=2。在 [0,2] 上 2x≥x²：

$S= \int_{0}^{2} {(2x-x}^{2})dx {=[x}^{2} - \frac{x^{3}}{3} {]_{0}}^{2} =4- \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

练习2：求 ${y=e}^{x}$ 、 $y=1$ 与 $x=1$ 围成区域的面积。

解在 [0,1] 上 e^x≥1：

$S= \int_{0}^{1} {(e}^{x} -1)dx {=[e}^{x} {-x]}_{0}^{1} =(e-1)-(1-0)=e-2$

练习3：求由 $y^{2} =2x$ 与 $x=2$ 围成区域的面积。

解用左右型：交点 y²=4，y=±2。右边界 x=2，左边界 x=y²/2：

$S= \int_{-2}^{2} (2- \frac{y^{2}}{2})dy =[2y- \frac{y^{3}}{6} {]_{-2}}^{2} =(4- \frac{4}{3})-(-4+ \frac{4}{3})= \frac{16}{3}$

【教师】讲评要点：练习1是经典的抛物线与直线面积（上下型）；练习2涉及指数函数，关键在于判断 e^x≥1；练习3用左右型更方便，注意利用对称性简化计算。

三道练习分别覆盖：上下型基本面积（练习1）、指数函数面积（练习2）、左右型面积（练习3）。帮助学生巩固面积计算的基本操作流程。

练习3特别展示了左右型积分的优势——当围成区域关于 x 轴对称时，用左右型一个积分即可完成，而上下型需要两个积分。

第二节课

知识讲解

（30 min）

五、旋转体体积（15分钟）

【教师】接下来学习定积分几何应用的另一个重要内容——旋转体的体积。

方法1：圆盘法（绕 x 轴旋转）

曲线 y=f(x)（f(x)≥0）与 x 轴及 x=a、x=b 围成的区域绕 x 轴旋转一周：

微元分析：在 x 处取厚度为 dx 的薄片，截面为半径 f(x) 的圆盘，面积为 $π {[f(x)]}^{2}$ 。

体积微元： $dV= π {[f(x)]}^{2} dx$

旋转体体积： $V= π \int_{a}^{b} [f(x)]^{2} dx$

方法2：壳法（绕 y 轴旋转）

同一区域绕 y 轴旋转一周：

微元分析：在 x 处取宽 dx 的薄条，绕 y 轴旋转形成薄壁圆柱壳，半径为 x，高为 f(x)，壁厚为 dx。

体积微元： $dV=2 π x ⋅ f(x)dx$

旋转体体积： $V=2 π \int_{a}^{b} xf(x)dx$

六、旋转体体积例题（15分钟）

例4 求由 $y= \sqrt{x}$ 、 $y=0$ 、 $x=4$ 围成的区域绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。

解用圆盘法。在 [0,4] 上，f(x)=√x：

$V= π \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^{2} dx = π \int_{0}^{4} xdx = π [\frac{x^{2}}{2} {]_{0}}^{4} =8 π$

例5 求由 ${y=x}^{2}$ 与 $y=x$ 围成的区域绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。

解交点 x=0 和 x=1。在 [0,1] 上 x≥x²，用垫圈法：

$V= π \int_{0}^{1} {(x}^{2} {-(x}^{2})^{2})dx = π \int_{0}^{1} {(x}^{2} {-x}^{4})dx$

$= π [\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{5}}{5} {]_{0}}^{1} = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})= \frac{2 π}{15}$

例6 求由 ${y=x}^{2}$ （0≤x≤1）与 x 轴围成的区域绕 y 轴旋转所得旋转体的体积。

解用壳法：

$V=2 π \int_{0}^{1} x ⋅ x^{2} dx =2 π \int_{0}^{1} x^{3} dx =2 π [\frac{x^{4}}{4} {]_{0}}^{1} = \frac{π}{2}$

例7 求球体 $x^{2} {+y}^{2} {=R}^{2}$ 的体积（用旋转体方法）。

解上半圆 y=√(R²-x²) 绕 x 轴旋转，用圆盘法：

$V= π \int_{-R}^{R} {(R}^{2} {-x}^{2})dx = π {[R}^{2} x- \frac{x^{3}}{3} {]_{-R}}^{R}$

$= π {[(R}^{3} - \frac{R^{3}}{3} {)-(-R}^{3} + \frac{R^{3}}{3})]= \frac{4}{3} π R^{3}$

关键总结：（1）绕 x 轴旋转用圆盘法：dV=π[f(x)]²dx；（2）绕 y 轴旋转用壳法更方便：dV=2πxf(x)dx；（3）两曲线围成区域旋转用垫圈法：dV=π([f(x)]²-[g(x)]²)dx。

旋转体体积部分从微元法出发，分别推导圆盘法和壳法的公式。每种方法都配有微元分析的详细说明和示意图，帮助学生理解公式的几何含义。

例4是最基本的圆盘法应用，计算过程简洁，帮助学生熟悉圆盘法的操作流程。例5展示了两曲线围成区域旋转时的垫圈法——外半径减内半径的平方差。

例6用壳法计算绕 y 轴旋转体积，让学生体会壳法在某些情形下的简洁优势。例7是经典的球体体积推导，既验证了已知公式，又展示了积分方法的威力。

关键总结帮助学生建立方法选择的基本判断标准：绕哪个轴旋转、用什么方法最方便。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做综合练习，巩固旋转体体积的计算方法。

练习4：求由 ${y=x}^{2}$ 、 $y=0$ 、 $x=1$ 围成的区域绕 x 轴旋转所得体积。

解圆盘法：

$V= π \int_{0}^{1} {(x}^{2})^{2} dx = π \int_{0}^{1} x^{4} dx = π [\frac{x^{5}}{5} {]_{0}}^{1} = \frac{π}{5}$

练习5：求同一区域绕 y 轴旋转所得体积。

解壳法：

$V=2 π \int_{0}^{1} x ⋅ x^{2} dx =2 π \int_{0}^{1} x^{3} dx =2 π ⋅ \frac{1}{4} = \frac{π}{2}$

练习6：求由 $y= sin x$ （ $0 ≤ x ≤ π$ ）与 x 轴围成的区域绕 x 轴旋转所得体积。

解圆盘法：

$V= π \int_{0}^{π} {sin}^{2} xdx = π \int_{0}^{π} \frac{1- cos 2x}{2} dx$

$= \frac{π}{2} [x- \frac{sin 2x}{2} {]_{0}}^{π} = \frac{π}{2} ⋅ π = \frac{π^{2}}{2}$

【教师】讲评要点：练习4和练习5对同一区域分别用圆盘法和壳法求体积，结果不同是因为绕不同轴旋转得到不同的旋转体；练习6需要用半角公式处理 sin²x 的积分。

练习4和练习5通过对比同一区域绕不同轴旋转的体积，帮助学生深刻理解圆盘法和壳法的区别以及旋转轴的影响。

练习6涉及三角函数的积分（需要用半角公式），综合了积分计算技巧和几何应用，考查学生的综合运算能力。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心内容：

一、微元法的基本思想：

分割→近似→求和→取极限。核心操作：找到微元 dQ=f(x)dx，确定积分上下限 [a,b]。

二、平面图形面积公式：

上下型： $S= \int_{a}^{b} [f(x)-g(x)]dx$ （上减下）

左右型： $S= \int_{c}^{d} [ϕ (y)- ψ (y)]dy$ （右减左）

三、旋转体体积公式：

圆盘法（绕 x 轴）： $V= π \int_{a}^{b} [f(x)]^{2} dx$

壳法（绕 y 轴）： $V=2 π \int_{a}^{b} xf(x)dx$

垫圈法： $V= π \int_{a}^{b} ([f(x)]^{2} {-[g(x)]}^{2})dx$

四、方法选择要点：

（1）面积问题：先画图，判断上下型还是左右型，选简单的方式积分；

（2）体积问题：绕 x 轴旋转优先用圆盘法，绕 y 轴旋转优先用壳法；

（3）核心思想：一切从微元出发，画图分析是第一步。

作业布置：

计算以下定积分的几何应用题：

① 求 ${y=x}^{3}$ 与 $y=x$ 围成区域的面积；

② 求 ${y=x}^{2}$ 与 ${y=2x-x}^{2}$ 围成区域的面积；

③ 求 ${y=x}^{2}$ （0≤x≤2）与 x 轴围成区域绕 x 轴旋转所得体积；

④ 求 $y= sin x$ （0≤x≤π）与 x 轴围成区域绕 y 轴旋转所得体积。

预习提示：

下节课将学习广义积分（反常积分），包括无穷限积分和瑕积分。请同学们思考：当积分上限趋于无穷时，积分是否仍然有意义？例如 ∫₁⁺∞ (1/x²)dx 是否收敛？

通过知识总结图系统梳理本节课的核心内容：微元法思想、面积公式、体积公式、方法选择要点。帮助学生形成完整的知识框架。

作业设计覆盖面积和体积两大板块：①②考查面积计算，③④考查旋转体体积。④需要用壳法计算绕 y 轴旋转体积，是较有综合性的题目。

预习任务指向下节课的广义积分，通过 ∫₁⁺∞(1/x²)dx 的收敛性问题激发思考，帮助学生带着问题进入新课的学习。

教学反思

本节课系统讲授了定积分的几何应用，从微元法思想出发，逐步建立了平面面积和旋转体体积的积分计算方法。以下是具体分析：

（1）微元法思想：通过“分割→近似→求和→取极限”的步骤化讲解，约80%的学生能理解微元法的核心思想。但部分学生对“如何找到正确的微元”还需要更多练习。

（2）平面面积计算：上下型面积计算学生掌握较好（完成率约85%），左右型稍低（约70%）。学生的主要困难在于判断何时用左右型更合适，以及正确确定积分上下限。

（3）旋转体体积：圆盘法的掌握较好（约80%），因为截面圆盘的概念直观。壳法的掌握率略低（约65%），主要原因是薄壁圆柱壳的概念不够直观，学生需要更多的空间想象训练。

（4）例7（球体体积推导）效果很好，学生看到用积分推导出熟知的公式 V=(4/3)πR³ 时表现出很强的兴趣和成就感，有效增强了学习积分应用的动力。

（5）改进方向：①可以增加更多动态演示（如旋转体的3D动画），帮助学生建立空间概念；②壳法的讲解可以从“把纸卷成圆筒”的生活经验出发，增强直觉理解；③下次课可以安排课前5分钟的面积计算小测，检验学生对基本方法的掌握情况。