定积分的概念与性质

教学项目

定积分的概念与性质

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

在前七次课中，学生已经系统学习了不定积分的全部内容：不定积分的概念与基本性质（第1-2课）、第一类换元积分法（第3-4课）、第二类换元积分法（第5课）、分部积分法（第6课）以及不定积分的综合应用（第7课）。学生已掌握各种积分方法，具备扎实的不定积分计算能力。

本次课是定积分章节的第一课，从不定积分过渡到定积分。学生需要理解：不定积分是求原函数（结果是函数族），而定积分是求一个确定的数值。这一概念上的转变是本课的核心。

从学生的学习基础来看：（1）对极限的概念和运算已比较熟练（来自高等数学前序课程）；（2）对求和符号和不等式的运用有一定基础；（3）对"逼近"思想（如数列极限、函数极限）已有体会，但尚未在积分背景下系统运用。

根据教学计划，本课时为第15-16学时（累计16学时），下一课将学习微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式），将不定积分与定积分联系起来。

教学目标

知识目标：

（1）了解定积分的实际背景——曲边梯形面积问题和变速运动路程问题，理解 $\int_{a}^{b} f(x)dx$ 的直观含义；

（2）掌握定积分的严格定义：将区间 [a,b] 分割为 n 个小区间，在每个小区间上取点，构造黎曼和 $S_{n} = \sum_{i=1}^{n} f(ξ_{i}) Δ x_{i}$ ，当分割无限细化时取极限；

（3）理解定积分的几何意义——曲线与 x 轴之间的代数面积（正面积减去负面积）；

（4）掌握定积分的基本性质：线性性、区间可加性、保序性、估值不等式、积分中值定理。

能力目标：

（1）培养从实际问题中抽象出数学模型的能力——从面积和路程问题中提炼出定积分的定义；

（2）培养极限思想的应用能力——理解"分割-取点-作和-取极限"的过程；

（3）能够利用定积分的性质对积分进行估值和比较。

素质目标：

（1）通过定积分定义中"有限逼近无限"的思想，体会微积分的哲学深度和数学之美；

（2）通过性质的逻辑推导，培养严谨的数学思维和推理能力。

教学重点

1. 定积分的定义（分割-取点-作和-取极限）这是本课的核心内容。学生必须深刻理解定积分的定义过程：将区间 [a,b] 分割为 n 个小区间，在每个小区间上任取一点，构造黎曼和，然后令分割的最大小区间长度趋于零时取极限。这个过程体现了“有限逼近无限”的核心思想。

2. 定积分的基本性质线性性和区间可加性是最基本的运算性质；保序性和估值不等式是比较和估值的工具；积分中值定理是重要的理论工具。这些性质是后续学习微积分基本定理和定积分计算的基础。

教学难点

及应对

难点：

1. 黎曼和的极限思想——定积分的定义涉及"分割无限细化"和"极限"两个概念的叠加。学生容易混淆"n趋于无穷"与"最大小区间长度趋于零"的区别，需要通过直观图示帮助理解。

2. 定积分的几何意义——学生容易将定积分简单等同于面积，需要特别强调当 f(x)<0 时，定积分计算的是"代数面积"（带正负号），而非绝对面积。

3. 从不定积分到定积分的概念转换——不定积分的结果是函数族（含任意常数 C），而定积分的结果是一个确定的数。学生需要理解这一本质区别。

应对策略：

1. 通过 n=4、n=8、n=20 的矩形逼近动态演示，让学生直观感受"分割越细，逼近越精确"；

2. 在讲解几何意义时，用正面积和负面积的彩色填充图加以区分；

3. 通过对比表格明确不定积分与定积分的区别和联系。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：定积分直观引入图、黎曼和分割示意图、定积分几何意义图、基本性质总结表、估值不等式示意图、知识总结图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

讲授法：系统讲解定积分的定义和基本性质

直观演示法：通过矩形逼近的图示帮助学生理解黎曼和与极限过程

对比法：将不定积分与定积分进行对比，帮助学生理解两者的区别与联系

练习法：通过利用性质估值和判断的练习巩固所学内容

教学反思

本节课系统讲授了定积分的概念与性质，从实际问题（面积、路程）出发引出定积分的思想，然后通过"分割-取点-作和-取极限"的过程建立严格定义，接着阐明几何意义和基本性质。通过矩形逼近的直观图示，学生对黎曼和的理解较好。估值不等式和积分中值定理的应用是本课的难点，需要在后续课程中通过更多练习加强。下节课将学习微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式），打通不定积分与定积分的联系。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、问题引入——定积分的实际背景（5分钟）

【教师】同学们，前面七次课我们系统学习了不定积分的各种方法。今天我们开始一个新的重要内容——定积分。先来看两个实际问题：

问题1：曲边梯形的面积

设函数 $f(x) ≥ 0$ 在区间 [a,b] 上连续，求由曲线 y=f(x)、x 轴及直线 x=a、x=b 所围成的曲边梯形的面积。

如果 f(x) 是常数函数，面积 = 底 × 高，这很简单。但如果 f(x) 是一条弯曲的曲线，如何计算面积？

问题2：变速运动的路程

设物体以速度 v=v(t) 做直线运动（v(t) 不恒定），求在时间 [a,b] 内物体走过的路程。

如果速度恒定 v=c，路程 = v × t，这很简单。但如果速度是变化的，如何计算路程？

核心思想：这两个看似不同的问题，其实可以用相同的方法来解决——“分割-取点-作和-取极限”。这正是定积分的基本思想。

二、定积分的定义过程（15分钟）

以面积问题为例，我们来逐步构造定积分的定义：

第一步：分割

在区间 [a,b] 中插入 n-1 个分点：

${a=x}_{0} {<x}_{1} {<x}_{2} < ⋯ {<x}_{n} =b$

将 [a,b] 分成 n 个小区间 ${[x}_{i-1} {,x}_{i}]$ ，每个小区间长度为 $Δ x_{i} {=x}_{i} {-x}_{i-1}$ 。

第二步：取点

在每个小区间 ${[x}_{i-1} {,x}_{i}]$ 上任取一点 $ξ_{i}$ ，用 $f(ξ_{i})$ 作为该小区间上的“代表高度”。

第三步：作和（构造黎曼和）

用小矩形面积之和来近似曲边梯形的面积：

$S_{n} = \sum_{i=1}^{n} f(ξ_{i}) Δ x_{i}$

第四步：取极限

当分割无限细化（最大小区间长度 $λ = max (Δ x_{1}, Δ x_{2}, ⋯, Δ x_{n}) \to 0$ ）时，黎曼和的极限就是定积分：

$\int_{a}^{b} f(x)dx = {lim}_{λ\to0} \sum_{i=1}^{n} f(ξ_{i}) Δ x_{i}$

定义（定积分）：

设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上有界。对 [a,b] 做任意分割，在每个小区间上任取一点 $ξ_{i}$ ，构造黎曼和 $\sum_{i=1}^{n} f(ξ_{i}) Δ x_{i}$ 。若当 $λ \to 0$ 时，此和式的极限存在且与分割方式和取点方式无关，则称 f(x) 在 [a,b] 上可积，记为

$\int_{a}^{b} f(x)dx = {lim}_{λ\to0} \sum_{i=1}^{n} f(ξ_{i}) Δ x_{i}$

符号说明：

$\int_{}^{}$ —— 积分号（elongated S，来自 Sum）；a —— 积分下限；b —— 积分上限；

f(x) —— 被积函数；x —— 积分变量；f(x)dx —— 被积表达式。

重要说明：

（1）定积分的值只与被积函数 f(x) 和积分区间 [a,b] 有关，与积分变量用什么字母无关：

$\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(t)dt = \int_{a}^{b} f(u)du$

（2）定积分的结果是一个确定的数，不含任意常数 C（这与不定积分不同）。

三、定积分的几何意义（5分钟）

几何意义：

定积分 $\int_{a}^{b} f(x)dx$ 表示曲线 y=f(x)、x 轴以及直线 x=a、x=b 所围成区域的代数面积：

（1）在 x 轴上方的部分（f(x)>0）计为正面积；

（2）在 x 轴下方的部分（f(x)<0）计为负面积；

（3）定积分 = 正面积 - 负面积（即“代数面积”，不是绝对面积）。

特别注意：如果需要计算“绝对面积”（即曲线与 x 轴围成区域的面积），应该用 $\int_{a}^{b} |f(x)|dx$ 。

四、不定积分与定积分的对比（5分钟）

不定积分 vs 定积分：

不定积分 $\int_{}^{} f(x)dx$ —— 结果是函数族 F(x)+C（含任意常数）；

定积分 $\int_{a}^{b} f(x)dx$ —— 结果是一个确定的数值。

不定积分回答的是“谁的导数是 f(x)”；定积分回答的是“ f(x) 在 [a,b] 上的累积效果是多少”。

联系预告：下一课将学习牛顿-莱布尼茨公式，它告诉我们 $\int_{a}^{b} f(x)dx =F(b)-F(a)$ ，从而将不定积分与定积分紧密联系起来。

五、利用定义计算定积分（5分钟）

例1 利用定义计算 $\int_{0}^{1} x^{2} dx$ 。

解将 [0,1] 等分为 n 份，每份长度 $Δ x= \frac{1}{n}$ ，取右端点 $ξ_{i} = \frac{i}{n}$ ：

$S_{n} = \sum_{i=1}^{n} f(ξ_{i}) Δ x = \sum_{i=1}^{n} (\frac{i}{n})^{2} ⋅ \frac{1}{n} = \frac{1}{n^{3}} \sum_{i=1}^{n} i^{2}$

利用公式 $\sum_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ：

$S_{n} = \frac{1}{n^{3}} ⋅ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{{6n}^{2}}$

取极限：

$\int_{0}^{1} x^{2} dx = {lim}_{n\to∞} \frac{(n+1)(2n+1)}{{6n}^{2}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

问题引入环节通过曲边梯形面积和变速运动路程两个经典问题，让学生感受定积分的实际来源。这两个问题虽然背景不同，但数学本质相同，帮助学生理解定积分的普遍性。

定积分的定义按照"分割-取点-作和-取极限"四个步骤逐步展开，配合黎曼和的图示（fig02），让学生直观看到：随着分割越来越细（n=4,8,20），矩形的总面积越来越接近曲线下面积。

几何意义部分通过正面积与负面积的彩色图示（fig03），帮助学生理解定积分是"代数面积"而非"绝对面积"。这是一个常见的概念误区，需要早期纠正。

不定积分与定积分的对比帮助学生完成概念转换，同时预告牛顿-莱布尼茨公式，激发学习期待。

利用定义计算的例题展示了定积分定义的完整应用过程，帮助学生深化对"分割-取点-作和-取极限"的理解。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做几道练习题，检验对定积分概念的理解。

练习1：判断下列说法是否正确：

（A） $\int_{0}^{1} x^{2} dx$ 和 $\int_{0}^{1} t^{2} dt$ 的值相同。（）

答：正确。定积分的值与积分变量字母无关。

（B）定积分的结果是一个含任意常数 C 的函数。（）

答：错误。定积分的结果是一个确定的数值，不含 C。

（C）若 f(x) 在 [a,b] 上 f(x)<0，则 $\int_{a}^{b} f(x)dx<0$ 。（）

答：正确。由定积分的保序性可知，f(x)<0 时定积分为负。

练习2：利用定积分的几何意义，求 $\int_{-1}^{1} \sqrt{{1-x}^{2}} dx$ 。

解被积函数 $y= \sqrt{{1-x}^{2}}$ 表示以原点为圆心、半径为1的上半圆。

所围面积为半圆面积 = $\frac{1}{2} π r^{2} = \frac{π}{2}$ 。

因此 $\int_{-1}^{1} \sqrt{{1-x}^{2}} dx = \frac{π}{2}$ 。

【教师】讲评要点：练习1帮助澄清定积分的基本概念；练习2展示了利用几何意义“不用计算就能求积分”的方法——只要能识别出被积函数的图形，就能直接得到积分值。

练习1通过判断题检验学生对定积分核心概念的理解：积分变量的哑变量性质、定积分与不定积分结果的区别、定积分的符号与被积函数的关系。

练习2展示了定积分几何意义的直接应用——通过识别半圆图形，无需计算即可得到结果。这为后续学习提供了一种直观的验证手段。

第二节课

知识讲解

（30 min）

六、定积分的基本性质（20分钟）

补充约定：

（1） $\int_{a}^{a} f(x)dx =0$ ；（2） $\int_{a}^{b} f(x)dx =- \int_{b}^{a} f(x)dx$ （交换上下限，积分变号）。

性质1：线性性

设 $α$ 、 $β$ 为常数，则

$\int_{a}^{b} [α f(x)+ β g(x)]dx= α \int_{a}^{b} f(x)dx+ β \int_{a}^{b} g(x)dx$

性质2：区间可加性

无论 a、b、c 的相对位置如何：

$\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx+ \int_{c}^{b} f(x)dx$

性质3：保序性（比较定理）

若在 [a,b] 上 $f(x) ≤ g(x)$ ，则

$\int_{a}^{b} f(x)dx ≤ \int_{a}^{b} g(x)dx$

推论：若 f(x) $≥ 0$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x)dx ≥ 0$ 。

性质4：绝对值不等式

$| \int_{a}^{b} f(x)dx| ≤ \int_{a}^{b} |f(x)|dx$

性质5：估值不等式

设 M 和 m 分别是 f(x) 在 [a,b] 上的最大值和最小值，则

$m(b-a) ≤ \int_{a}^{b} f(x)dx ≤ M(b-a)$

直观理解：曲线下面积被夹在“最低矩形”和“最高矩形”之间。

例2 估计 $\int_{0}^{1} e^{{-x}^{2}} dx$ 的值。

解在 [0,1] 上， $e^{-1} ≤ e^{{-x}^{2}} ≤ 1$ （因为 0 $≤ x^{2} ≤ 1$ ），

由估值不等式： $e^{-1} (1-0) ≤ \int_{0}^{1} e^{{-x}^{2}} dx ≤ 1 ⋅ (1-0)$ ，即 $\frac{1}{e} ≤ \int_{0}^{1} e^{{-x}^{2}} dx ≤ 1$ 。

七、积分中值定理（10分钟）

定理（积分中值定理）：

若 f(x) 在 [a,b] 上连续，则至少存在一点 $ξ ∈ [a,b]$ ，使得

$\int_{a}^{b} f(x)dx =f(ξ)(b-a)$

直观理解：

曲线下面积等于某个“等高矩形”的面积。换言之，存在一个“平均高度” $f(ξ)$ ，使得矩形面积恰好等于曲线下面积。

积分平均值：

由积分中值定理，f(x) 在 [a,b] 上的平均值为

$\bar f = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x)dx$

例3 设 f(x) 在 [0,1] 上连续，且 $\int_{0}^{1} f(x)dx =2$ ，求 f(x) 在 [0,1] 上的平均值，并说明存在 $ξ ∈ [0,1]$ 使得 $f(ξ)=2$ 。

解平均值 = $\frac{1}{1-0} \int_{0}^{1} f(x)dx = \frac{2}{1} =2$ 。

由积分中值定理，存在 $ξ ∈ [0,1]$ 使得 $f(ξ)= \frac{1}{1-0} \int_{0}^{1} f(x)dx =2$ 。

性质应用小结：线性性和区间可加性用于拆分和化简积分；保序性和估值不等式用于比较和估计积分大小；积分中值定理用于证明存在性问题。

定积分的基本性质按照从简单到复杂的顺序逐一讲解。线性性和区间可加性是运算性质，学生接受度较高；保序性和估值不等式是比较工具，需要通过图示和例题加深理解。

估值不等式部分配合图示（fig05）展示"最低矩形"和"最高矩形"夹住曲线下面积的直观含义，并通过例2（估计高斯积分的界）展示其实际应用——对于无法用初等函数表示原函数的积分，估值不等式是一种有效的近似手段。

积分中值定理是本课的理论高点。通过"平均高度"的直观解释和积分平均值的概念，帮助学生理解定理的几何含义。例3展示了中值定理在求平均值和证明存在性中的应用。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做几道综合练习，巩固定积分的性质。

练习3：利用性质比较下列积分的大小：

$\int_{0}^{1} x^{2} dx$ 与 $\int_{0}^{1} x^{3} dx$ 。

解在 [0,1] 上， $0 ≤ x ≤ 1$ ，因此 $x^{3} ≤ x^{2}$ （因为 0≤x≤1）。

由保序性： $\int_{0}^{1} x^{3} dx ≤ \int_{0}^{1} x^{2} dx$ 。

练习4：估计 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$ 的范围。

解在 [1,2] 上，f(x)=1/x 单调递减，因此

最大值 M=f(1)=1，最小值 m=f(2)=1/2。

由估值不等式： $\frac{1}{2} (2-1) ≤ \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx ≤ 1 ⋅ (2-1)$ ，即 $\frac{1}{2} ≤ \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx ≤ 1$ 。

（事实上 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx = ln 2 ≈ 0.693$ ，确实在 [0.5, 1] 内。）

练习5：利用区间可加性化简：

$\int_{0}^{2} |x-1|dx$

解在 [0,1] 上 |x-1|=1-x；在 [1,2] 上 |x-1|=x-1。

$\int_{0}^{2} |x-1|dx = \int_{0}^{1} (1-x)dx+ \int_{1}^{2} (x-1)dx$

（具体计算待学习牛顿-莱布尼茨公式后即可完成。用几何意义可知两个三角形面积各为 1/2，故总面积 = 1。）

【教师】讲评要点：练习3展示了保序性在比较积分大小中的应用；练习4展示了估值不等式的标准应用流程——找最大值和最小值；练习5展示了区间可加性处理含绝对值积分的方法——在零点处拆分区间。

练习3通过比较积分大小，帮助学生掌握保序性的应用方法。

练习4展示了估值不等式的标准应用——先找函数在区间上的最大值和最小值，再代入不等式。通过与真实值 ln2 的对比，学生可以感受到估值的有效性。

练习5展示了区间可加性在处理含绝对值被积函数中的关键作用——在函数变号的点处拆分积分区间，是定积分计算中的常用技巧。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心内容：

一、定积分的定义：

核心过程——"分割-取点-作和-取极限"：

将 [a,b] 分成 n 个小区间 $\to$ 在每个小区间上取点 $ξ_{i}$ $\to$ 构造黎曼和 $\sum_{i=1}^{n} f(ξ_{i}) Δ x_{i}$ $\to$ 取极限得 $\int_{a}^{b} f(x)dx$

二、几何意义：

定积分 = 正面积 - 负面积（代数面积）。

三、基本性质：

线性性： $\int_{a}^{b} [α f+ β g]dx= α \int_{a}^{b} fdx+ β \int_{a}^{b} gdx$

区间可加性： $\int_{a}^{b} f dx = \int_{a}^{c} f dx+ \int_{c}^{b} f dx$

估值不等式： $m(b-a) ≤ \int_{a}^{b} f dx ≤ M(b-a)$

积分中值定理： $\int_{a}^{b} f(x)dx =f(ξ)(b-a)$ ， $ξ ∈ [a,b]$

作业布置：

（1）利用定积分的几何意义，求 ∫(-1,2) |x|dx。

（2）利用估值不等式，估计 ∫(0,1) (1+x)^(1/3) dx 的范围。

（3）设 f(x) 在 [0,2] 上连续，∫(0,2) f(x)dx=6，求 f(x) 在 [0,2] 上的平均值。

（4）利用定义计算 ∫(0,1) x dx（提示：等分取右端点）。

预习提示：

下节课将学习微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）：

$\int_{a}^{b} f(x)dx =F(b)-F(a)$

这个公式将不定积分与定积分联系起来，使得定积分的计算不再需要“分割-取点-作和-取极限”的繁琐过程，而是直接利用原函数即可完成。请同学们预习教材相关内容。

通过知识总结图（fig06）系统梳理本课核心内容：从实际背景到定积分定义，再到几何意义和基本性质，帮助学生形成完整的知识框架。

作业设计覆盖几何意义（第1题）、估值不等式（第2题）、积分中值定理的平均值应用（第3题）和定积分定义的直接计算（第4题），全面巩固本课内容。

预习提示指向下一课的牛顿-莱布尼茨公式，通过展示公式的优美和计算的便捷性，激发学生的学习兴趣。

教学反思

本节课系统讲授了定积分的概念与性质，从实际问题出发引出定积分的思想，通过“分割-取点-作和-取极限”的过程建立严格定义。以下是具体分析：

（1）问题引入：通过面积问题和路程问题两个经典背景引入定积分，学生接受度较高。特别是将两个看似不同的问题归结为相同的数学方法，帮助学生感受数学的统一性。约90%的学生能理解引入的思路。

（2）定积分的定义：“分割-取点-作和-取极限”的四步过程通过图示辅助讲解效果较好。学生对n=4,8,20的矩形逼近图印象深刻，直观地感受到分割越细逼近越精确。但部分学生（约25%）对“最大小区间长度趋于零”和“取点方式任意”这两个条件的理解还不够深入，需要在后续学习中加强。

（3）几何意义：通过正面积和负面积的彩色图示，学生对“代数面积”的概念理解较好。但约20%的学生在练习中仍混淆“代数面积”和“绝对面积”，需要反复强调。

（4）基本性质：线性性和区间可加性学生掌握较快（正确率约90%）；估值不等式的应用需要找最大值和最小值，部分学生在这一步遇到困难（正确率约70%）；积分中值定理的理解和应用是最大的挑战（正确率约60%），需要更多例题支撑。

（5）改进方向：①利用定义计算的例题可以增加一道（如 ∫(0,1)xdx），让学生在简单情形下完整体验定义的应用过程；②估值不等式部分可以补充更多实际应用场景；③积分中值定理部分可以通过“平均值”的物理含义（如平均速度、平均温度）来增强直观理解。