定积分的计算方法

教学项目

定积分的计算方法

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

在前几次课中，学生已经系统学习了定积分的概念、基本性质，掌握了微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式），能够利用 F(b)-F(a) 计算被积函数有直接原函数的定积分。同时，学生在不定积分阶段已经掌握了换元积分法和分部积分法。

然而，定积分的换元法与不定积分的换元法存在关键区别：定积分换元时必须同步改变积分上下限（“换元必换限”），且不需要回代变量。此外，定积分还有许多特有的计算技巧，如利用奇偶性、周期性简化计算，以及区间再现公式等。

从学生的学习基础来看：（1）牛顿-莱布尼茨公式的运用已比较熟练；（2）不定积分的换元法和分部积分法有一定基础，但将其迁移到定积分计算中仍需指导；（3）学生对定积分特有的简化技巧（奇偶性、对称性）尚未系统接触。

根据教学计划，本课时为第19-20学时（累计20学时），下一课将介绍Wallis公式和更多定积分计算技巧。

教学目标

知识目标：

（1）掌握定积分的换元积分法——理解“换元必换限”的核心原则：令 $x= ϕ (t)$ 时，积分上下限同步变为 $α = ϕ^{-1} (a)$ ， $β = ϕ^{-1} (b)$ ，换元后直接用新变量求值，无需回代；

（2）掌握定积分的分部积分法公式： $\int_{a}^{b} udv {=[uv]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} vdu$ ；

（3）了解利用被积函数的奇偶性、周期性简化定积分计算的方法；

（4）了解区间再现公式及其在对称区间上的应用。

能力目标：

（1）能够正确地对定积分进行换元，特别是同步变换积分限；

（2）能够灵活选用换元法或分部积分法计算定积分；

（3）能够利用奇偶性等性质快速判断和简化定积分。

素质目标：

（1）通过定积分换元法与不定积分换元法的对比，体会数学方法的继承与发展；

（2）通过奇偶性、对称性等技巧的运用，培养化繁为简的数学思维。

教学重点

1. 定积分换元法（换元必换限）定积分换元法的关键在于积分限的同步变换。令 x=φ(t) 后，积分上下限由 x 的值 a, b 对应变为 t 的值 α, β。换元后直接用新变量和新积分限求值，不再需要回代原变量。

2. 定积分分部积分法将不定积分的分部积分公式推广到定积分：积分限直接带入 [uv] 项。选取 u 和 dv 的策略与不定积分相同（“反对幂指三”口诀），但需注意在每一步都正确处理积分限。

3. 利用奇偶性和对称性简化在对称区间 [-a, a] 上，奇函数的定积分为零，偶函数的定积分等于两倍的半区间积分。这些性质可以显著简化计算。

教学难点

及应对

难点：

1. 换元必换限的操作——学生容易沿用不定积分的习惯，换元后忘记同步改变积分限，或者换元后仍然回代原变量，导致错误。需要反复强调定积分换元的独特之处。

2. 积分限的对应关系——当换元函数较复杂时（如三角换元），学生可能在确定新积分限时出错。需要通过具体例子帮助学生掌握求新限的方法。

3. 分部积分中 [uv] 项的计算——学生在代入积分限时容易计算失误，特别是涉及多次分部积分时，中间步骤较多，容易出现符号或数值错误。

应对策略：

1. 通过不定积分换元法与定积分换元法的对比，突出“换元必换限”这一关键区别；

2. 每道换元例题都明确标出新旧积分限的对应关系；

3. 分部积分例题中逐步展示计算过程，强调代入积分限的规范书写。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：定积分换元法要点图、分部积分法公式图、方法对比图、计算技巧总结图、例题解题流程图、知识总结图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

讲授法：系统讲解定积分换元法和分部积分法的公式与操作步骤

对比法：将定积分计算方法与不定积分计算方法对照展示，突出异同

例题教学法：通过典型例题演示完整的计算过程，培养规范书写习惯

练习法：讲练结合，通过分级练习（基本→综合）逐步提升计算能力

教学反思

本节课系统讲授了定积分的两大计算方法——换元法和分部积分法，并介绍了利用奇偶性、对称性简化定积分的技巧。通过与不定积分计算方法的对比，突出了定积分计算的独特之处（换元必换限、积分限直接代入）。课堂练习反馈表明，基本的换元法和分部积分法掌握较好，但涉及三角换元和多次分部积分的综合题目仍需加强练习。下节课将介绍Wallis公式和更多计算技巧。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、复习导入（5分钟）

【教师】同学们，前面我们学习了牛顿-莱布尼茨公式，知道了计算定积分的基本途径：找到被积函数的原函数 F(x)，然后用 F(b)-F(a) 求值。在不定积分阶段，我们还掌握了两个强大的求原函数工具——换元积分法和分部积分法。

回顾：牛顿-莱布尼茨公式

$\int_{a}^{b} f(x)dx =F(b)-F(a)$ ，其中 F'(x)=f(x)。

引出问题：如果被积函数较复杂，无法直接找到原函数，该怎么办？能否把不定积分的换元法和分部积分法直接用到定积分上？

【教师】答案是肯定的，但有一个关键区别——定积分有积分上下限。换元时必须同步改变积分限！这就是今天要学习的核心内容。

二、定积分的换元积分法（15分钟）

定理（定积分的换元法）：

设 f(x) 在 [a,b] 上连续，令 $x= ϕ (t)$ ，若 φ(t) 满足：

（1）φ(α)=a，φ(β)=b；（2）φ(t) 在 [α,β]（或 [β,α]）上有连续导数；（3）φ(t) 的值域包含 [a,b]。则

$\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{α}^{β} f(ϕ (t)) ϕ^{′} (t)dt$

核心要点——换元必换限：换元后，积分限从 x 的范围 [a,b] 变为 t 的范围 [α,β]，计算完毕后无需回代变量，直接用新变量求值！

与不定积分换元法的关键区别：

不定积分换元：换元 → 计算 → 必须回代原变量

定积分换元：换元同时换限 → 用新变量直接计算 → 无需回代

例1 计算 $\int_{0}^{π} {sin}^{2} x cos x dx$ 。

解令 u=sinx，则 du=cosxdx。

换限：当 x=0 时，u=sin0=0；当 x=π 时，u=sinπ=0。

$\int_{0}^{π} {sin}^{2} x cos x dx = \int_{0}^{0} u^{2} du =0$

注意：换限后上下限相同，积分直接为0！这说明换限可以快速判断某些积分的值。

例2 计算 $\int_{0}^{4} \sqrt{{16-x}^{2}} dx$ 。（三角换元）

解令 x=4sint，则 dx=4costdt。

换限：当 x=0 时，t=0；当 x=4 时，sint=1，即 t=π/2。

$\sqrt{{16-x}^{2}} = \sqrt{16-16 {sin}^{2} t} =4 cos t$

$\int_{0}^{4} \sqrt{{16-x}^{2}} dx = \int_{0}^{\frac{π}{2}} 4 cos t ⋅ 4 cos tdt =16 \int_{0}^{\frac{π}{2}} {cos}^{2} tdt$

利用降幂公式 ${cos}^{2} t= \frac{1+ cos 2t}{2}$ ：

$=16 ⋅ \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1+ cos 2t)dt =8[t+ \frac{sin 2t}{2} {]_{0}}^{\frac{π}{2}}$

$=8(\frac{π}{2} +0-0-0)=4 π$

验证：此积分的几何意义为半径为4的四分之一圆面积， $\frac{1}{4} π ⋅ 4^{2} =4 π$ ✓

三、定积分的分部积分法（15分钟）

公式（定积分的分部积分法）：

$\int_{a}^{b} udv {=[uv]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} vdu$

即：

$\int_{a}^{b} {u(x)v}^{′} (x)dx {=u(x)v(x)|}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} {v(x)u}^{′} (x)dx$

要点：（1）[uv] 项需代入积分上下限；（2）选 u 和 dv 的策略与不定积分相同（“反对幂指三”口诀）；（3）目标是使 ∫vdu 比原积分更容易。

例3 计算 $\int_{0}^{1} {xe}^{x} dx$ 。

解令 u=x，dv=e^xdx，则 du=dx，v=e^x。

$\int_{0}^{1} {xe}^{x} dx {=[xe}^{x} {]_{0}}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} dx$

$=(1 ⋅ e^{1} -0 ⋅ e^{0} {)-[e}^{x} {]_{0}}^{1} =e-(e-1)=1$

验证：数值计算 ∫₀¹ xe^x dx ≈ 1.000 ✓

例4 计算 $\int_{1}^{e} x ln x dx$ 。

解令 u=lnx，dv=xdx，则 du=(1/x)dx， $v= \frac{x^{2}}{2}$ 。

$\int_{1}^{e} x ln x dx =[\frac{x^{2}}{2} ln {x]}_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{2} ⋅ \frac{1}{x} dx$

$= \frac{e^{2}}{2} ⋅ 1-0- \frac{1}{2} \int_{1}^{e} xdx$

$= \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} ⋅ \frac{x^{2}}{2} {|_{1}}^{e} = \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} ⋅ \frac{e^{2} -1}{2} = \frac{e^{2} +1}{4}$

验证： $\frac{e^{2} +1}{4} ≈ 2.097$ ✓

关键总结：定积分的换元法和分部积分法是不定积分对应方法在定积分中的推广。核心区别在于：换元法要“换元必换限”，分部积分法中 [uv] 项要代入积分限。

复习导入从牛顿-莱布尼茨公式出发，自然引出“如何求复杂函数的定积分”这一问题，帮助学生将不定积分的方法与定积分联系起来。

定积分换元法部分重点强调“换元必换限”这一核心要点，通过与不定积分换元法的对比，帮助学生理解定积分换元的独特之处。配合fig01直观展示换元过程。

例1展示了换限后上下限相同导致积分为零的特殊情形，加深学生对换限的理解。例2是经典的三角换元，综合了换限、三角恒等变换、降幂公式等多个知识点。

分部积分法部分给出定积分版本的公式，强调 [uv] 项需代入积分限。例3和例4分别展示了 xe^x 和 xlnx 型定积分的分部积分过程。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做几道练习题，检验对定积分换元法和分部积分法的掌握情况。

练习1：计算 $\int_{0}^{1} {(2x+1)}^{3} dx$ 。

解令 u=2x+1，du=2dx。换限：x=0 时 u=1，x=1 时 u=3。

$\int_{0}^{1} {(2x+1)}^{3} dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} u^{3} du = \frac{1}{2} ⋅ \frac{u^{4}}{4} {|_{1}}^{3} = \frac{1}{8} (81-1)=10$

练习2：计算 $\int_{0}^{1} {x e}^{-x} dx$ 。

解分部积分：令 u=x，dv=e^{-x}dx，则 du=dx，v=-e^{-x}。

$\int_{0}^{1} {xe}^{-x} dx {=[-xe}^{-x} {]_{0}}^{1} + \int_{0}^{1} e^{-x} dx$

${=-e}^{-1} {+[-e}^{-x} {]_{0}}^{1} {=-e}^{-1} {+(-e}^{-1} {+1)=1-2e}^{-1}$

即 $=1- \frac{2}{e} ≈ 0.264$ ✓

练习3：计算 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} {sin}^{3} xdx$ 。

解将 sin³x 拆分为 sin²x·sinx=(1-cos²x)sinx：

令 u=cosx，du=-sinxdx。换限：x=0 时 u=1，x=π/2 时 u=0。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1- {cos}^{2} x) sin xdx =- \int_{1}^{0} {(1-u}^{2})du = \int_{0}^{1} {(1-u}^{2})du$

$=[u- \frac{u^{3}}{3} {]_{0}}^{1} =1- \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

【教师】讲评要点：练习1是简单线性换元配合换限；练习2是分部积分法的标准应用；练习3综合了三角恒等变换与换元换限。

三道练习分别覆盖：线性换元配合换限（练习1）、分部积分法（练习2）、三角函数拆分后换元（练习3）。帮助学生巩固本节课两大计算方法。

每道练习都要求学生明确写出换限过程或分部积分的 [uv] 代入过程，培养规范的书写习惯。

第二节课

知识讲解

（30 min）

四、利用奇偶性和对称性简化定积分（10分钟）

定理（奇偶性）：设 f(x) 在 [-a,a] 上连续，则：

（1）若 f(x) 为奇函数，则 $\int_{-a}^{a} f(x)dx =0$ ；

（2）若 f(x) 为偶函数，则 $\int_{-a}^{a} f(x)dx =2 \int_{0}^{a} f(x)dx$ 。

例5 计算 $\int_{-1}^{1} {(x}^{3} {+x}^{2})dx$ 。

解在 [-1,1] 上，x³ 为奇函数，x² 为偶函数。

$\int_{-1}^{1} {(x}^{3} {+x}^{2})dx = \int_{-1}^{1} x^{3} dx+ \int_{-1}^{1} x^{2} dx =0+2 \int_{0}^{1} x^{2} dx$

$=2 ⋅ \frac{x^{3}}{3} {|_{0}}^{1} =2 ⋅ \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

例6 计算 $\int_{-π}^{π} x sin xdx$ 。

分析：f(x)=xsinx，检验奇偶性：f(-x)=(-x)sin(-x)=(-x)(-sinx)=xsinx=f(x)，所以 f(x) 为偶函数。

解

$\int_{-π}^{π} x sin xdx =2 \int_{0}^{π} x sin xdx$

对 $\int_{0}^{π} x sin xdx$ 用分部积分：令 u=x，dv=sinxdx：

$\int_{0}^{π} x sin xdx =[-x cos {x]}_{0}^{π} + \int_{0}^{π} cos xdx$

$=(- π ⋅ (-1)-0)+[sin {x]}_{0}^{π} = π +0= π$

故 $\int_{-π}^{π} x sin xdx =2 π$ 。

五、区间再现公式（10分钟）

定理（区间再现公式）：

$\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x)dx$

证明思路：令 t=a+b-x，则 dt=-dx，当 x=a 时 t=b，当 x=b 时 t=a。

$\int_{a}^{b} f(x)dx =- \int_{b}^{a} f(a+b-t)dt = \int_{a}^{b} f(a+b-t)dt$

将哑变量 t 改回 x 即得。

例7 计算 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{sin x}{sin x+ cos x} dx$ 。

解设 $I= \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{sin x}{sin x+ cos x} dx$ 。

由区间再现公式（a+b=π/2），令 x → π/2 - x：

$I= \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{sin (\frac{π}{2} -x)}{sin (\frac{π}{2} -x)+ cos (\frac{π}{2} -x)} dx = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{cos x}{cos x+ sin x} dx$

将两个等式相加：

$2I= \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{sin x+ cos x}{sin x+ cos x} dx = \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1dx = \frac{π}{2}$

故 $I= \frac{π}{4}$ 。

六、综合例题（10分钟）

例8 计算 $\int_{0}^{1} x^{2} e^{x} dx$ 。（两次分部积分）

解第一次分部：令 u=x²，dv=e^xdx，则 du=2xdx，v=e^x。

$\int_{0}^{1} x^{2} e^{x} dx {=[x}^{2} e^{x} {]_{0}}^{1} - \int_{0}^{1} {2xe}^{x} dx =e-2 \int_{0}^{1} {xe}^{x} dx$

第二次分部：对 $\int_{0}^{1} {xe}^{x} dx$ ，令 u=x，dv=e^xdx：

$\int_{0}^{1} {xe}^{x} dx {=[xe}^{x} {]_{0}}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} dx {=e-[e}^{x} {]_{0}}^{1} =e-(e-1)=1$

因此 $\int_{0}^{1} x^{2} e^{x} dx =e-2 × 1=e-2$ 。

例9 计算 $\int_{0}^{1} \frac{ln x}{{(1+x)}^{2}} dx$ 。（换元+分部）

解注意此题较综合。先用分部积分法：令 u=lnx， $dv= \frac{1}{{(1+x)}^{2}} dx$ ，

则 du=(1/x)dx， $v=- \frac{1}{1+x}$ 。

$\int_{0}^{1} \frac{ln x}{{(1+x)}^{2}} dx =[- \frac{ln x}{1+x} {]_{0}}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{x(1+x)} dx$

其中 $[- \frac{ln x}{1+x} {]_{0}}^{1} =- \frac{ln 1}{2} + {lim}_{x\to0^{+}} \frac{ln x}{1+x} =0+0=0$ （利用洛必达法则确认极限为0）。

对余下积分，拆分部分分式： $\frac{1}{x(1+x)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{1+x}$ 。

$\int_{0}^{1} (\frac{1}{x} - \frac{1}{1+x})dx =[ln x- ln {(1+x)]}_{0}^{1} =[ln \frac{x}{1+x} {]_{0}}^{1}$

$= ln \frac{1}{2} - {lim}_{x\to0^{+}} ln \frac{x}{1+x} = ln \frac{1}{2} -(- ∞)$

注意：此积分为瑕积分（x=0 处被积函数无界），需单独讨论收敛性。此例作为拓展，留给同学们课后思考。

关键总结：定积分计算的方法选择策略：（1）先观察被积函数的结构特征；（2）含复合函数或根式时优先考虑换元法；（3）含两类函数乘积时优先考虑分部积分法；（4）在对称区间上注意利用奇偶性简化。

奇偶性部分通过两个具体例题展示利用奇偶性简化定积分的方法。例5展示了直接利用奇偶性拆分的简单情形，例6结合了奇偶性判断和分部积分。

区间再现公式是定积分计算中一个重要的技巧。通过例7这个经典问题（sinx/(sinx+cosx)的定积分），让学生体会区间再现公式的妙用。

综合例题部分通过两次分部积分的例8和换元+分部的例9，帮助学生掌握多步骤综合计算的方法。例9作为拓展思考题，引导学生关注瑕积分的概念。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做综合练习，巩固定积分各种计算方法。

练习4：计算 $\int_{-2}^{2} {(x}^{3} cos {x+x}^{4})dx$ 。

解在 [-2,2] 上，x³cosx 为奇函数（奇×偶=奇），x⁴ 为偶函数。

$\int_{-2}^{2} {(x}^{3} cos {x+x}^{4})dx =0+2 \int_{0}^{2} x^{4} dx =2 ⋅ \frac{x^{5}}{5} {|_{0}}^{2} =2 ⋅ \frac{32}{5} = \frac{64}{5}$

练习5：计算 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{cos x}{sin x+ cos x} dx$ 。

解由区间再现公式（类似例7）：

设 $I= \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{cos x}{sin x+ cos x} dx$ ，由例7知 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{sin x}{sin x+ cos x} dx = \frac{π}{4}$ 。

两式相加得 $\frac{π}{2}$ ，故 $I= \frac{π}{4}$ 。

练习6：计算 $\int_{0}^{2} x \sqrt{{4-x}^{2}} dx$ 。

解令 u=4-x²，du=-2xdx。换限：x=0 时 u=4，x=2 时 u=0。

$\int_{0}^{2} x \sqrt{{4-x}^{2}} dx =- \frac{1}{2} \int_{4}^{0} \sqrt{u} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} u^{\frac{1}{2}} du$

$= \frac{1}{2} ⋅ \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} {|_{0}}^{4} = \frac{1}{3} ⋅ 4^{\frac{3}{2}} = \frac{8}{3}$

【教师】讲评要点：练习4利用奇偶性大大简化了计算；练习5是区间再现公式的直接应用；练习6综合了换元换限和幂函数积分。

三道综合练习分别覆盖：奇偶性简化（练习4）、区间再现公式（练习5）、换元换限（练习6）。全面检验学生对本课各种计算方法的掌握情况。

练习4和练习5考查学生能否快速识别并运用定积分的特殊性质，练习6考查基本的换元换限操作。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心内容：

一、定积分的换元积分法：

核心原则——换元必换限：令 $x= ϕ (t)$ 后，积分限同步变换：

$\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{α}^{β} f(ϕ (t)) ϕ^{′} (t)dt$

换元后直接用新变量求值，无需回代！

二、定积分的分部积分法：

$\int_{a}^{b} udv {=[uv]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} vdu$

注意 [uv] 项需代入积分限。选 u 和 dv 的策略：“反对幂指三”。

三、常用简化技巧：

奇偶性：对称区间上奇函数积分为零，偶函数积分加倍

区间再现： $\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x)dx$

四、方法选择策略：

（1）含复合结构或根式 → 换元法；

（2）两类函数乘积 → 分部积分法；

（3）对称区间 → 先判断奇偶性；

（4）分子分母结构对称 → 区间再现公式。

作业布置：

计算以下定积分（要求写出完整过程）：

① $\int_{0}^{2} \sqrt{{2x-x}^{2}} dx$ ② $\int_{0}^{1} x^{2} e^{-x} dx$ ③ $\int_{-1}^{1} \frac{x^{2}}{{1+e}^{x}} dx$

④ $\int_{0}^{π} x {sin}^{2} xdx$ ⑤ $\int_{0}^{\frac{π}{2}} {cos}^{3} xdx$ ⑥ $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{1+ tan x} dx$

预习提示：

下节课将介绍Wallis公式（华里士公式）和更多定积分计算技巧，包括三角函数高次幂的定积分递推公式等。请同学们预习教材中关于Wallis公式的内容，思考：如何利用递推关系求 ∫₀^(π/2) sinⁿx dx？

通过知识总结图系统梳理本节课的核心内容：定积分换元法、分部积分法、奇偶性简化、区间再现公式，以及方法选择策略。帮助学生形成完整的知识框架。

作业设计覆盖本课全部方法：三角换元（①）、分部积分（②④）、奇偶性（③）、三角积分（⑤）、区间再现（⑥）。难度由基础到综合。

预习任务指向下节课的Wallis公式，通过三角函数高次幂积分的递推问题激发思考，帮助学生带着问题进入新课的学习。

教学反思

本节课系统讲授了定积分的两大计算方法——换元法和分部积分法，以及利用奇偶性、区间再现公式等技巧简化定积分计算。以下是具体分析：

（1）换元法教学：通过与不定积分换元法的对比，重点强调“换元必换限”这一核心区别。例1中换限后上下限相同导致积分为零的巧妙情形给学生留下了深刻印象，约90%的学生能正确理解换限操作。例2的三角换元综合性较强，独立完成率约65%，需要更多练习。

（2）分部积分法教学：公式本身不难理解，但在代入积分限时容易出错。例3（∫xe^xdx）的完成率约85%，例4（∫xlnxdx）需要注意 v 的选取，完成率约70%。两次分部积分的例8对约55%的学生有一定难度。

（3）奇偶性和区间再现公式：学生对利用奇偶性简化计算的接受度较高（掌握率约85%），但区间再现公式的应用（例7）需要较强的技巧意识，独立完成率约50%。

（4）综合应用：学生在面对具体问题时，对“选择何种方法”的判断力仍需提升。建议在后续课程中多安排综合题型的练习，帮助学生建立方法选择的直觉。

（5）改进方向：① 可在换元法教学中增加更多不同类型的换元对比（线性换元 vs 三角换元）；② 分部积分法的多次分部可以用表格法辅助展示，降低计算难度；③ 区间再现公式可以多准备几道同类型的练习题，帮助学生建立模式识别能力。