定积分的计算方法续

教学项目	定积分的计算方法（续）
授课地点	多媒体教室		授课形式		线下教学
学情分析	上次课（第10课）学生学习了定积分的换元积分法和分部积分法，掌握了“换元必换限”的核心原则，能够运用三角代换、凑微分型换元以及分部积分法计算定积分。同时，学生已初步接触了利用奇偶性简化定积分计算的方法和华里士（Wallis）公式。从课堂测验和课后作业反馈来看：（1）换元法的基本操作学生已基本掌握，但在选择代换方式时仍需积累更多经验；（2）Wallis公式的两种情形（奇数与偶数）学生容易混淆，需要进一步强化记忆和训练；（3）综合运用多种方法（奇偶性+换元+Wallis公式）解决复杂积分问题的能力尚需提升。本节课将深入讲解Wallis公式的应用，引入区间再现公式这一重要工具，系统总结奇偶性与周期性在定积分计算中的应用，并通过综合例题训练学生灵活选择方法解决定积分计算问题的能力。根据教学计划，本课时为第21-22学时（累计22学时）。
教学目标	知识目标：（1）熟练掌握华里士（Wallis）公式，能准确区分 n 为奇数和偶数两种情形并快速计算 $\int_{0}^{π/2} {sin}^{n} xdx$ 和 $\int_{0}^{π/2} {cos}^{n} xdx$ ；（2）掌握区间再现公式 $\int_{0}^{a} f(x)dx = \int_{0}^{a} f(a−x)dx$ ，理解其证明思路及推广形式；（3）熟练运用奇偶性简化对称区间上的定积分：偶函数 $\int_{-a}^{a} f(x)dx =2 \int_{0}^{a} f(x)dx$ ，奇函数 $\int_{-a}^{a} f(x)dx =0$ ；（4）掌握周期函数定积分性质 $\int_{0}^{nT} f(x)dx =n \int_{0}^{T} f(x)dx$ ；（5）能综合运用以上多种方法灵活计算各类定积分。能力目标：（1）培养根据被积函数的结构特征（奇偶性、周期性、对称性）灵活选择计算方法的分析能力；（2）提升面对复杂积分问题时的“先观察后计算”的策略意识；（3）培养多种方法综合运用、相互配合解题的能力。素质目标：（1）通过区间再现公式的证明与应用，体会数学变换的对称美；（2）通过综合计算训练，培养耐心细致、条理清晰的解题习惯；（3）通过多种方法的对比选择，培养追求简洁优美解法的数学审美意识。
教学重点	1. Wallis公式的熟练运用能快速区分 n 为奇数和偶数两种情形，准确写出双阶乘表达式并计算结果。特别注意偶数情形末尾乘 π/2，奇数情形不带 π/2。 2. 区间再现公式及其应用掌握区间再现公式的推导过程和应用场景。这是处理某些特殊结构定积分（如 ∫ xf(sinx)dx 在 [0, π] 上的积分）的关键工具。 3. 综合方法的灵活运用面对一道定积分计算题，能够先观察被积函数的结构特征（是否有奇偶性？是否有周期性？区间是否特殊？），再选择最优方法或方法组合。
教学难点及应对	难点： 1. 区间再现公式的灵活应用——学生容易记住公式形式但不知道何时使用。如何判断一道题需要用区间再现而不是普通换元，需要经验积累。 2. 综合问题中方法的选择——如计算 $\int_{0}^{π} x {sin}^{2} xdx$ 需要先用区间再现再结合 Wallis 公式，学生初学时不容易想到方法组合。 3. Wallis公式中双阶乘的记忆——(n-1)!! 和 n!! 的展开容易出错，特别是在 n 较大时。应对策略： 1. 区间再现公式的讲解采用“证明思路+典型应用+练习巩固”三步走，帮助学生建立应用直觉； 2. 综合例题示范时，明确标注“分析过程”——先判断结构特征，再选择方法，最后计算，培养学生规范的解题思维流程； 3. 通过对比表格和记忆口诀帮助学生区分和记忆Wallis公式的两种情形。
教学资源	多媒体课件（PPT）、板书教学图片：Wallis公式总结表、区间再现公式图解、奇偶性积分示意图、周期函数积分性质图、综合计算决策图、知识总结图课堂练习题（配套习题）
教学方法	讲授法：系统讲解Wallis公式的应用和区间再现公式归纳法：通过多个例题归纳各种方法的适用场景对比法：对比不同方法在同一题目上的效率差异，培养最优方法选择意识图示法：通过决策图帮助学生建立方法选择的思维框架练习法：讲练结合，每个知识点后立即进行课堂练习，强化训练
教学反思	本节课是定积分计算方法（续），以Wallis公式深化、区间再现公式和综合计算为主线。课堂表现来看，学生对Wallis公式经过强化练习后掌握明显提升，偶数带π/2的记忆口诀效果良好。区间再现公式是学生首次接触的新工具，理解其形式较快，但在应用环节部分学生还不能主动想到使用该方法，需要在后续课程中继续训练。综合计算部分展示了多种方法的灵活组合，对培养学生的分析能力有较好效果。
授课教师（签字）		教研室主任（签字）		教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、复习引入（5分钟）

【教师】同学们，上节课我们学习了定积分的换元积分法和分部积分法，也初步接触了奇偶性和Wallis公式。先来回顾几个核心知识点：

回顾1：换元必换限

$\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{α}^{β} f[ϕ(t)] ϕ^{′} (t)dt$

回顾2：分部积分法

$\int_{a}^{b} udv {=[uv]}_{a}^{b} − \int_{a}^{b} vdu$

引出问题：上次课我们遇到了一些用换元法或分部积分法直接处理很繁琐的积分，比如三角函数的高次幂积分。今天我们将深入学习更高效的计算工具——Wallis公式和区间再现公式，并系统总结利用被积函数性质简化计算的方法。

二、Wallis公式深化应用（15分钟）

Wallis公式回顾：

$\int_{0}^{π/2} {sin}^{n} xdx = \int_{0}^{π/2} {cos}^{n} xdx$

n 为偶数： $I_{n} = \frac{(n−1)!!}{n!!} ⋅ \frac{π}{2}$ （末尾乘 π/2）

n 为奇数： $I_{n} = \frac{(n−1)!!}{n!!}$ （结果为有理数）

记忆口诀：“偶数带π/2，奇数不带”。

例1 计算 $\int_{0}^{π/2} {sin}^{8} xdx$ 。

解 n = 8 为偶数，由 Wallis 公式：

$\int_{0}^{π/2} {sin}^{8} xdx = \frac{7!!}{8!!} ⋅ \frac{π}{2} = \frac{7× 5× 3× 1}{8× 6× 4× 2} ⋅ \frac{π}{2} = \frac{105}{384} ⋅ \frac{π}{2} = \frac{35π}{256}$

例2 计算 $\int_{0}^{π/2} {cos}^{7} xdx$ 。

解 n = 7 为奇数，由 Wallis 公式：

$\int_{0}^{π/2} {cos}^{7} xdx = \frac{6!!}{7!!} = \frac{6× 4× 2}{7× 5× 3× 1} = \frac{48}{105} = \frac{16}{35}$

例3 计算 $\int_{0}^{π} {sin}^{6} xdx$ 。

分析：积分区间是 [0, π] 而非 [0, π/2]。由于 ${sin}^{6} (π−x)= {sin}^{6} x$ ，所以

$\int_{0}^{π} {sin}^{6} xdx =2 \int_{0}^{π/2} {sin}^{6} xdx$

解 n = 6 为偶数：

$=2⋅ \frac{5!!}{6!!} ⋅ \frac{π}{2} =2⋅ \frac{5× 3× 1}{6× 4× 2} ⋅ \frac{π}{2} =2⋅ \frac{15}{48} ⋅ \frac{π}{2} = \frac{5π}{16}$

三、区间再现公式（15分钟）

定理（区间再现公式）：

$\int_{0}^{a} f(x)dx = \int_{0}^{a} f(a−x)dx$

证明：令 t = a - x，则 dt = -dx。

当 x = 0 时，t = a；当 x = a 时，t = 0。

$\int_{0}^{a} f(x)dx =− \int_{a}^{0} f(a−t)dt = \int_{0}^{a} f(a−t)dt$

由于积分变量是哑变量（用 x 或 t 均可），因此

$\int_{0}^{a} f(x)dx = \int_{0}^{a} f(a−x)dx$

推广形式：

$\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(a+b−x)dx$

重要应用1：

若 f(sinx) 在 [0, π] 上连续，则

$\int_{0}^{π} xf(sin x)dx = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} f(sin x)dx$

证明思路令 t = π - x，得

$I= \int_{0}^{π} xf(sin x)dx = \int_{0}^{π} (π−t)f(sin t)dt =π \int_{0}^{π} f(sin t)dt−I$

因此 $2I=π \int_{0}^{π} f(sin x)dx$ ，得 $I= \frac{π}{2} \int_{0}^{π} f(sin x)dx$ 。

重要应用2：

$\int_{0}^{π/2} f(sin x)dx = \int_{0}^{π/2} f(cos x)dx$

（令 t = π/2 - x 即可证明。这正是 Wallis 公式中 sin 和 cos 结果相同的原因。）

例4 计算 $\int_{0}^{π} x {sin}^{3} xdx$ 。

解利用区间再现，f(sinx) = sin³x：

$\int_{0}^{π} x {sin}^{3} xdx = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} {sin}^{3} xdx$

由于 ${sin}^{3} (π−x)= {sin}^{3} x$ ，所以

$\int_{0}^{π} {sin}^{3} xdx =2 \int_{0}^{π/2} {sin}^{3} xdx$

n = 3 为奇数，由 Wallis 公式： $\int_{0}^{π/2} {sin}^{3} xdx = \frac{2!!}{3!!} = \frac{2}{3}$

因此 $\int_{0}^{π} x {sin}^{3} xdx = \frac{π}{2} ⋅ 2⋅ \frac{2}{3} = \frac{2π}{3}$

例5 计算 $\int_{0}^{1} \frac{x^{5}}{{(1+x)}^{8}} dx$ 。（用区间再现简化）

分析：观察到 [0, 1] 区间，可令 t = 1 - x，利用区间再现。但本题更巧妙的做法如下：

解令 $t= \frac{x}{1+x}$ ，则 $x= \frac{t}{1−t}$ ， $dx= \frac{1}{{(1−t)}^{2}} dt$ 。

换限：当 x = 0 时，t = 0；当 x = 1 时，t = 1/2。

注意到 $\frac{x}{1+x} =t$ ，即 $\frac{1}{1+x} =1−t$ 。因此

$\int_{0}^{1} \frac{x^{5}}{{(1+x)}^{8}} dx = \int_{0}^{1/2} t^{5} {(1−t)}^{8} ⋅ \frac{1}{{(1−t)}^{2}} dt = \int_{0}^{1/2} t^{5} {(1−t)}^{6} ⋅ \frac{1}{{(1−t)}^{0}} dt$

即 $= \int_{0}^{1/2} t^{5} (1−t)dt = \int_{0}^{1/2} {(t}^{5} {−t}^{6})dt =[\frac{t^{6}}{6} − \frac{t^{7}}{7} {]_{0}}^{1/2}$

$= \frac{1}{6⋅ 64} − \frac{1}{7⋅ 128} = \frac{1}{384} − \frac{1}{896} = \frac{7−3}{2688} = \frac{1}{672}$

复习引入环节回顾上节课的换元法和分部积分法要点，建立与本节课的衔接。

Wallis公式深化部分通过例1和例2巩固基本运用，例3展示如何将[0, π]上的积分化为[0, π/2]上的积分再使用公式，拓展应用范围。

区间再现公式部分从证明出发建立理解，然后给出两个重要应用——∫xf(sinx)dx的化简和sin/cos互换，帮助学生理解公式的深层含义。

例4综合运用区间再现公式和Wallis公式，是典型的“方法组合”题型，培养学生多方法协同解题的能力。

例5展示区间再现思想在非标准形式中的灵活运用，拓展学生视野。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做几道练习题，巩固Wallis公式和区间再现公式的应用。

练习1：计算 $\int_{0}^{π/2} {sin}^{10} xdx$ 。（Wallis公式）

解 n = 10 为偶数，由 Wallis 公式：

$\int_{0}^{π/2} {sin}^{10} xdx = \frac{9!!}{10!!} ⋅ \frac{π}{2} = \frac{9× 7× 5× 3× 1}{10× 8× 6× 4× 2} ⋅ \frac{π}{2} = \frac{945}{3840} ⋅ \frac{π}{2} = \frac{63π}{512}$

练习2：计算 $\int_{0}^{π/2} {cos}^{9} xdx$ 。（Wallis公式）

解 n = 9 为奇数，由 Wallis 公式：

$\int_{0}^{π/2} {cos}^{9} xdx = \frac{8!!}{9!!} = \frac{8× 6× 4× 2}{9× 7× 5× 3× 1} = \frac{384}{945} = \frac{128}{315}$

练习3：计算 $\int_{0}^{π} x sin xdx$ 。（区间再现）

解利用区间再现公式（f(sinx) = sinx）：

$\int_{0}^{π} x sin xdx = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} sin xdx = \frac{π}{2} [− cos {x]}_{0}^{π} = \frac{π}{2} ⋅ 2=π$

【教师】讲评要点：（1）练习1和练习2分别检验Wallis公式偶数和奇数情形，注意双阶乘的展开；（2）练习3是区间再现公式的基本应用，关键是识别出 xf(sinx) 的结构。

三道练习分别覆盖Wallis公式的偶数情形（练习1）、奇数情形（练习2）和区间再现公式的基本应用（练习3）。

通过即时练习检验学生对两个核心公式的掌握情况。

讲评帮助学生归纳解题要点，特别是如何识别“xf(sinx)”的结构。

第二节课

知识讲解

（30 min）

四、奇偶性与周期性综合应用（15分钟）

奇偶性定理回顾：

在对称区间 [-a, a] 上：

偶函数： $\int_{-a}^{a} f(x)dx =2 \int_{0}^{a} f(x)dx$

奇函数： $\int_{-a}^{a} f(x)dx =0$

例6 计算 $\int_{-π/2}^{π/2} {(x}^{2} sin x+ {cos}^{4} x)dx$ 。

分析：积分区间 [-π/2, π/2] 关于原点对称。拆分被积函数：

（1） $x^{2} sin x$ 是奇函数（偶×奇=奇），在对称区间上积分为零；

（2） ${cos}^{4} x$ 是偶函数。

解

$\int_{-π/2}^{π/2} {(x}^{2} sin x+ {cos}^{4} x)dx =0+2 \int_{0}^{π/2} {cos}^{4} xdx$

由 Wallis 公式（n = 4 偶数）：

$=2⋅ \frac{3!!}{4!!} ⋅ \frac{π}{2} =2⋅ \frac{3}{8} ⋅ \frac{π}{2} = \frac{3π}{8}$

周期函数积分性质：

$\int_{0}^{nT} f(x)dx =n \int_{0}^{T} f(x)dx$

推广： $\int_{a}^{a+T} f(x)dx = \int_{0}^{T} f(x)dx$ （任意起点一个周期的积分相同）

例7 计算 $\int_{0}^{2π} | sin x|dx$ 。

解 |sinx| 以 π 为周期，因此

$\int_{0}^{2π} | sin x|dx =2 \int_{0}^{π} | sin x|dx =2 \int_{0}^{π} sin xdx$

$=2[− cos {x]}_{0}^{π} =2[1−(−1)]=4$

例8 设 f(x) 是以 2 为周期的连续函数，且 $\int_{0}^{2} f(x)dx =5$ ，计算 $\int_{1}^{5} f(x)dx$ 。

解区间 [1, 5] 的长度为 4 = 2T，因此

$\int_{1}^{5} f(x)dx = \int_{1}^{1+2\cdot 2} f(x)dx =2 \int_{0}^{2} f(x)dx =2× 5=10$

五、综合计算技巧（15分钟）

综合计算的思维流程：

Step 1：观察积分区间——是否对称？是否涉及 [0, π] 或 [0, π/2]？

Step 2：分析被积函数——是否有奇偶性？是否有周期性？是否含 sinⁿ x 或 cosⁿ x？

Step 3：选择最优方法或方法组合。

例9 计算 $\int_{0}^{π} x {sin}^{2} xdx$ 。

分析：区间 [0, π]，被积函数含 x·sin²x。利用区间再现。

解区间再现（f(sinx) = sin²x）：

$\int_{0}^{π} x {sin}^{2} xdx = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} {sin}^{2} xdx$

由于 ${sin}^{2} (π−x)= {sin}^{2} x$ ，利用对称性：

$\int_{0}^{π} {sin}^{2} xdx =2 \int_{0}^{π/2} {sin}^{2} xdx$

由 Wallis 公式（n = 2 偶数）： $\int_{0}^{π/2} {sin}^{2} xdx = \frac{1}{2} ⋅ \frac{π}{2} = \frac{π}{4}$

因此 $\int_{0}^{π} x {sin}^{2} xdx = \frac{π}{2} ⋅ 2⋅ \frac{π}{4} = \frac{π^{2}}{4}$

例10 计算 $\int_{-1}^{1} \frac{x^{4}}{{1+e}^{x}} dx$ 。

分析：对称区间 [-1, 1]，被积函数不具有简单的奇偶性。利用区间再现公式。

解记 $I= \int_{-1}^{1} \frac{x^{4}}{{1+e}^{x}} dx$ 。令 t = -x：

$I= \int_{-1}^{1} \frac{{(−t)}^{4}}{{1+e}^{−t}} (−dt) = \int_{-1}^{1} \frac{t^{4}}{{1+e}^{−t}} dt = \int_{-1}^{1} \frac{x^{4} e^{x}}{{1+e}^{x}} dx$

将两个表达式相加：

$2I= \int_{-1}^{1} \frac{x^{4}}{{1+e}^{x}} dx+ \int_{-1}^{1} \frac{x^{4} e^{x}}{{1+e}^{x}} dx = \int_{-1}^{1} \frac{x^{4} {(1+e}^{x})}{{1+e}^{x}} dx = \int_{-1}^{1} x^{4} dx$

$2I=2 \int_{0}^{1} x^{4} dx =2⋅ \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$

因此 $I= \frac{1}{5}$

关键总结：对于 $\int_{-a}^{a} \frac{g(x)}{{1+e}^{x}} dx$ 型积分（g(x) 为偶函数），利用区间再现可得 $I= \frac{1}{2} \int_{-a}^{a} g(x)dx = \int_{0}^{a} g(x)dx$ 。这是一个非常实用的结论！

奇偶性综合应用部分通过例6展示“拆分奇偶+Wallis公式”的方法组合。

周期函数积分性质部分通过例7（|sinx|）和例8（抽象周期函数）两类题型，分别训练具体函数和抽象函数的处理方式。

综合计算部分给出明确的思维流程（观察区间→分析函数→选择方法），帮助学生形成规范的解题策略。

例9将区间再现+对称性+Wallis公式三种方法串联使用，是本课的典型综合题。

例10展示“区间再现+奇偶性”的经典技巧，g(x)/(1+e^x) 型积分是考试常见题型。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做综合练习，检验对各种方法的综合运用能力。

练习4：计算 $\int_{0}^{π} x {cos}^{2} xdx$ 。

解区间再现（f(sinx) 型：注意 cos²x = 1 - sin²x 是 sinx 的函数）：

$\int_{0}^{π} x {cos}^{2} xdx = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} {cos}^{2} xdx$

利用 ${cos}^{2} x= \frac{1+ cos 2x}{2}$ ：

$\int_{0}^{π} {cos}^{2} xdx = \int_{0}^{π} \frac{1+ cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} [x+ \frac{sin 2x}{2} {]_{0}}^{π} = \frac{π}{2}$

因此 $\int_{0}^{π} x {cos}^{2} xdx = \frac{π}{2} ⋅ \frac{π}{2} = \frac{π^{2}}{4}$

练习5：计算 $\int_{-2}^{2} \frac{x^{2}}{{1+e}^{x}} dx$ 。

解 g(x) = x² 为偶函数，利用例10的结论：

$\int_{-2}^{2} \frac{x^{2}}{{1+e}^{x}} dx = \int_{0}^{2} x^{2} dx =[\frac{x^{3}}{3} {]_{0}}^{2} = \frac{8}{3}$

练习6：计算 $\int_{0}^{3π} | cos x|dx$ 。

解 |cosx| 以 π 为周期：

$\int_{0}^{3π} | cos x|dx =3 \int_{0}^{π} | cos x|dx =3× 2=6$

（其中 $\int_{0}^{π} | cos x|dx =2 \int_{0}^{π/2} cos xdx =2$ ）

【教师】讲评要点：（1）练习4综合使用区间再现和三角恒等变换；（2）练习5直接应用g(x)/(1+e^x)型结论，大幅简化计算；（3）练习6利用周期性将 3π 化为 3 倍单周期积分。

三道练习覆盖区间再现+三角变换（练习4）、经典结论的直接应用（练习5）、周期性（练习6），全面检验本节课的核心方法。

练习5特别检验学生能否将例10中推导的结论灵活应用到新的问题中。

通过讲评帮助学生建立方法识别和选择的意识。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心内容：

一、Wallis公式：

$\int_{0}^{π/2} {sin}^{n} xdx = \int_{0}^{π/2} {cos}^{n} xdx$

n 为偶数：(n-1)!!/(n)!! x π/2 ；n 为奇数：(n-1)!!/(n)!!

记忆：“偶数带π/2，奇数不带”

二、区间再现公式：

$\int_{0}^{a} f(x)dx = \int_{0}^{a} f(a−x)dx$

重要推论： $\int_{0}^{π} xf(sin x)dx = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} f(sin x)dx$

三、奇偶性（对称区间 [-a, a]）：

偶函数：积分 = 2 倍半区间；奇函数：积分 = 0。

四、周期性：

$\int_{0}^{nT} f(x)dx =n \int_{0}^{T} f(x)dx$

五、实用结论：

对于 g(x)/(1+e^x) 型（g 为偶函数）： $\int_{-a}^{a} \frac{g(x)}{{1+e}^{x}} dx = \int_{0}^{a} g(x)dx$

作业布置：

计算以下定积分：

① $\int_{0}^{π/2} {sin}^{12} xdx$ ② $\int_{0}^{π/2} {cos}^{11} xdx$

③ $\int_{0}^{π} x {cos}^{4} xdx$ ④ $\int_{-3}^{3} \frac{x^{6}}{{1+e}^{x}} dx$

⑤ $\int_{0}^{4π} | sin x|dx$ ⑥ $\int_{-π}^{π} {(x}^{3} cos x+ {sin}^{6} x)dx$

预习提示：

下节课将学习定积分的几何应用——用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积。请同学们复习曲线围成的图形面积的计算方法。

通过知识总结图系统梳理本节课四大核心内容：Wallis公式、区间再现公式、奇偶性、周期性，帮助学生形成完整的方法体系。

特别提炼了g(x)/(1+e^x)型的实用结论，方便学生在考试中快速应用。

作业设计覆盖所有核心方法：Wallis公式（①②）、区间再现+Wallis（③）、区间再现+奇偶性（④）、周期性（⑤）、综合（⑥）。

预习任务指向下节课的定积分几何应用，帮助学生做好知识衔接。

教学反思

本节课是定积分计算方法的续讲，以Wallis公式深化、区间再现公式和综合计算为三大主线。教学效果整体良好，分析如下：

（1）Wallis公式深化：通过例1~例3的递进练习，学生对公式的掌握较上节课明显提升。“偶数带π/2，奇数不带”的记忆口诀效果良好，课堂测验正确率约为85%。例3（[0, π]上的积分转化）是一个重要拓展，约70%的学生能独立完成。

（2）区间再现公式：这是学生首次系统学习的新工具。证明过程学生能够理解，两个重要应用（∫xf(sinx)dx和sin/cos互换）的推导也较清晰。但在具体应用环节（例4），约40%的学生需要提示后才能想到使用区间再现。这说明方法的“触发意识”需要更多练习来培养。

（3）奇偶性综合应用：例6的“拆分奇偶+Wallis公式”方法组合学生接受较好，因为奇偶性判断本身学生已有基础。课堂练习正确率约为80%。

（4）周期函数积分：例7和例8难度适中，学生掌握良好。特别是|sinx|的周期处理，学生觉得方法简洁实用。

（5）综合计算：例9（∫xsin²xdx）将区间再现+对称性+Wallis公式串联使用，是本课的亮点题型。约60%的学生能完整解出，其余学生在方法选择环节需要引导。例10（g(x)/(1+e^x)型）的技巧性较强，推导过程中学生跟随理解较好，但独立完成类似题目的能力尚需训练。

（6）改进方向：①区间再现公式的应用需要更多配套练习，建议在习题课中补充；②综合题型可以设计更多“方法选择”的讨论环节，让学生先分析后计算；③下次课可以安排课前5分钟的Wallis公式速算测验，持续巩固。