导数概念与运算法则

教学项目

导数概念与运算法则（第9课时）

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过第一单元（极限与连续）的学习和第8课的习题课复习，学生已系统掌握极限理论。从习题课的表现来看：

约85%的学生能熟练运用各种方法求极限，约80%的学生能正确判断函数的连续性和间断点类型。学生对“极限”这个核心工具已有扎实基础。

本节课开始第二单元“导数与微分”，导数的定义本质上是一个极限（差商的极限），学生有了极限基础后理解不会困难。但从“定义”到“公式”再到“运算法则”，信息量较大，需要合理安排节奏，确保学生既掌握概念又能初步应用公式求导。

根据教学计划，本课时为第17-18学时。

教学目标

知识目标：

（1）理解导数的定义：差商的极限；

（2）理解导数的几何意义：切线斜率；

（3）理解可导与连续的关系：可导必连续，连续未必可导；

（4）熟记基本初等函数的导数公式（12个）；

（5）掌握导数的四则运算法则和链式法则。

能力目标：

（1）能用导数定义求简单函数的导数；

（2）能利用基本公式和运算法则求较复杂函数的导数；

（3）能利用链式法则求复合函数的导数。

素质目标：

（1）通过导数的物理和几何背景，感受数学与科学的深层联系；

（2）通过公式的推导过程，培养逻辑推理能力。

教学重点

1. 导数的定义及其几何意义（切线斜率）；

2. 基本初等函数的导数公式；

3. 导数的四则运算法则和链式法则。

教学难点

及应对

1. 用导数定义求导（构造差商、求极限）；

2. 复合函数求导时层次的分析（链式法则）；

3. 可导与连续关系的深层理解。

教学资源

教材《高等数学》第3章 §3.1-§3.2；多媒体课件；板书

教学方法

讲授法 + 几何直观 + 公式推导 + 例题分析 + 课堂练习

教学反思

导数是微积分的核心概念之一，本课内容量较大。教学中先从物理（瞬时速度）和几何（切线斜率）两个角度引入导数概念，再系统介绍基本公式和运算法则。链式法则是本课难点，通过图解“外层·内层”的直观方法帮助学生理解。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、导数的定义与几何意义（10 min）

引入：

物理问题：物体位移 s = f(t)，求 t₀ 时刻的瞬时速度。

平均速度 = $\frac{{f(t}_{0} + Δ {t)-f(t}_{0})}{Δ t}$ （差商）

瞬时速度 = ${lim}_{Δt\to0} \frac{{f(t}_{0} + Δ {t)-f(t}_{0})}{Δ t}$ （差商的极限）

定义

设函数 y = f(x) 在 x₀ 的某邻域内有定义，如果极限

${lim}_{Δx\to0} \frac{{f(x}_{0} + Δ {x)-f(x}_{0})}{Δ x}$

存在，则称 f(x) 在点 x₀ 可导，此极限值称为 f(x) 在 x₀ 的导数，记为

$f^{′} {(x}_{0})$ 或 $\frac{dy}{dx} |_{{x=x}_{0}}$

几何意义：

导数 f′(x₀) = 曲线 y=f(x) 在点 (x₀, f(x₀)) 处切线的斜率。

切线方程： ${y-f(x}_{0} {)=f}^{′} {(x}_{0} {)(x-x}_{0})$

例1（用定义求导）

用导数定义求 f(x) = x² 在 x = 1 处的导数。

解： $f^{′} (1)= {lim}_{Δx\to0} \frac{(1+ Δ {x)}^{2} -1}{Δ x} = {lim}_{Δx\to0} \frac{2 Δ x+(Δ {x)}^{2}}{Δ x}$

$= {lim}_{Δx\to0} (2+ Δ x)=2$

可导与连续的关系：

可导必连续（可导 ⇒ 连续）；连续未必可导（连续 ⇏ 可导）。

反例：f(x)=|x| 在 x=0 连续但不可导（尖点，左右导数不等）。

二、基本导数公式（10 min）

以下公式可由定义推导，需要熟记：

(1) ${(C)}^{′} =0$ (2) ${(x}^{n})^{′} {=nx}^{n-1}$

(3) ${(a}^{x})^{′} {=a}^{x} ln a$ (4) ${(e}^{x})^{′} {=e}^{x}$

(5) $({log}_{a} {x)}^{′} = \frac{1}{x ln a}$ (6) $(ln {x)}^{′} = \frac{1}{x}$

(7) $(sin {x)}^{′} = cos x$ (8) $(cos {x)}^{′} =- sin x$

(9) $(tan {x)}^{′} = {sec}^{2} x$ (10) $(cot {x)}^{′} =- {csc}^{2} x$

三、导数的运算法则（10 min）

四则运算法则：

(1) $(u ± {v)}^{′} {=u}^{′} ± v^{′}$ （和差的导数）

(2) ${(uv)}^{′} {=u}^{′} {v+uv}^{′}$ （乘法法则）

(3) $(\frac{u}{v})^{′} = \frac{u^{′} {v-uv}^{′}}{v^{2}}$ （除法法则，v≠0）

(4) ${(Cu)}^{′} {=Cu}^{′}$ （常数倍）

例2

求 y = x³ + 2sin x - 3eˣ 的导数。

解：y′ = 3x² + 2cos x - 3eˣ

例3

求 ${y=x}^{2} ⋅ e^{x}$ 的导数。

解：用乘法法则， $y^{′} {=(x}^{2})^{′} ⋅ e^{x} {+x}^{2} ⋅ {(e}^{x})^{′} =2x ⋅ e^{x} {+x}^{2} ⋅ e^{x} {=(2x+x}^{2} {)e}^{x}$

四、链式法则（5 min）

定理（复合函数求导法则——链式法则）

若 y = f(u)，u = g(x)，则

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} ⋅ \frac{du}{dx} {=f}^{′} (u) ⋅ g^{′} (x)$

口诀：外层导数（代入内层）乘以内层导数。

例4

求 $y= sin (3x+1)$ 的导数。

解：外层 sin′ = cos，内层 (3x+1)′ = 3：

$y^{′} = cos (3x+1) ⋅ 3=3 cos (3x+1)$

例5

求 ${y=e}^{x^{2}}$ 的导数。

解：外层 (eᵘ)′ = eᵘ，内层 (x²)′ = 2x：

$y^{′} {=e}^{x^{2}} ⋅ {2x=2xe}^{x^{2}}$

从物理和几何引入导数

基本公式需要熟记

四则运算法则立即配例

链式法则是核心难点

课堂测验

（10 min）

五、课堂练习（15 min）

请同学们独立完成以下练习：

1. 求导： ${y=3x}^{4} {-2x}^{2} +5x-7$

2. 求导： $y=x ⋅ ln x$

3. 求导： $y= \frac{sin x}{x}$

4. 求导： $y= cos (2x+1)$

5. 求导： $y= ln {(x}^{2} +1)$

6. 求曲线 y = x² 在点 (1,1) 处的切线方程。

参考答案：

1. y′ = 12x³ - 4x + 5

2. y′ = ln x + x · (1/x) = ln x + 1

3. y′ = (cos x · x - sin x · 1)/x² = (x cos x - sin x)/x²

4. y′ = -sin(2x+1) · 2 = -2sin(2x+1)

5. y′ = [1/(x²+1)] · 2x = 2x/(x²+1)

6. y′ = 2x, y′(1) = 2, 切线：y - 1 = 2(x - 1)，即 y = 2x - 1

基本公式 + 乘除法则 + 链式法则综合

第6题联系几何意义

第二节课

课堂测验与总结（15 min）

六、课堂测验（5 min）

1. 求导： ${y=e}^{sinx}$

2. 求导： $y= \frac{x^{2} +1}{x-1}$

答案：

1. 外层 eᵘ，内层 sin x： $y^{′} {=e}^{sinx} ⋅ cos x$

2. 除法法则：y′ = [(2x)(x-1) - (x²+1)(1)]/(x-1)² = (x²-2x-1)/(x-1)²

测验链式法则和除法法则

课堂测验

（10 min）

补充：导数公式的推导示例

推导 (sin x)′ = cos x：

$(sin {x)}^{′} = {lim}_{Δx\to0} \frac{sin (x+ Δ x)- sin x}{Δ x}$

利用和差化积： $= {lim}_{Δx\to0} \frac{2 cos (x+ \frac{Δ x}{2}) sin \frac{Δ x}{2}}{Δ x}$

$= {lim}_{Δx\to0} cos (x+ \frac{Δ x}{2}) ⋅ \frac{sin \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}} = cos x ⋅ 1= cos x$

其中用到了第一个重要极限 sin t/t → 1。

推导展示定义求导过程

课堂小结

（5 min）

课堂小结

本节课核心内容：

1. 导数定义： $f^{′} {(x}_{0})= {lim}_{Δx\to0} \frac{{f(x}_{0} + Δ {x)-f(x}_{0})}{Δ x}$

几何意义：切线斜率；物理意义：瞬时变化率。

2. 可导与连续：可导 ⇒ 连续，连续 ⇏ 可导。

3. 基本公式：幂函数、指数、对数、三角函数的导数（需要熟记）。

4. 运算法则：和差、乘法、除法的导数法则。

5. 链式法则：复合函数求导 = 外层导数 × 内层导数。

学习建议：

12个基本公式务必背熟，链式法则需要大量练习才能熟练。

下节课预告：隐函数与参数方程的导数——当 y 不能显式表示为 x 的函数时如何求导。

五大核心内容回顾

预告隐函数求导

教学反思

本节课内容量较大，涵盖了导数的定义、公式和运算法则三大部分。

教学效果分析：

1. 导数定义通过物理（瞬时速度）和几何（切线斜率）双重引入，学生接受良好，约90%的学生能理解导数的含义；

2. 用定义求导学生能够掌握，但步骤略显繁琐，学生体会到“公式”的必要性；

3. 基本公式的记忆需要时间，课堂上约60%的学生能即时背诵，需要课后反复练习；

4. 链式法则是最大难点，约50%的学生在课堂练习中能独立完成两层复合，三层复合正确率较低。

改进方向：

1. 制作“导数公式卡”发给学生帮助记忆；

2. 链式法则增加更多“分层标注”的示范；

3. 布置课后链式法则专项练习（10题以上）。