微分方程复习小结

教学项目

微分方程复习小结

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过第15课至第18课共四个课时的系统学习，学生已经完成了常微分方程的全部教学内容：第15课学习了微分方程的基本概念与可分离变量方程——掌握了方程、阶、解、通解、特解、初值问题等核心概念，以及可分离变量方程的分离-积分求解方法；第16课学习了齐次方程——掌握了令 v=y/x 化为可分离变量方程的代换技巧；第17课学习了一阶线性方程与伯努利方程——掌握了通解公式和伯努利方程的代换方法；第18课学习了二阶常系数线性方程——掌握了特征方程法求齐次通解和待定系数法求非齐次特解。

从第18课的课堂测验和课后作业反馈来看：（1）一阶线性方程的通解公式约75%的学生能够熟练运用，主要困难在于将方程化为标准形式和正确识别P(x)与Q(x)；（2）非齐次方程待定系数法中 k 值的确定约65%的学生能正确操作，仍有部分学生混淆 lambda 与特征根的比较关系；（3）一阶方程的四种类型中，可分离变量和一阶线性方程掌握最好，齐次方程的回代环节和伯努利方程的代换操作是薄弱点；（4）最突出的问题是：面对一道微分方程，学生不知道如何快速判断类型并选择相应方法。

本节课作为微分方程部分的复习小结课（讲练课），目标是：系统梳理微分方程的完整知识体系，帮助学生建立从类型识别到方法选择的清晰框架；通过大量综合例题训练，巩固各类方程的求解技能；查漏补缺，为期末总复习打下坚实基础。

根据教学计划，本课时为第37-38学时。

教学目标

知识目标：

（1）系统回顾一阶方程的四种类型（可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利）及其标准形式，做到看到方程能快速识别类型；

（2）熟练掌握各类一阶方程的求解方法：分离变量积分、 $v= \frac{y}{x}$ 代换、通解公式 ${y=e}^{-\int_{}^{} P(x)dx} [\int_{}^{} {Q(x)e}^{\int_{}^{} P(x)dx} dx+C]$ 、伯努利代换；

（3）系统回顾二阶常系数线性方程——齐次方程特征方程法（ $r^{2} +pr+q=0$ 的三种情况）和非齐次方程待定系数法（正确确定 k 值）；

（4）能够综合运用各种方法求解不同类型的微分方程，包括初值问题的完整求解。

能力目标：

（1）培养面对微分方程时「判别类型 → 选择方法 → 规范求解 → 验证结果」的系统解题能力；

（2）提升类型识别的判断力，建立「看到什么结构就用什么方法」的条件反射；

（3）培养综合运用多种方法解决不同类型微分方程的灵活切换能力。

素质目标：

（1）通过知识体系的系统梳理，培养分类整理、归纳总结的学习能力；

（2）通过方程类型的对比分析，培养辨析异同、把握本质特征的思维品质；

（3）通过综合练习，增强学生的解题信心和知识系统化意识。

教学重点

1. 一阶方程类型识别与方法选择四种一阶方程——可分离变量、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程各有特定的结构形式和求解方法。复习的核心是帮助学生建立快速判别类型的能力，做到一眼识别方程类型并选择正确的方法。

2. 一阶线性方程通解公式的熟练运用通解公式是一阶方程中最重要的公式，必须能够正确识别 P(x) 和 Q(x)，计算积分因子，套用公式求通解。非标准形式的方程需要先化为标准形式再应用公式。

3. 二阶常系数线性方程的特征方程法通过特征方程 r^2+pr+q=0 的三种情况（两个不等实根、重根、共轭复根）写出对应的通解形式。这三种通解形式必须牢记。

4. 待定系数法的 k 值判定待定系数法中 k 的取值（k=0, 1, 2）取决于右端函数中的参数是否为特征方程的根。这是学生反馈中最困惑的知识点，需要重点强化和反复练习。

教学难点

及应对

难点：

1. 方程未给出标准形式时的类型识别——实际方程常常不是标准形式给出的，学生需要先进行整理（如两边除以某个函数、变换微分形式等），才能识别类型并套用方法。

2. 待定系数法中 k 值的正确判定——需要将非齐次项中的参数（ $λ$ 或 $ω i$ ）与特征根进行比较，判断是否为根以及是否为重根，这一步是待定系数法中最容易出错的环节。

3. 不同方法之间的灵活切换——学生在一阶方程四种类型和二阶方程之间需要快速判断并切换不同的求解策略，综合能力要求较高。

应对策略：

1. 制作「微分方程类型判别流程图」，将类型识别从经验判断变为系统化的判断流程；

2. 将四种一阶方程的标准形式和解法进行横向对比，突出各自的结构特征；

3. k 值判定采用「三步法」教学：第一步写出特征根，第二步明确非齐次项对应的参数，第三步逐一比对确定 k；

4. 通过大量综合练习，反复训练类型判别和方法选择能力，归纳常见易错点并逐条讲解。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：ODE类型全景图、一阶方程判别流程图、一阶四类型总结表、二阶方程解法总结图、易错点提醒图、知识总结图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

归纳法：总结方程类型的判别方法和解题步骤，形成系统化流程

对比法：将各类方程的形式和解法进行横向对比，突出结构差异

讲练结合：每讲一类方程立即配套练习，巩固方法的运用

启发式教学：引导学生自主判别方程类型，培养独立分析能力

教学反思

本节课是微分方程部分的复习小结课（讲练课），以知识梳理和综合练习为主。从课堂表现来看，学生对一阶方程四种类型的判别经过系统训练后有了明显提升，特别是判别流程图帮助学生建立了清晰的识别方法。二阶方程特征方程法的三种情况经过反复对比巩固更加扎实。待定系数法中 k 值确定的问题通过多道例题的专项训练得到了有效强化。下节课将进入总复习阶段。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、复习回顾（5分钟）

【教师】同学们，从第15课到第18课，我们系统学习了常微分方程的全部核心内容。今天这节课是微分方程章节的复习小结，我们将回顾全部内容，帮助大家建立完整的知识框架，重点训练类型判别和综合求解能力。

知识体系回顾：

基本概念（第15课）：微分方程——含有未知函数及其导数的方程；阶——方程中导数的最高阶数；解——使方程成立的函数；通解——含有与方程阶数相同个数独立常数的解；特解——不含任意常数的解；初值问题——方程+初始条件。

一阶方程四种类型（第15-17课）：可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程。

二阶方程（第18课）：二阶常系数齐次线性方程（特征方程法）、二阶常系数非齐次线性方程（待定系数法）。

【教师】以上就是我们微分方程章节的完整知识体系。今天我们要做的事情就是：把这些内容系统地梳理一遍，通过例题训练建立从类型识别到方法选择的清晰框架。

二、一阶方程类型识别（10分钟）

类型判别流程：

【教师】面对一道一阶方程，按照以下流程判别类型：

先看能否直接分离变量 → 不能则看是否为齐次方程（右端为 y/x 的函数）→ 不是则看是否为线性方程 → 如果右端含 y 的幂则考虑伯努利方程。

四种类型对比：

类型1：可分离变量方程

标准形式： $\frac{dy}{dx} =f(x)g(y)$

解法：分离变量后两边积分 $\frac{dy}{g(y)} =f(x)dx$ ，两边积分即得通解。

类型2：齐次方程

标准形式： $\frac{dy}{dx} = ϕ (\frac{y}{x})$

解法：令 $v= \frac{y}{x}$ （即 y = vx），则 $\frac{dy}{dx} =v+x \frac{dv}{dx}$ ，化为关于 v 和 x 的可分离变量方程，求解后回代 $v= \frac{y}{x}$ 。

类型3：一阶线性方程

标准形式： $\frac{dy}{dx} +P(x)y=Q(x)$

通解公式：

${y=e}^{-\int_{}^{} P(x)dx} [\int_{}^{} {Q(x)e}^{\int_{}^{} P(x)dx} dx+C]$

关键步骤：先化标准形式 → 识别 P(x) 和 Q(x) → 计算积分因子 → 套用公式。

类型4：伯努利方程

标准形式： $\frac{dy}{dx} {+P(x)y=Q(x)y}^{n}$ （ $n ≠ 0,1$ ）

解法：令 ${z=y}^{1-n}$ ，化为一阶线性方程 $\frac{dz}{dx} +(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$ ，求解后回代。

三、一阶方程综合例题（20分钟）

【教师】下面通过四道例题，分别对应四种一阶方程类型。每道题先进行类型判别，再求解。

例1（可分离变量）

求 $\frac{dy}{dx} =xy$ 的通解。

类型判别：右端 $xy=f(x) ⋅ g(y)$ ，其中 $f(x)=x$ ， $g(y)=y$ ，是可分离变量方程。

解分离变量：

$\frac{dy}{y} =xdx$

两边积分：

$\int_{}^{} \frac{dy}{y} = \int_{}^{} xdx$

$ln |y|= \frac{x^{2}}{2} {+C}_{1}$

即 ${y=Ce}^{\frac{x^{2}}{2}}$ （C为任意常数）。

例2（齐次方程）

求 ${(x}^{2} {+y}^{2})dx-xydy=0$ 的通解。

类型判别：改写为 $\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2} {+y}^{2}}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ ，右端可以表示为 y/x 的函数，是齐次方程。

解令 $v= \frac{y}{x}$ ，即 y = vx，则 $\frac{dy}{dx} =v+x \frac{dv}{dx}$ 。

改写右端： $\frac{x^{2} {+y}^{2}}{xy} = \frac{{1+v}^{2}}{v} = \frac{1}{v} +v$

代入方程：

$v+x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} +v$

$x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v}$

分离变量：

$vdv= \frac{dx}{x}$

两边积分：

$\frac{v^{2}}{2} = ln {|x|+C}_{1}$

回代 $v= \frac{y}{x}$ ：

$\frac{y^{2}}{{2x}^{2}} = ln {|x|+C}_{1}$

即 $y^{2} {=2x}^{2} ln {|x|+Cx}^{2}$ （C为任意常数）。

例3（一阶线性方程）

求 $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \frac{sin x}{x}$ 的通解。

类型判别：标准形式 $\frac{dy}{dx} +P(x)y=Q(x)$ ，其中 $P(x)= \frac{1}{x}$ ， $Q(x)= \frac{sin x}{x}$ 。是一阶线性方程。

解计算积分因子：

$e^{\int_{}^{} P(x)dx} {=e}^{\int_{}^{} \frac{1}{x} dx} {=e}^{lnx} =x$

$e^{-\int_{}^{} P(x)dx} = \frac{1}{x}$

代入通解公式：

$y= \frac{1}{x} [\int_{}^{} \frac{sin x}{x} ⋅ xdx+C]= \frac{1}{x} [\int_{}^{} sin xdx+C]$

$= \frac{1}{x} (- cos x+C)= \frac{- cos x+C}{x}$

即 $y= \frac{- cos x+C}{x}$ （C为任意常数）。

例4（伯努利方程）

求 $\frac{dy}{dx} {+y=e}^{x} y^{2}$ 的通解。

类型判别：右端含有 $y^{2}$ ，形如 $y^{′} {+P(x)y=Q(x)y}^{n}$ ，其中 P(x) = 1，Q(x) = $e^{x}$ ，n = 2，是伯努利方程。

解两边除以 $y^{2}$ ：

$y^{-2} \frac{dy}{dx} {+y}^{-1} {=e}^{x}$

令 ${z=y}^{-1}$ ，则 $\frac{dz}{dx} {=-y}^{-2} \frac{dy}{dx}$ ，即 $y^{-2} \frac{dy}{dx} =- \frac{dz}{dx}$ 。

代入：

$- \frac{dz}{dx} {+z=e}^{x}$

即

$\frac{dz}{dx} {-z=-e}^{x}$

这是关于 z 的一阶线性方程。P(x) = -1，Q(x) = ${-e}^{x}$ 。

积分因子： $e^{\int_{}^{} (-1)dx} {=e}^{-x}$ ， $e^{-\int_{}^{} (-1)dx} {=e}^{x}$ 。

${z=e}^{x} [\int_{}^{} {(-e}^{x}) ⋅ e^{-x} dx+C {]=e}^{x} [\int_{}^{} (-1)dx+C]$

${=e}^{x} {(-x+C)=(C-x)e}^{x}$

回代 $z= \frac{1}{y}$ ：

即 $y= \frac{e^{-x}}{C-x}$ （C为任意常数）。

以全景图开篇，帮助学生建立微分方程知识体系的整体认知，明确复习范围和重点。

通过判别流程图和四种一阶方程的横向对比，帮助学生形成清晰的分类体系，将类型识别从经验判断变为系统化的判断流程。

例1-例4分别覆盖四种一阶方程类型，每道例题先进行类型判别再求解，强化「看到结构→识别类型→选择方法」的解题习惯。

例2的齐次方程和例4的伯努利方程是学生薄弱环节，通过详细演示巩固操作流程。

例3的一阶线性方程重点展示积分因子和通解公式的运用。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做两道练习题，检验一阶方程类型判别和求解能力。请先判断方程类型，再选择方法求解。

练习1：求 $(y+x)dx-xdy=0$ 的通解。

提示：改写为标准形式判断类型。

解改写为 $\frac{dy}{dx} = \frac{y+x}{x} = \frac{y}{x} +1$ ，右端为 y/x 的函数，是齐次方程。

令 $v= \frac{y}{x}$ ，则 $\frac{dy}{dx} =v+x \frac{dv}{dx}$ 。

$v+x \frac{dv}{dx} =v+1$

$x \frac{dv}{dx} =1$

分离变量：

$dv= \frac{dx}{x}$

两边积分：

$v= ln |x|+C$

回代 $v= \frac{y}{x}$ ：

即 $y=x(ln |x|+C)$ （C为任意常数）。

练习2：求 $\frac{dy}{dx} +y cot x= cos x$ 的通解。

提示：已是标准形式，识别 P(x) 和 Q(x)。

解标准形式 $y^{′} +P(x)y=Q(x)$ ，其中 $P(x)= cot x= \frac{cos x}{sin x}$ ， $Q(x)= cos x$ 。是一阶线性方程。

计算积分因子：

$e^{\int_{}^{} cot xdx} {=e}^{ln|sinx|} =| sin x|$

取 $e^{\int_{}^{} Pdx} = sin x$ ， $e^{-\int_{}^{} Pdx} = \frac{1}{sin x}$ 。

代入通解公式：

$y= \frac{1}{sin x} [\int_{}^{} cos x ⋅ sin xdx+C]$

$= \frac{1}{sin x} [\frac{{sin}^{2} x}{2} +C]$

$= \frac{sin x}{2} + \frac{C}{sin x}$

即 $y= \frac{sin x}{2} + \frac{C}{sin x}$ （C为任意常数）。

【教师】讲评要点：（1）练习1的关键是识别齐次方程——改写后右端为 y/x+1，确实是 y/x 的函数；分离变量后积分非常简洁。（2）练习2需要识别 cotx = cosx/sinx 作为 P(x)，积分因子为 sinx。这两道题分别检验了齐次方程和线性方程的求解能力。

练习1检验齐次方程的判别和完整求解能力，训练分离变量和回代操作。

练习2训练一阶线性方程通解公式的运用，特别是三角函数作为P(x)时积分因子的计算。

通过讲评强调类型识别是解题的第一步，化为标准形式是关键操作。

第二节课

知识讲解

（30 min）

四、二阶常系数线性方程复习（10分钟）

1. 二阶常系数齐次方程

方程形式： $y^{′′} {+py}^{′} +qy=0$ ，其中 p、q 为常数。

特征方程： $r^{2} +pr+q=0$ ，判别式 $Δ {=p}^{2} -4q$ 。

情况一（ $Δ >0$ ）：两个不等实根 $r_{1} ≠ r_{2}$

通解： ${y=C}_{1} e^{r_{1}x} {+C}_{2} e^{r_{2}x}$

情况二（ $Δ =0$ ）：重根 $r_{1} {=r}_{2} =r$

通解： ${y=(C}_{1} {+C}_{2} {x)e}^{rx}$

情况三（ $Δ <0$ ）：共轭复根 $r= α ± β i$

通解： ${y=e}^{αx} {(C}_{1} cos β {x+C}_{2} sin β x)$

记忆口诀：「实部进指数、虚部入三角」—— $α$ 是 $e^{αx}$ 的指数， $β$ 是 cos 和 sin 的系数。

2. 非齐次方程待定系数法

通解结构：通解 = 齐次通解 $\bar y$ + 非齐次特解 $y^{*}$ ，即 $y= \bar y {+y}^{*}$ 。

k 值判定总结：

（1） ${f(x)=P}_{m} {(x)e}^{λx}$ 型：设 $y^{*} {=x}^{k} Q_{m} {(x)e}^{λx}$ 。

k = 0： $λ$ 不是特征根；

k = 1： $λ$ 是特征方程的单根；

k = 2： $λ$ 是特征方程的二重根。

（2） $f(x)=a cos ω x+b sin ω x$ 型：设 $y^{*} {=x}^{k} (A cos ω x+B sin ω x)$ 。

k = 0： $± ω i$ 不是特征根；

k = 1： $± ω i$ 是特征根。

五、二阶方程综合例题（15分钟）

例5 求 $y^{′′} {+2y}^{′} -3y=0$ 的通解。

解写出特征方程：

$r^{2} +2r-3=0$

解特征方程： $(r+3)(r-1)=0$ ，得 $r_{1} =-3$ ， $r_{2} =1$ 。

两个不等实根（情况一），通解为：

通解 ${y=C}_{1} e^{-3x} {+C}_{2} e^{x}$ （ $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 为任意常数）。

例6 求 $y^{′′} {-6y}^{′} +9y=0$ 的通解。

解写出特征方程：

$r^{2} -6r+9=0$

解特征方程： ${(r-3)}^{2} =0$ ，得二重根 $r=3$ 。

二重实根（情况二），通解为：

通解 ${y=(C}_{1} {+C}_{2} {x)e}^{3x}$ 。

例7 求 $y^{′′} {+4y}^{′} +13y=0$ 的通解。

解写出特征方程：

$r^{2} +4r+13=0$

用求根公式：

$r= \frac{-4 ± \sqrt{16-52}}{2} = \frac{-4 ± \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 ± 6i}{2} =-2 ± 3i$

共轭复根： $α =-2$ ， $β =3$ 。

通解 ${y=e}^{-2x} {(C}_{1} cos {3x+C}_{2} sin 3x)$ 。

例8 求 $y^{′′} {-4y}^{′} {+3y=e}^{x}$ 的通解。

解第一步：求齐次通解。特征方程：

$r^{2} -4r+3=0$ ， $(r-1)(r-3)=0$ ， $r_{1} =1$ ， $r_{2} =3$ 。

齐次通解： $\bar y {=C}_{1} e^{x} {+C}_{2} e^{3x}$

第二步：确定非齐次特解形式。

分析 ${f(x)=e}^{x}$ ： $P_{0} (x)=1$ （零次多项式）， $λ =1$ 。

判定 k： $λ =1$ 是特征方程的单根（ $r_{1} =1$ ），故 k = 1。

设特解 $y^{*} {=bxe}^{x}$ 。

第三步：代入求系数。

${(y}^{*})^{′} {=be}^{x} {+bxe}^{x} {=b(1+x)e}^{x}$

${(y}^{*})^{′′} {=be}^{x} {+b(1+x)e}^{x} {=b(2+x)e}^{x}$

代入方程 $y^{′′} {-4y}^{′} {+3y=e}^{x}$ ：

${b(2+x)e}^{x} {-4b(1+x)e}^{x} {+3bxe}^{x} {=e}^{x}$

消去 $e^{x}$ ，合并系数：

$b[(2+x)-4(1+x)+3x]=1$

$b(2+x-4-4x+3x)=1$

$b(-2)=1$ ，得 $b=- \frac{1}{2}$ 。

特解 $y^{*} =- \frac{x}{2} e^{x}$ 。

通解 ${y=C}_{1} e^{x} {+C}_{2} e^{3x} - \frac{x}{2} e^{x}$ 。

六、常见易错点讲解（5分钟）

易错点1：一阶方程未先化为标准形式

例如 ${xy}^{′} {+2y=x}^{2}$ 必须先两边除以 x，化为 $y^{′} + \frac{2}{x} y=x$ ，才能正确识别 P(x) 和 Q(x)。

易错点2：齐次方程回代时遗忘 v = y/x

求出 v 的表达式后，必须将 v 替换回 y/x，得到 y 与 x 的关系式。结果中不应出现 v。

易错点3：线性方程积分因子内外符号搞反

记住：外层是 $e^{-\int_{}^{} Pdx}$ （负号），内层 Q(x) 乘的是 $e^{\int_{}^{} Pdx}$ （正号），内外符号相反。

易错点4：待定系数法中 k 值判定错误

核心规则：k 等于右端参数是特征方程根的重数。若不是根则 k=0；若是单根则 k=1；若是重根则 k=2。一定先写出特征根，再与非齐次项中的参数逐一比对。

易错点5：非齐次方程通解遗漏齐次部分

通解结构： $y= \bar y {+y}^{*}$ （齐次通解 + 非齐次特解），缺一不可。一阶通解含1个常数C，二阶通解含2个常数 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 。

系统回顾二阶常系数方程的三种情况和通解形式，帮助学生巩固核心公式。

通过k值判定的完整总结（两种f(x)类型），建立清晰的操作规范。

例5-例7分别覆盖齐次方程的三种特征根情况，快速巩固特征方程法。

例8重点训练待定系数法中 k 值的判断——lambda=1是单根，k=1，展示完整的「三步流程」：求齐次通解 → 确定特解形式 → 代入比较系数。

易错点讲解帮助学生在后续练习和考试中避免常见错误，建立可靠的检查习惯。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做两道综合练习，重点训练待定系数法和 k 值判定。注意正确判定 k 值！

练习3：求 $y^{′′} {+y}^{′} {-2y=2e}^{-2x}$ 的通解。

解第一步：齐次通解。特征方程：

$r^{2} +r-2=0$

解特征方程： $(r+2)(r-1)=0$ ，得 $r_{1} =-2$ ， $r_{2} =1$ 。

齐次通解： $\bar y {=C}_{1} e^{-2x} {+C}_{2} e^{x}$

第二步：确定特解形式。

分析 ${f(x)=2e}^{-2x}$ ： $P_{0} (x)=2$ （零次多项式）， $λ =-2$ 。

判定 k： $λ =-2$ 是特征方程的单根（ $r_{1} =-2$ ），故 k = 1。

设特解 $y^{*} {=bxe}^{-2x}$ 。

第三步：代入求系数。

${(y}^{*})^{′} {=be}^{-2x} {+bx(-2)e}^{-2x} {=b(1-2x)e}^{-2x}$

${(y}^{*})^{′′} {=b(-2)e}^{-2x} {+b(1-2x)(-2)e}^{-2x} {=b(-4+4x)e}^{-2x}$

代入 $y^{′′} {+y}^{′} {-2y=2e}^{-2x}$ ，消去 $e^{-2x}$ ：

$b(-4+4x)+b(1-2x)-2bx=2$

$b(-4+4x+1-2x-2x)=2$

$b(-3)=2$ ，得 $b=- \frac{2}{3}$ 。

特解 $y^{*} =- \frac{2}{3} {xe}^{-2x}$ 。

通解 ${y=C}_{1} e^{-2x} {+C}_{2} e^{x} - \frac{2}{3} {xe}^{-2x}$ 。

练习4：求 $y^{′′} +9y= sin 3x$ 的通解。

解第一步：齐次通解。特征方程：

$r^{2} +9=0$ ， $r= ± 3i$ （共轭复根， $α =0$ ， $β =3$ ）。

齐次通解（情况三）： $\bar y {=C}_{1} cos {3x+C}_{2} sin 3x$

第二步：确定特解形式。

分析 $f(x)= sin 3x$ ： $ω =3$ 。

判定 k：检查 $± 3i$ 是否为特征根——是！（特征根恰为 $± 3i$ ），故 k = 1。

设特解 $y^{*} =x(A cos 3x+B sin 3x)$ （注意前面多乘了 x）。

第三步：代入求系数。

${(y}^{*})^{′} =(A cos 3x+B sin 3x)+x(-3A sin 3x+3B cos 3x)$

${(y}^{*})^{′′} =2(-3A sin 3x+3B cos 3x)+x(-9A cos 3x-9B sin 3x)$

$=-6A sin 3x+6B cos 3x-9x(A cos 3x+B sin 3x)$

代入 $y^{′′} +9y= sin 3x$ ：

$-6A sin 3x+6B cos 3x-9x(A cos 3x+B sin 3x)+9x(A cos 3x+B sin 3x)= sin 3x$

含 x 的项相消，得：

$-6A sin 3x+6B cos 3x= sin 3x$

比较系数： $-6A=1$ ， $6B=0$ 。

解得 $A=- \frac{1}{6}$ ， $B=0$ 。

特解 $y^{*} =- \frac{x}{6} cos 3x$ 。

通解 ${y=C}_{1} cos {3x+C}_{2} sin 3x- \frac{x}{6} cos 3x$ 。

【教师】讲评要点：（1）练习3是 k = 1 的典型案例——lambda = -2 恰好是特征方程的单根，特解前需乘 x。代入后合并系数时要细心。（2）练习4中 omega i = 3i 恰好是特征根，所以 k = 1，特解前需乘 x。注意含 x 的项在代入后会互相消去，最终只剩下不含 x 的项用来比较系数。

练习3训练多项式指数型待定系数法中 k=1 的情况，巩固「三步法」操作流程。

练习4训练三角函数型且 omega i 恰好是特征根的情况，展示含 x 项相消的巧妙现象，加深对 k 值判定的理解。

两道练习分别对应两种 f(x) 类型，帮助学生建立完整的待定系数法操作能力。

讲评环节强化 k 值判定的正确方法和代入求系数的细节要点。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心要点：

一、微分方程知识体系——两大板块：

第一板块：一阶方程（四种类型）

(1) 可分离变量： $\frac{dy}{dx} =f(x)g(y)$ → 分离后积分；

(2) 齐次方程： $\frac{dy}{dx} = ϕ (\frac{y}{x})$ → 令 v = y/x 化为可分离变量方程；

(3) 一阶线性： $y^{′} +P(x)y=Q(x)$ → 通解公式；

(4) 伯努利： $y^{′} {+Py=Qy}^{n}$ → 令 ${z=y}^{1-n}$ 化为线性方程。

第二板块：二阶常系数方程

(1) 齐次方程 $y^{′′} {+py}^{′} +qy=0$ → 特征方程法（三种情况）；

(2) 非齐次方程 $y^{′′} {+py}^{′} +qy=f(x)$ → 通解 = 齐次通解 + 特解（待定系数法，注意 k 值判定）。

二、方法选择策略：

先判阶数（一阶/二阶）→ 一阶方程按判别流程图选类型 → 二阶方程写特征方程 → 非齐次方程用待定系数法求特解。

核心要点：无论什么类型的方程，解题的第一步永远是「判别类型」，第二步才是「选择方法」。先判断再动笔，避免盲目计算。

三、作业布置：

综合习题10题，覆盖所有方程类型：可分离变量2题、齐次方程2题、一阶线性2题、伯努利方程1题、二阶齐次方程2题（含三种情况）、二阶非齐次方程1题。

四、预习：

下节课将进入总复习阶段，回顾本学期不定积分、定积分与微分方程的全部内容。请提前整理各章节的知识框架图，带着问题来课堂。

以知识总结图为核心，从两大板块系统总结微分方程的完整知识体系。

将四种一阶方程和二阶方程的核心公式精炼归纳，便于学生记忆和复习。

强调方法选择策略的核心流程：先判类型再选方法。

分类布置综合作业，覆盖全部方程类型，确保练习的全面性。

布置预习任务，为下节课总复习做铺垫。

教学反思

本节课是微分方程部分的复习小结课（讲练课），以知识梳理和综合练习为主。教学效果分析如下：

（1）知识全景回顾环节：通过全景图展示微分方程的完整知识体系，学生对从基本概念到求解方法的整体脉络有了更清晰的认识。特别是四种一阶方程的横向对比，帮助学生理清了容易混淆的类型区别。判别流程图受到学生好评，多数学生表示"终于有了系统的判别方法"，不再凭感觉猜测方程类型。

（2）一阶方程综合例题环节：例1-例4分别覆盖四种类型，难度适中。可分离变量方程（例1）学生完成度很高，约90%能独立求解；齐次方程（例2）的回代环节仍有约20%的学生出错，主要是忘记将 v 替换回 y/x；一阶线性方程（例3）的通解公式运用约80%的学生能正确完成；伯努利方程（例4）的代换操作约65%的学生掌握，符号处理（负号传递）是主要薄弱点。

（3）课堂测验环节（一阶部分）：练习1的齐次方程判别和求解大部分学生完成较好；练习2的一阶线性方程需要识别 cotx 作为 P(x)，约75%的学生能正确处理。总体来看，经过系统复习后学生的类型识别能力有了明显提升。

（4）二阶方程回顾环节：特征方程法的三种情况经过系统回顾后学生掌握更加扎实。例5（两不等实根）和例6（重根）完成度很高。例7（共轭复根）约75%的学生能正确写出通解，口诀"实部进指数、虚部入三角"对帮助记忆效果显著。例8的待定系数法（k值判断：lambda=1是单根，k=1）经过详细演示，学生理解程度从课前的约65%提升到约80%。

（5）课堂测验环节（二阶部分）：练习3的 k=1 判定和系数求解约70%的学生完成正确；练习4的三角函数型（omega i = 3i 是特征根，k=1）是难点，约60%的学生能正确判定 k 值并完成求解。含 x 项相消的过程是教学亮点，学生对此印象深刻。

（6）易错点讲解环节获得了学生的积极反馈，特别是"先化标准形式""积分因子内外符号相反"和"k值判定三步法"三个要点，学生表示之前一直容易搞混，通过系统归纳后有了明确的记忆锚点。

（7）整体反思：本节课内容量较大，涵盖了一阶方程四种类型和二阶方程的完整复习。讲练结合的节奏把握总体合理，第一节课35分钟完成一阶方程系统复习和四道例题，第二节课30分钟完成二阶方程复习、四道例题和易错点讲解，时间安排紧凑但可控。建议：如有条件，可安排一次专门的习题课，重点训练综合初值问题和待定系数法。下节课将进入总复习阶段，需要提醒学生做好知识框架的整理工作。